高中数学人教B版第二章平面向量

三、平面向量★考试大纲★一、考纲点击1、理解向量的基本概念和向量的基本运算；2、掌握共线、垂直、夹角；3、向量的坐标表示及运算。二、热点提示本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，向量共线的条件极其坐标表示，向量的数量积运算的定义、运算律及其坐标表示，向量垂直的条件极其坐标表示。★教学大纲★平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景；（2）理解平面向量的概念和两个向量相等的含义；（3）理解向量的几何表示。2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。5．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。★知识梳理★一、基本概念1.向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。2.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。有向线段三要素：起点、方向、长度。3.向量的长度（模）：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作。4.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的方向是任意的。单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量、是两个平行向量，那么通常记作∥。平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量，都有∥。6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量、是两个相等向量，那么通常记作=。7.如图，已知非零向量、，在平面内任取一点A，作=，=，则向量叫做与的和，记作，即。7.相反向量：①我们规定，与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作-。和-互为相反向量。②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。③任一向量与其相反向量的和是零向量，即。④如果、是互为相反的向量，那么=-，=-，。⑤我们定义，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。二、向量的加减向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。说明：1.对于零向量与任一向量，我们规定：+=+=2.公式及运算定律：①②≤③④三、向量的数乘向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。记作，它的长度与方向规定如下：①②当λ＞0时，的方向与的方向相同；当λ＜0时，的方向与的方向相反；λ=0时，=运算定律：①②③④⑤四、共线定理共线定理：对于向量（≠）、，如果有一个实数λ，使=，那么与共线。相反，已知向量与共线，≠，且向量的长度是向量的长度的μ倍，即||=μ||，那么当与同方向时，有=；当与反方向时，有=。则得如下定理：向量向量（≠）与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=。五、平面向量基本定义平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。补充结论：已知向量、是两个不共线的两个向量，且m、n∈R，若，则m=n=0。正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。六、向量夹角向量与的夹角：已知两个非零向量和。作，，则（0°≤θ≤180°）叫做向量与的夹角。当θ=0°时，与同向；当θ=180°时，与反向。如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作。七、向量的坐标表示1.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。即若，，则，2.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若，则_x_y_L_P2_P_P13.当且仅当x1y2_x_y_L_P2_P_P14.定比分点坐标公式：当时，P点坐标为①当点P在线段P1P2上时，点P叫线段P1P2的内分点，λ＞0②当点P在线段P1P2的延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，λ＜-1；当点P在线段P1P2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，-1＜λ＜0.22.从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，则，其中λ+μ=1数量积（内积）：1.已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作·即·=。其中θ是与的夹角，（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影。我们规定，零向量与任一向量的数量积为0。2.·的几何意义：数量积·等于的长度与在的方向上的投影的乘积。3.数量积的运算定律：①·=·②（λ）·=λ（·）=·（λ）③（+）·=·+·④⑤⑥4.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即。则：①若，则，或。如果表示向量的有向线段的起点和中点的坐标分别为、，那么，②设，，则5.设、都是非零向量，，，θ是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：★考点精讲★一、向量的主要理论1.向量的坐标运算(1)设，则：，，，,,.(2)设，则：,2.共线定理3.数量积1、，2、在方向上的投影为：，3、，4、，5、.4.垂直条件1、，2、，3、.5.夹角二、向量主要题型1.向量共线的求解（1）列方程组由，设出，列出方程组，求出即可。（2）用坐标运算由，直接算出即可。例1已知点，及，.求点和的坐标。例2平面向量中，已知，，且，则向量______。2.向量垂直的求解1、。2、。例3已知，，其中．

(1)求证：与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．3.求向量夹角第一步，首先求出，第二步，根据夹角，求出夹角。4.计算模1、，2、求模先平方，求出平方，再开方计算。例4已知向量，向量，则的最大值是．5三点共线共线定理★高考精析★高考预测：在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考察向量的坐标表示，及坐标形势下的向量的线性运算；第三，经常和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力．在近几年的高考中，每年都有两道题目．其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题．大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题。第一课时向量的概念及线性运算重点难点聚焦重点：1．向量概念、相等向量概念、向量几何表示；2．用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量与差向量；3．掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件。难点：1．向量概念的理解；2．向量的加法和减法的定义的理解；3．对向量共线的充要条件的理解题组设计再现题组1.对任意向量，下列命题正确的是（）．A.若满足，且与同向，则B.C.D.若都是单位向量，则2.设是非零向量，是非零实数，则下列结论正确的是（）A.与的方向相反B.C.与的方向相同D.巩固题组3.已知，则（）A.三点共线B.三点共线C.三点共线D.三点共线4.已知向量，是两个非两向量，在下列的四个条件中，能使，共线的条件是（）①且②存在相异实数使③（其中实数满足）④已知梯形，其中A.①②B.①③C.②④D.③④提高题组5.若向量终点共线，则存在实数，且，使得反之，也成立。反馈题组6.平面向量、共线的充要条件是（）A．，方向相同B.，两向量中至少有一个为零向量C.D.存在不全为零的实数，，，求的大值和最小值。是平面上一定点，是平面上不共线三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（）外心B.垂心C.内心D.重心第二课时向量的正交分解及坐标表示新课标要求了解平面向量基本定理；2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；3．理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；4．会根据向量的坐标，判断向量是否共线；5．掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式。重点难点聚焦重点：1．平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示；2．平面向量的坐标运算；3．段的定比分点和中点坐标公式的应用难点：1．平面向量基本定理的理解；2．向量的坐标表示的理解及运算的准确性；高考分析及预策本节考点：1.平面向量基本定理；2.向量的正交分解；3.平面向量的坐标表示极坐标运算；4.两向量共线的条件的坐标表示；5.利用共线求定比分点坐标．题组设计再现题组1．下列说法正确的是（）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A.①②B.②③C.①③D.①②③2.已知点，，，，是判断向量和的位置关系．巩固题组3．在中，已知是中线上一点，且，则点的坐标为（）A.B.C.D.4.已知，，当为何值时，与平行？平行时，它们是同向还是反向？提高题组5．设向量，，，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（）A.B.C.D.6．如图，已知，求线段中点和三等分点的坐标．反馈题组7．若向量与相等，已知，则的值为．8．已知点及求：⑴为何值时，在第二象限？⑵四边形能否构成平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由。第三课时数量积及其应用新课标要求1掌握平面向量的数量积及其几何意义；2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4掌握向量垂直的条件重点难点聚焦重点：1．平面向量的数量积定义；2．平面向量数量积及运算规律；3．平面向量数量积的坐标表示．难点：1．平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用；2．平面向量数量积的坐标表示的综合运用高考分析及预策本节的主要考点:两个向量的夹角；平面向量的数量积的性质；向量数量积的运算律；用向量的坐标表示两个向量垂直的条件；向量的长度、距离和夹角公式．题组设计再现题组1.为何值时，与垂直？2.已知，⑴求与的夹角；⑵求；⑶若，，求的面积巩固题组3．若向量与的夹角为，，则向量的模为（）A.B.C.D.4．已知为的三个内角的对边，向量，，若，且则角=．提高题组5．设两个向量满足：的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的范围．6．已知向量且．⑴求及；⑵若的最小值是，求的值．反馈题组在中，若且，则的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形8．已知向量．⑴当时，求的值；⑵求函数的值域．测试题选择题1．已知是平面上的三个点，直线上有一点，满足，则=（）A．B.C.D.2．设，则=（）A．B.C.D.3．已知向量，若，则等于（）A．B.C.D.4．已知两点，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（）A．B.C.D.5．在中，，的面积，则与夹角的取值范围是（）A．B.C.