2021-2022学年江苏省南京市天印中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年江苏省南京市天印中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若某几何体的三视图如图1所示，则此几何体的表面积是（）A.

B.

C.

D.参考答案：B略2.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a0，a1，a2，…，an分别为0，1，2，…，n，若n=5，根据该算法计算当x=2时多项式的值，则输出的结果为（）A．248 B．258 C．268 D．278参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能求出当x=2时的值，即可得解．【解答】解：该程序框图是计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=2时的值，而f（2）=258，故选：B．3.已知集合,集合,,则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略4.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中心﹐其中﹐分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a+b的形式﹐则a+b的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：D【考点】平面向量坐标表示的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求a+b的最大值时﹐只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论．【解答】解：因为想求a+b的最大值﹐所以考虑图中的6个顶点的向量即可；讨论如下﹕（1）因为=﹐所以（a，b）=（1，0）；（2）因为=+=+3=3+﹐所以（a，b）=（3，1）；（3）因为=+=+2=2+﹐所以（a，b）=（2，1）；（4）因为=++=++=++（+2）=3+2﹐所以（a，b）=（3，2）；（5）因为=+=+=+﹐所以（a，b）=（1，1）；（6）因为=﹐所以（a，b）=（0，1）；因此﹐a+b的最大值为3+2=5﹒故选：D﹒【点评】本题考查了平面向量的基本定理的应用问题，也考查了平面向量的坐标表示的应用问题，是基础题目．5.设，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.设是函数图象上的点，则的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】A

∵P（x，y）是函数y=+lnx图象上的点，则x+y=x++lnx=f（x），（x＞0）．f′（x）=1-+=，

令f′（x）＞0，解得x＞1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．且f′（1）=0．∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，f（1）=3．

故选：A．【思路点拨】P（x，y）是函数y=+lnx图象上的点，则x+y=x++lnx=f（x），（x＞0）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影外部（曲线C为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（

）A．3413

B．1193

C．2718

D．6587附：若,则，参考答案：D【知识点】正态分布几何概型【试题解析】由题知：阴影的面积为

所以落入阴影的点的个数为：个，

所以落入阴影外部的点的个数的估计值为：10000-3413=6587个。

故答案为：D8.（

）A．

B．

C．2

D．不存在

参考答案：B9.一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是（

）.(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D10.记不等式所表示的平面区域为D，若对任意（x0，y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，则c的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．[﹣1，4] D．（﹣∞，﹣1]参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】首先画出平面区域，由对任意（x0，y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，即求﹣x+2y的最小值，利用其几何意义求得即可．【解答】解：由已知得到可行域如图：由图可知，对任意（x0，y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，即c≤﹣x+2y恒成立，即c≤（﹣x+2y）min，当直线z=﹣x+2y经过图中A（1，0）时z最小为﹣1，所以c≤﹣1；故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12cm,该地球仪的半径是

cm,表面积是

cm2.参考答案：答案：

19212.已知对于任意实数，函数满足.若方程有2011个实数解，则这2011个实数解之和为

参考答案：0略13.若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=

．参考答案：考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．解答： 解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案为：．点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．14.已知平面a与平面b交于直线l，P是空间一点，PA⊥a，垂足为A，PB⊥b，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在b内的射影与点B在a内的射影重合，则点P到l的距离为________.参考答案：答案：

15.已知随机变量ξ服从二项分布的值为__________.参考答案：略16.已知F1、F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2|=

.参考答案：6.本题主要考查了双曲线的基本定义和三角形内角平分线定理，难度较高。

由题意得焦点坐标：、，,由角平分线定理得：,①

由双曲线定义得：②

联立得.17.已知实数x，y满足，则的最小值为．参考答案：2【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出约束条件表示的平面区域，由线性规划的知识求得t=2x﹣y的最大值，由此求出z的最小值．【解答】解：作出约束条件，如图所示；由解得点B（1，3）；作出直线2x﹣y=0，对该直线进行平移，可以发现经过点B时t=2x﹣y=2×1﹣3=﹣1，此时取得最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了线性规划中目标函数的最值问题，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.【选修4－4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点．（Ⅰ）求曲线，的方程；（Ⅱ）若点，在曲线上，求的值．参考答案：解：（I）将及对应的参数，代入，得，即，所以曲线的方程为（为参数），或.

设圆的半径为,由题意,圆的方程为,(或).将点代入,得,即.

(或由,得,代入,得),所以曲线的方程为,或.

…6分

（II）因为点，在曲线上,

所以,,

所以.

…10分略19.为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示．节排器等级及利润如表格表示，其中综合得分k的范围节排器等级节排器利润率k≥85一级品a75≤k＜85二级品5a270≤k＜75三级品a2（1）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数ξ的分布列及数学期望E（ξ）；②从长期来看，骰子哪种型号的节排器平均利润较大？参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式能求出至少有2件一级品的概率．（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且，由此能求出ξ的分布列和数学期望．②由题意分别求出甲型号节排器的利润的平均值和乙型号节排器的利润的平均值，由此求出投资乙型号节排器的平均利润率较大．【解答】解：（1）至少有2件一级品的概率．（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，则二级品数ξ所有可能的取值为0，1，2，3，且，所以，，所以ξ的分布列为ξ0123P所以数学期望（或）．②由题意知，甲型号节排器的利润的平均值，乙型号节排器的利润的平均值，，又，所以投资乙型号节排器的平均利润率较大．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(I)

求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)

证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。参考答案：解析：方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°（II）证明：因为（III）由（I）可得，方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得

（I）

所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明：

，（III）又由题设，平面的一个法向量为21.设函数.（1）求f(x)的单调区间;（2）若，k为整数，且当时，(x－k)f′(x)+x+1>0，求k的最大值.参考答案：解：（Ⅰ）的定义域为，。若，则，所以在内单调递增；若，则当时，，当时，，所以，在内单调递减，在内单调递增。......5分（Ⅱ）由，有，当时，(x－k)f′(x)+x+1>0等价于，（）......7分令，则。由（Ⅰ）知，在内单调递增，而，，所以在内存在唯一的零点，故在内存在唯一的零点，设此零点为，则。.....10分当时，；当时，，所以在内的最小值为，又有，可得，所以。所以。整数的最大取值为2。......12分22.（本小题满分14分）已知两圆的圆心分别为，为一个动点，且直线的斜率之积为

（1）求动点的轨迹M的方程；（2）是否存在过点的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）两圆的圆心坐标分别为和

（1分）设动点的坐标为,则直线的斜率分别为和

(3分)由条件得，即

所以动点的轨迹M的方程为

（6分）

注：无“”扣