高中数学人教A版第二章平面向量（省一等奖）

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知向量a，b满足：a＋b＝(1，3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为()A．(4，0)，(－2，6) B．(－2，6)，(4，0)C．(2，0)，(－1，3) D．(－1，3)，(2，0)解析：2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(1，3)＋(3，－3)＝(4，0)，∴a＝(2，0)．b＝(a＋b)－a＝(1，3)－(2，0)＝(1－2，3－0)＝(－1，3)．答案：C2．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝()A．(5，7) B．(5，9)C．(3，7) D．(3，9)解析：因为2a＝(4，8)，b＝(－1，1)，所以2a－b＝(4－(－1)，8－1)＝(5，7)．故选A.答案：A3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()A．－2，1 B．1，－2C．2，－1 D．－1，2解析：∵c＝λ1a＋λ2b，则有(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＋2λ2＝3，,2λ1＋3λ2＝4，))解得λ1＝－1，λ2＝2.答案：D4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为()A．(2，6) B．(－2，6)C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：由题意有4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，所以d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)5．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＝________．解析：∵A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3，3)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，3)＋2(－3，3)＝(2，3)＋(－6，6)＝(－4，9)．答案：(－4，9)6．(2023·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析：根据向量相等，先求m，n，再求m－n.∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))∴m－n＝2－5＝－3.答案：－37．已知e1＝(1，2)，e2＝(－2，3)，a＝(－1，2)，试以e1，e2为基底，将a分解为λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)的形式：________．解析：设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，则(－1，2)＝λ1(1，2)＋λ2(－2，3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＝λ1－2λ2，,2＝2λ1＋3λ2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(1,7)，,λ2＝\f(4,7).))∴a＝eq\f(1,7)e1＋eq\f(4,7)e2.答案：a＝eq\f(1,7)e1＋eq\f(4,7)e2三、解答题(每小题10分，共20分)8．(2023·河南省新乡市高一期末)已知点A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D(x，y)，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3－x，4－y)．由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(1，2)＝(3－x，4－y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝3－x，,2＝4－y，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))所以D(2，2)．9．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，3)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))(λ∈R)，求λ与y的值．解析：(1)设B(x1，y1)，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝1，))所以B(3，1)．同理可得D(－4，－3)．设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝eq\f(3－4,2)＝－eq\f(1,2)，y2＝eq\f(1－3,2)＝－1，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).(2)由eq\o(PB,\s\up6(→))＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，又eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))(λ