湖北省随州市广水李店乡中学2021-2022学年高二数学文测试题含解析

湖北省随州市广水李店乡中学2021-2022学年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知的三个内角的对边分别是，且，则角

等于（A）

（B）或

（C）

（D）

参考答案：A略2.点P是双曲线左支上的一点,其右焦点为,若为线段的中点,且到坐标原点的距离为,则双曲线的离心率的取值范围是(）A． B． C． D．参考答案：B3.一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中

（

）A真命题与假命题的个数相同

B真命题的个数一定是奇数C真命题的个数一定是偶数

D真命题的个数一定是可能是奇数，也可能是偶数

参考答案：C略4.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S的单位为钱，则输出的x，y分别为此题中好、坏田的亩数的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B5.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（

）A．2

B．18

C．2或18

D．16参考答案：6.已知F1、F2为椭圆

(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率,则椭圆的方程为

（

）

A

B

C

D

参考答案：D7.在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点

所在的曲线的形状为(

)参考答案：B略8.设i是虚数单位，若复数满足，则z=()A. B. C. D.参考答案：C试题分析：==,故选C.9.函数的单调增区间是A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.已知直线和两个平面，给出下列两个命题：命题p：若，，则；命题q：若，，则；那么下列判断正确的是(

)A．p为假

B．为假

C．为真

D．为真参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆两个焦点坐标分别是（5，0），（﹣5，0），椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为26，则椭圆的方程为

．参考答案：【考点】椭圆的标准方程；椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】由题意可得：c=5，并且得到椭圆的焦点在x轴上，再根据椭圆的定义得到a=13，进而由a，b，c的关系求出b的值得到椭圆的方程．【解答】解：∵两个焦点的坐标分别是（5，0），（﹣5，0），∴椭圆的焦点在横轴上，并且c=5，∴由椭圆的定义可得：2a=26，即a=13，∴由a，b，c的关系解得b=12，∴椭圆方程是

．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的定义，以及考查椭圆的简单性质，此题属于基础题．12.过点P的直线l将圆C：(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=

参考答案：略13.已知常数θ∈(0，)，则(tanθ)>(cotθ)x–8不等式的解集是

。参考答案：x≤–2或5≤x<14.设(1＋i)sinθ－(1＋icosθ)对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tanθ的值为________．参考答案：略15.已知随机变量服从正态分布，，则（

）参考答案：略16.已知=（5，-3），C（-1，3），=2，则点D的坐标为

参考答案：（9，-3）17.在下列命题中，所有正确命题的序号是____________．①三点确定一个平面；②两个不同的平面分别经过两条平行直线，则这两个平面互相平行；③过高的中点且平行于底面的平面截一棱锥，把棱锥分成上下两部分的体积之比为；④平行圆锥轴的截面是一个等腰三角形．参考答案：③略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图（1）是一个水平放置的正三棱柱，是棱的中点．正三棱柱的正（主）视图如图（2）（I）求正三棱柱的体积；（II）证明：；Ⅲ）求二面角的正弦值.

参考答案：略19.（本小题满分14分）已知长方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图（20）所示的平面直角坐标系.(1)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；(2)过点P(0,2)的直线与(1)中椭圆只有一个公共点，求直线的方程；

(3)过点P(0,2)的直线交(1)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.参考答案：已知长方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图（20）所示的平面直角坐标系.(1)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；(2)过点P(0,2)的直线与(1)中椭圆只有一个公共点，求直线的方程；(3)过点P(0,2)的直线交(1)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.

解(1)由题意可得点A,B,C的坐标分别为,,.设椭圆的标准方程是..椭圆的标准方程是(2)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.联立方程:

消去整理得,

当，直线的方程为.（3）可设直线的方程为.设M,N两点的坐标分别为，联立方程:

消去整理得,

当有若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,所以,,

即所以,

即

得所以直线的方程为,或.所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.略20.（12分）已知等比数列的公比为.若，求数列的前n项和；参考答案：∵，

∴，解得，所以数列的前n项和.。。12分21.如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．参考答案：考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC；（Ⅱ）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的交线AB的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值．解答： （Ⅰ）证明：如图，由AB是圆的直径，得AC⊥BC．由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC．又PA∩AC=A，PA?平面APC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC．因为BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）解：过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以PA⊥CM，故CM⊥平面PAB．过M作MN⊥PB于N，连接NC．由三垂线定理得CN⊥PB．所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角．在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得，，．在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得．因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以．故MN=．又在Rt△CNM中，．故cos．所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题．22.给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴的一个端点到点F的距离为．（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求?的取值范围；（3）证明：如果在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，那么l1，l2互相垂直．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意知c=，且=，可得b=1．即可得出椭圆C的方程与其“准圆”方程．（2）由题意，可设B（m，n），D（m，﹣n），可得=1．又A点坐标为（2，0），利用数量积运算可得?=（m﹣2）2﹣n2=，再利用二次函数的单调性即可得出．（3）设P（s，t），则s2+t2=4．对s，t分类讨论：当时，t=±1；当时，设过P（s，t）且与椭圆有一个公共点的直线l的斜率为k，则直线l方程为y﹣t=k（x﹣s），代入椭圆C方程可得x2+32=3，利用△=0，再利用根与系数的关系证明k1?k2=﹣1，即可．解答：解：（1）由题意知c=，且=，可得b=1．故椭圆C的方程为=1．其“准圆”方程为x2+y2=4．（2）由题意，可设B（m，n），D（m，﹣n），则=1．又A点坐标为（2，0），故=（m﹣2，n），=（m﹣2，﹣n）．故?=（m﹣2）2﹣n2=m2﹣4m+4﹣=，又＜m，故∈，∴?的取值范围是（3）设P（s，t），则s2+t2=4．①当时，t=±1，此时两条直线l1，l2中一条斜率不存在，另一条斜率为0，∴l1⊥l2．②当时，设过P（s，t）且与椭圆有一个公共点的直线l的斜率为k，则直线l方程为y﹣t=k（x﹣s），代入椭圆C方程可得x2+32=3，即（3k2+1）x2+6k（t﹣ks）x+3（t﹣ks）2﹣3=0（*），由△=36k2（t﹣ks）2﹣4（3k2+1