2020高考数学专题练习解三角形

2020高考数学专题练习解三角形1．解三角形中的要素例1:A4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c=、込,b6，B=60。，则C=■2．恒等式背景例2:已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且有acosC且有acosC+)求A；(2)若a=2，且AABC的面积为朽，求b,c

一、单选题TOC\o"1-5"\h\z1.在△ABC中，a=1,ZA=-,ZB=-,则c二()64B.2^C.应D.叵2222•在△ABC中，三边长AB=7,BC=5,AC=6，则AB.BC等于()A.19B.—19C.18D.—18.在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别是a,b,c，若c=2acosB，则三角形一定是()D•等边三角形A•等腰直角三角形B•直角三角形C•等腰三角形4.AABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C二-，c=、：7，b=3a，则△D•等边三角形的面积为()A.B.A.B.2-D.A.30。B.60。C.120。D.150。A.1C.2D.4•在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且bi+c2=a2+bc，若sinB-sinC=sin2A,则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosB-bcosA=c,则AABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形9•在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知AABC的面积为彳‘亦，b一c=2,cosA=一丄，则a的值为（）4A.A.8B.16C.32D.6410•在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边•若b+a(sinC—cosC)=0,则A=（）A.B.D.A.B.D.11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,abc

cosAcosBcosC，则△ABC是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形12•在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=2.3,c=2、込,tanA2c+=-,tanBb则ZC=()A.BA.B.D.二、填空题13•在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2、込，bi-a2=16，则角CTOC\o"1-5"\h\z的最大值为；14.已知△ABC的三边a,b,c成等比数列，a,b,c所对的角分别为A,B,C，则sinB+cosB的取值范围是.15.在△ABC中三个内角ZA,ZB,ZC,所对的边分别是a,b,c,若(b+2sinC)cosA=-2sinAcosC，且a=2^3，则△ABC面积的最大值是16•在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且A,B,C成等差数列，b=73，则△abc面积的取值范围是•三、解答题17.己知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且旦=cosA+2.csinC1)求角A的大小；⑵若b+c=5，且△ABC的面积为启，求a的值.18•如图，在△ABC中，点D在BC边上，ZADC=60。,ab=2历，BD=4-(1)求△ABD的面积.⑵若ZBAC=120。，求AC的长.答案1．解三角形中的要素例1:△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c=、込,b=<6，B=60。,则C=■【答案】C=30。【解析⑴由已知B,b,c求C可联想到使用正弦定理：上二厶nsinC=CSinB,sinBsinCb代入可解得：sinC=2•由c<b可得：C<B=60°，所以C=30。•

2．恒等式背景例2:已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且有acos且有acosC+⑴求A；(2⑴求A；(2)若a=2，且A4BC的面积为点，求b,c【答案⑴1;⑵2,2.3【解析】⑴acosC+^3asinC-b-c=0nsinAcosC+--：3sinAsinC一sinB一sinC=0AcosC+73sinAsinC一sin(A+C)一sinC=0nsinAcosCnsinAcosC+即^3sinA一即^3sinA一cosA=1n2sin舍），=1nsin2)S2)S△ABC=—bcsinA=€3nbc=24，a2=a2=b2+c2-2bccosAn4=b2+c2-bc,b2+c2-bc=4Ib2+c2=8bc=4Ibc=4可解得|b:2一、单选题1.在△ABC中，一、单选题1.在△ABC中，a=1,ZAV■ZB弓'则c=(B．<6'2【答案】A【解析】由正弦定理上sinAsinB•B1xsin—b可得b=血=―4-込、sin【解析】由正弦定理上sinAsinB6且cosC二—cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)二-——由余弦疋理可得•由余弦疋理可得•c=a2+b2—2abcosC=1+2+2x1x£x丕2=•故选A.2•在△ABC中，三边长AB=7,BC=5,AC=6，则Ab•BC等于(A．19B．A．19B．—19C．18D．—18【答案】B【解析】•••三边长AB=7,BC=5,AC=6,TOC\o"1-5"\h\z.厂AB2+BC2一AC272+52一6219…cosB===-,AB-BC2x7x535AB-BC=AB-BCcos(—一B)=7x5x|—一丨=一19•故选B.I35丿.在AABC中，角A,B,C所对应的边分别是a，b，c，若c=2acosB，则三角形一定是()A•等腰直角三角形B•直角三角形C•等腰三角形D•等边三角形【答案】c【解析】:c=2acosB，由正弦定理c=2RsinC,a=2RsinA，二sinC=2sinAcosB,

■/A,B,C为△ABC的内角，sinC=sin（A+B）,A,Be（0,兀）,/.sin（A+B）=2sinAcosB,sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，整理得sin（A-B）=0,.A-B=0，即A=B.故△ABC—定是等腰三角形.故选C.4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若C=|,c=的,b=3a，则△ABC的面积为（）【解析】已知【解析】已知C=扌c=\：7，b=3a，由余弦定理c2=a2由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC可得：7=a2+b2一ab=a2+9a2一3a2=7a2,解得：a=1,b=3，.f2absinC=2x1x3*弓故选A.3J3A.334B."4c.运【答案】A5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，若a2-b2=bc,sinC=2杼sinB，则A=（）A.30。A.30。【答案】AB.60。C.120。D.150。【解析】根据正弦定理由sinC=2>/3sinB得：c=所以a2-b2=、J3bc=-、：3-^'3b2，即a2=7b2,则cosA=b则cosA=b2+c2-a22bcb2+12b2—7b2=迴4、5b2=2又Ae（0,兀），所以a=-.故选A.666.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，如果（a+b+c）（b+c-a）=3bc,且a=启，那么△ABC外接圆的半径为（）A.1B.、2C.2D.4【答案】A【解析】因为(a+b+c+c—a)=3bc，所以©+»2-a2=3bc，化为b2+c2-a2=be,所以cos所以cosA二二2，又因为A弘/，所以A专2bc由正弦定理可得2R=孟=吕=2，所以R=1，故选A.7•在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2+c2=a2+bc，若sinB-sinC=sin2A,则AABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案】C【解析】因为【解析】因为sinB-sinC=sin2Abc所以莎2RA2也就是a2=bc，所以b2+c2=2bc，从而b=c,故a=b=c,AABC为等边三角形•故选C.AABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足acosB-bcosA=c，则AABC是（）A.锐角三角形直角三角形钝角三角形A.锐角三角形直角三角形钝角三角形等腰三角形【答案】B【解析】利用正弦定理宀=J=—化简已知的等式得:sinAsinBsinCsinAcosB一sinBcosA=sinC即sin（A-B）=sinC,•••A,B，C为三角形的内角，A-B=C，即A=B即sin（A-B）=sinC,在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知AABC的面积为3叮15,b—c=2,cosA=-1，则a的值为（）4A.8B.16C.32D.64答案】A【解析】因为0<A<冗，所以sinA=\：1-cos2A二旦5,4又必ABC=2加sinA=¥加=3^，由余弦定理得a2=b2+e2一2bccosA=又必ABC=2加sinA=¥加=3^，由余弦定理得a2=b2+e2一2bccosA=62+42一2x6x4x=64，所以a=8故选A.在△ABC中，a，b，e分别为角A，B，C所对的边•若b+a(sinC—cosC)=0,B.D．B.D．A.—4【答案】C解析】sinB=sinJA+C丿=sinAcosC+cosAsinC，■/b+aJsinC一cosC丿=0，可得：sinB+sinAVsinC-cosC丿=0，所以所以cosA=2.由同角三角函数得sinA=2/.sinAcosC/.sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC一sinAcosC=0，二cosAsinC+sinAsinC=0,4343■/sinC丰0，二cosA=一sinA，二tanA=一1,■■兀3<A<冗，二A冗•故答案为c.24在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c，若=-^=-C，则△ABCcosAcosBcosC是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】D【解析】丁一=-b=—c，由正弦定理得：a=2R-sinA，b=2R-sinB，c=2R-sinCcosAcosBcosC代入，sinAcosAsinBcosBsinCcosC二进而可得tanA=tanB=tanC，A=sinAcosAsinBcosBsinCcosC二进而可得tanA=tanB=tanC，A=B=C，则△ABC是等边三角形•故选D.12•在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，bc，已矢口a=2i：3，c=2\2，tanA2c1+=—，

tanBb则ZC=()A冗A.—B.匹64【答案】BD.解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：sinAcosB2sinC1+=cosAsinBsinB去分母移项得：sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，所以sin(A+B)=sinC=2sinCcosA由正弦定理一JsinA由正弦定理一JsinAcsinC解得sinc=三所以zC=4或弓（舍）•故选B二、填空题13•在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2、込，b2-a2=16，则角C的最大值为；【答案】匹6【解析】在△ABC中，由角C的余弦定理可知a2+a2+b2-c2cosC=—2abb2-a2a2+b2-22ab3a2+b23，、—4ab2又因为0<C<冗，所以C=-•当且仅当a=2込，b=2屈时等号成立.max614.已知△ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角分别为A，B，C，则sinB+cosB的取值范围是•【答案】"1,2]【解析[•「△ABC的三边a,b,c成等比数列,…ac=b2=a2+c2-2accosB>2ac-2accosB•••Bef0,匹B+-ef-7-、4?1233可得sinB+cosB=e"1,2],故答案为"1,2].b，c，若15.在△ABC中三个内角ZA,ZB,ZC,所对的边分别是a(b+2sinC)cosA=-2sinAcosC，且a=2^/3，则b，c，若【答案】叮3解析】(b解析】(b+2sinC)cosA=-2sinAcosCbcosA=-2(sinCcosA+sinAcosC)=-2sin(A+C)=-2sinB则匕=二，结合正弦定理得二=亠=互，即tanA=-、E，ZAsinBcosAcosAsinAsinA由余弦定理得cosA=竺兰m=—丄，化简得b2+c2=12-bc>2bc，2bc2故be<4，S=1bcsinA<1x4x^3=.3，故答案为、3-△ABC222C成等差数16•在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，e，且A，B,列，b=v'3C成等差数则△ABC面积的取值范围是答案】【解析［•「△ABC中A，B，C成等差数列,a由正弦定理得而esinCbsinB-sinJ.a=2sinA，e=2sinC，-5--5-62二S△ABC=—acsinB=2ac=4=&nAsinC”sinAsin件=\3sinA2cosA+2sinA=—sinAcosA+fsin2A=sin2A+421一cos2A2—sin2A—sin2A2<3+-4=3sin2A—亘cos2A+亘=44T△ABC为锐角三角形，兀0<A<—22兀0<—A3解得：＜A＜2匹<2A—匹<丸666-<sin|2A—-j<12I6丿（仃、2A—-+—＜五，故AABC面积的取值范围是3/3—I6丿44124」33.<sin22三、解答题17.己知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且鱼=cosA+2.csinC（1）求角A的大小；⑵若b+c=5，且AABC的面积为月，求a的值