高中数学苏教版3第二章概率2．3独立性 第2章条件概率

独立性2.3.1条件概率1．了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式．(重点)2．利用条件概率计算公式解决一些简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理条件概率阅读教材P56～P57“例1”以上部分，完成下列问题．1．条件概率一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为P(A|B)．若A，B互斥，则P(A|B)＝P(B|A)＝0.2．条件概率公式(1)一般地，若P(B)＞0，则事件B发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)＝eq\f(PAB,PB).(2)乘法公式：P(AB)＝P(A|B)P(B)．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,3)，则P(B|A)＝________.【导学号：29440042】【解析】由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,3),\f(2,3))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]利用P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求条件概率(1)设某种动物能活到20岁的概率为，能活到25岁的概率为，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是________．(2)抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8①求P(A)，P(B)，P(AB)；②当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．【精彩点拨】(1)直接应用公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求解．(2)①利用古典概型求P(A)，P(B)及P(AB)．②借助公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求概率．【自主解答】(1)设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，则P(A)＝，P(B)＝，而所求概率为P(B|A)，由于B⊆A，故AB＝B，于是P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f,＝，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是.【答案】(2)①设x为掷红骰子得到的点数，y为掷蓝骰子得到的点数，则所有可能的事件与(x，y)建立对应如图．显然：P(A)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)，P(AB)＝eq\f(5,36).②P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(5,36),\f(1,3))＝eq\f(5,12).1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．[再练一题]1．(1)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.(2)有一批种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．【解析】(1)由公式P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(2,3)，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5).(2)设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝，又P(A)＝，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.【答案】(1)eq\f(2,3)eq\f(3,5)(2)利用基本事件个数求条件概率现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【精彩点拨】第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．【自主解答】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝Aeq\o\al(2,6)＝30，根据分步计数原理n(A)＝Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq\f(nA,nΩ)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).(2)因为n(AB)＝Aeq\o\al(2,4)＝12，于是P(AB)＝eq\f(nAB,nΩ)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)计算求得P(B|A)．(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件AB发生的概率，即P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)＝eq\f(\f(nAB,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq\f(PAB,PA).[再练一题]2．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？【解】由题意得球的分布如下：玻璃木质合计红235蓝4711合计61016设A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，则P(A)＝eq\f(11,16)，P(AB)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,4),\f(11,16))＝eq\f(4,11).[探究共研型]利用条件概率的性质求概率探究1掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？【提示】掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．探究2“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？【提示】“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．探究3先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？【提示】设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为(B＋C)|A.∴P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).将外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试验成功．求试验成功的概率．【精彩点拨】设出基本事件，求出相应的概率，再用基本事件表示出“试验成功”这件事，求出其概率．【自主解答】设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，R＝{第二次取出的球是红球}，W＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P(A)＝eq\f(7,10)，P(B)＝eq\f(3,10)，P(R|A)＝eq\f(1,2)，P(W|A)＝eq\f(1,2)，P(R|B)＝eq\f(4,5)，P(W|B)＝eq\f(1,5).事件“试验成功”表示为RA＋RB，又事件RA与事件RB互斥，所以由概率的加法公式得P(RA＋RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(7,10)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,10)＝eq\f(59,100).条件概率的解题策略分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．[再练一题]3．已知男人中有5%患色盲，女人中有%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率；(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．【解】设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝eq\f(5,100)×eq\f(100,200)＋eq\f,100)×eq\f(100,200)＝eq\f(21,800).(2)P(A|C)＝eq\f(PAC,PC)＝eq\f(\f(5,200),\f(21,800))＝eq\f(20,21).[构建·体系]1．已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(3,5)，则P(A|B)＝________.【解析】P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)2．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．【解析】设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,100))，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(5×4,100×99),\f(5,100))＝eq\f(4,99).【答案】eq\f(4,99)3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.【解析】∵P(AB)＝eq\f(1,4)，P(A)＝eq\f(1,2)，∴P(B|A)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4．抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}．则P(B|A)＝________.【导学号：29440043】【解析】∵P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，P(AB)＝eq\f(1,36)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,36),\f(1,12))＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)5．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？【解】(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先