2021-2022学年安徽省阜阳市实验中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年安徽省阜阳市实验中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设偶函数对任意，都有，且当时，,则=

A.10

B.

C.

D.

参考答案：B略2.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若则

B．若则C．若则

D．若,则参考答案：D3.若点在函数的图象上，则的值为A. B.C. D.参考答案：D略4.《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（）A．6 B．9 C．12 D．15参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】设此数列为{an}，由题意可知为等差数列，公差为d．利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．【解答】解：设此数列为{an}，由题意可知为等差数列，公差为d．则S7=21，a2+a5+a8=15，则7a1+d=21，3a1+12d=15，解得a1=﹣3，d=2．∴a10=﹣3+9×2=15．故选：D．5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）（A）c<b<a

（B）c<a<b

C）b<a<c

（D）b<c<a参考答案：A6.如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，] B． D．参考答案：D【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：?实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立?+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3；当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．8.直线y=5与y=﹣1在区间[0，]截曲线y=msinx+n（m，n＞0）所得的弦长相等且不为零，则下列正确的是（）A．m≤B．m≤3，n=2C．m＞D．m＞3，n=2参考答案：D略9.设定义在区间[﹣k，k]上的函数f（x）=是奇函数，且f（﹣）≠f（），若[x]表示不超过x的最大整数，x0是函数g（x）=lnx+2x+k﹣6的零点，则[x0]=（）A．1 B．1或2 C．2 D．3参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用定义在区间[﹣k，k]上的函数f（x）=lg是奇函数，求出m=1，0＜k＜1，利用函数g（x）=lnx+2x+k﹣6在（0，+∞）上单调递增，g（2）=ln2+k﹣2＜0，g（3）=ln3+k＞0，即可得出结论．【解答】解：∵定义在区间[﹣k，k]上的函数f（x）=lg是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴1﹣m2x2=1﹣x2，∴m=±1，m=﹣1时，f（x）=0，不满足f（﹣）≠f（），∴m=1，∴f（x）=lg，定义域为（﹣1，1），∴[﹣k，k]?[﹣1，1]，∴0＜k＜1，∵函数g（x）=lnx+2x+k﹣6在（0，+∞）上单调递增，g（2）=ln2+k﹣2＜0，g（3）=ln3+k＞0，∴x0∈（2，3），∴[x0]=2，故选C．【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于中档题．10.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是（）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．以上情况都有可能参考答案：C【考点】J9：直线与圆的位置关系；GZ：三角形的形状判断．【分析】由题意可得，圆心到直线的距离＞2，即c2＞a2+b2，故△ABC是钝角三角形．【解答】解：∵直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，∴圆心到直线的距离＞2，即c2＞a2+b2，故△ABC是钝角三角形，故选C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某个容量为的样本的频率分布直方图如左下，则在区间上的数据的频数为

．参考答案：12.若向量满足，则的值为___

.与的夹角是___

.参考答案： , 13.对有n(n≥4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和

(m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则=

;所有

(1≤i＜j≤的和等于

.参考答案：【答案】

,

6【解析】第二空可分:①当时,;②当时,;③当时,;所以14.复数z的共轭复数为，已知，则___________．参考答案：，则，则．15.将大小不同的两种钢板截成A、B两种规格的成品，每张钢板可同时截得这两种规格的成品的块数如右表所示．若现在需要A、B两种规格的成品分别为12块和10块，则至少需要这两种钢板共

张参考答案：716.若奇函数，当时，，则不等式的解_________。参考答案：17.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）?B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）参考答案：①③④【考点】命题的真假判断与应用；充要条件；全称命题；特称命题；函数的值域．【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；

（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；

（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．则f（x）+g（x）?B，故③是真命题；

（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题．故答案为①③④．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3+a9=24，S5=30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）因为数列{an}是等差数列，设其首项是a1，公差是d，由题意a3+a9=2a6=24，a6=12，，解得a1=2，d=2，an=2n．…（2）因为an=2n，an+2=2（n+2），，∴=…（12分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知函数，其导函数为.（1）设，若函数在上有且只有一个零点，求的取值范围；（2）设，且，点是曲线上的一个定点，是否存在实数，使得成立？证明你的结论参考答案：（1）当时，由题意只有一解.由得令则令得或当时，单调递减，的取值范围为当时，单调递增，的取值范围为当时，单调递减，的取值范围为由题意，得或，从而或，所以，当或时，函数只有一个零点.（2）假设存在，则有即不妨设，则，两边同除，得令令在上单调递增对恒成立，在上单调递增又对恒成立，即（*）式不成立，不存在实数，使得成立.20.（12分）

如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点。

(I)证明平面；

(II)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。

参考答案：解析：方法一：(I)

证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。

底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在中，EO是中位线，。而平面EDB且平面EDB，所以，平面EDB。

。。。。。。。。。。。。。。。。。3分(II)解：方法一、作交DC于F。连结BF。设正方形ABCD的边长为。底面ABCD，为DC的中点。底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。在中，在中，

所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为

。。。。。。。。。12分方法二(略)21.已知，，且直线与曲线相切．（I）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（II）（ⅰ）当时，求最大的正整数，使得任意个实数（是自然对数的底数）都有成立；（ⅱ）求证：.参考答案：解析:（1）设点为直线与曲线的切点，则有．

（*），．

（**）由（*）（**）两式，解得，．

由整理，得，，要使不等式恒成立，必须恒成立．

设，，，当时，，则是增函数，，是增函数，，．

（2）（ⅰ）当时，，，在上是增函数，在上的最大值为．要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．，解得．因此，的最大值为． （ⅱ）当时，根据（1）的推导有时，，即．令，得，化简得，

即

略22.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图.（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：周光照量X（单位：小时）光照控制仪最多可运行台数321若某台关照控制仪运行，则该台光照控制仪