2021-2022学年山西省吕梁市东坡村中学高二数学理测试题含解析

2021-2022学年山西省吕梁市东坡村中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的部分图象如图所示,则的值分别是（***）A．

B．

C．

D． 参考答案：A略2.已知,猜想的表达式A. B. C. D.参考答案：B本题主要考查的是等差数列的性质和函数解析式的求法,意在考查学生分析问题和解决问题的能力.由可得所以是为公差的等差数列,所以,又所以即.故选B.3.下列四个命题：①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示；②经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示；③不经过原点的直线都可以用方程+=1表示；④经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）表示；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对四个命题得答案．【解答】解：①，过点P0（x0，y0）且垂直于x轴的直线不能用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示，故①错误；②，经过定点A（0，b）且垂直于x轴的直线不能用不能用方程y=kx+b表示，故②错误；③，垂直于两坐标轴的直线不能用方程+=1表示，故③错误；④，当两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的连线不垂直于坐标轴时，直线方程为，化为（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）后包含两点连线垂直于坐标轴，∴经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）表示，故④正确．∴正确命题的个数是1个．故选：B．4.如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84 B．84，85 C．86，84 D．84，86参考答案：A【考点】BA：茎叶图．【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和众数【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的中位数为84；众数为：84；故选A．5.已知点、，是直线上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率关于的函数为，那么下列结论正确的是（

）

A．与一一对应

B．函数无最小值，有最大值C．函数是增函数

D．函数有最小值，无最大值参考答案：B6.在等比数列中，公比q=2，且，则等于（

）A.

B.

C

D参考答案：B略7.从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为()A．

B．

C．

D．参考答案：A8.在同一坐标系中，方程与的图象大致是（

）参考答案：D9.有一项活动，需在三名教师，8名男生和5名女生中选人参加，若需一名教师和一名学生参加，则不同的选法种数为

（）A.39

B.38

C.37 D.36参考答案：A10.下面的程序框图（如图所示）能判断任意输入的数的奇偶性：

其中判断框内的条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设{an}是等比数列，且，，则{an}的通项公式为_______．参考答案：，【分析】先设的公比为，根据题中条件求出公比，进而可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，所以，因此，，.故答案为，12.过抛物线的焦点，方向向量为的直线方程是▲．参考答案：略13.已知向量，，若向量，那么?????。参考答案：14.点P的曲线y=x3-x+上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取

值范围是_________.参考答案：

15.已知函数f（x）=，则f（x）的值域为_________．参考答案：略16.已知双曲线的右焦点为(3,0)，则该双曲线的渐近线方程为________.参考答案：

17.已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋27(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间[－4，5]上的单调性，并求出f(x)在区间[－4，5]上的最值.参考答案：解：∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，所以a＝1，b＝0，于是f(x)＝x3－27x，f′(x)＝3x2－27.(4分)∴当x∈(－3,3)时，f′(x)<0；当x∈(－4，－3)和(3,5)时，f′(x)>0.又∵函数f(x)在[－4,5]上连续.∴f(x)在(－3,3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分)∴f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是－54.(11分)略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知关于x的不等式.（Ⅰ）若不等式的解集是，求a,b的值；（Ⅱ）若，解此不等式．参考答案：（Ⅰ）由条件得是方程的两根，----------2分则，解得----------4分（Ⅱ）由条件得，当时，----------6分当时，的解为；---------8分当时，的解为.----------------10分综上所述：当时，解集为当时，解集为；当时，解集为----------12分19.已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F（0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，求出a，b，c．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF1|=7，|PF2|=3，|F1F2|=8，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2，∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F1，F2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF1|+|PF2|=10，|PF1|﹣|PF2|=4∴|PF1|=7，|PF2|=3，∵|F1F2|=8，∴cos∠F1PF2==﹣．20.(本小题满分14分)已知函数(为自然对数的底数，为常数）．对于函数，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线．（Ⅰ）若，求的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由参考答案：（Ⅰ）若，则，，

………1分由得又得；得，在单调递增，在单调递减；在处取得极大值,无极小值．

……3分（Ⅱ），……………………4分①当时，由得由得函数在区间上是增函数，在区间上是减函数：…6分②当时，对恒成立，此时函数是区间上的增函数；………………7分③当时，由得由得函数在区间上是增函数，在区间上是减函数．…9分（Ⅲ）若存在，则恒成立，令，则，所以，

……………11分因此：对恒成立，即对恒成立，由得到，

……………12分现在只要判断是否恒成立，

设，则，①当时，②当时，…………………13分所以，即恒成立，所以函数与函数存在“分界线”，且方程为14分21.设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（，），且离心率为，直线l过点P（3，0），且与椭圆C交于不同的A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求?的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率e===，则=①，将M（，），代入椭圆方程，即可求得椭圆的标准方程；（2）设其方程为：y=k（x﹣3），代入椭圆方程，由△＞0，解得：k2＜，=（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2），则?=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=（k2+1）[x1x2﹣3（x1+x2）+9]，由韦达定理可知，代入求得?=2+，由k的取值范围，即可求得?的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得：由椭圆的离心率e===，则=①，由点M（，）在椭圆上，②，解得：a2=6，b2=4，∴椭圆C的方程为：；（2）①当直线l的斜率不存在时，l的方程为：x=3与椭圆无交点．故直线l的斜率存在，设其方程为：y=k（x﹣3），A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：（3k2+2）x2﹣18k2x+27k2﹣12=0，∵△=（18k2）2﹣4（3k2+2）（27k2﹣12）＞0，解得：k2＜，x1+x2=，x1x2=，（6分）∵=（x1﹣3，y1），=（x2﹣3，y2）∴?=（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=（x1﹣3）（x2﹣3）+k2（x1﹣3）（x2﹣3），=（k2+1）[x1x2﹣3（x1+x2）+9]=（k2+1）（﹣+9）==2+，（10分）∵0≤k2≤，∴＜≤，∴＜2+≤3，∴?∈（，3]．（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．22.已知椭圆C：（）的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A