高二物理竞赛刚体课件

第一篇

力学第3章刚体的定轴转动第3章刚体的定轴转动RotatingofaRigidBodyAboutaFixedAxis第1节刚体的平动和转动第2节刚体定轴转动定律第3节刚体转动的功和能第4节刚体的角动量定理和角动量守恒定律第5节滚动与进动TranslationandRotationofaRigidBody第1节刚体的平动和转动1.刚体（大小和形状不能忽略）大小和形状都保持不变的物体。刚体内任意两质点之间的距离保持不变。刚体可看成是各质点间相对位置保持不变的特殊的质点系。关于质点系的力学规律都可用于刚体。质心ABA'B'A"B"选哪个点来代表？2.刚体的平动质心

连接刚体内任意两点的一条直线在运动的各个时刻的位置都彼此平行。刚体的这种运动称为平动。

刚体作平动时，其上各个质点的运动状态完全相同，故可用任意一点的运动代表刚体整体的运动。通常用质心的运动来代表整个刚体的运动。平动质心：质量分布的中心质心的位矢N个质点质量m1,m2,,mN定义：质心的位矢质心注意密度均匀，形状对称的刚体：或质心重心?几何对称中心质点系的总质量质点系对应的位矢质心运动定理质心的速度：质心的加速度：设mi受力则：对所有质点求和：0——质心运动定理即：刚体的平动如同一质点，只是将质量全部集中于该点（质心）,承受的所有外力。注意：质心上可能既无质量，又未受力。哑铃炮弹演示：锥体上滚3.刚体的转动刚体定轴转动的描述转轴刚体转轴上各点都保持静止转动：刚体各点都绕同一直线

(转轴)

作圆周运动。最简单的情况是转轴的位置和方向都固定不变的转动，称为刚体的定轴转动。在同一时间间隔内,各点的位移不同，速度不同；用角量来描述转动规律较为方便。但对轴的转角相同，角速度相同！(1)

角位置定轴转动的运动方程(3)

角速度(4)

角加速度单位：q

：弧度(rad)w：弧度/秒(rad·s-1)b弧度/秒(rad·s-2)2：(2)

角位移描述刚体的定轴转动的物理量dtdq=22dtddtdqwb==w转轴刚体qq参考方向xppqrqr定轴转动中角量与线量的基本关系角量的方向：右手螺旋法则矢量式对于定轴转动，始终沿转轴。1.力矩（1）在垂直oo

的平面内（2）不在垂直oo

的平面内oo.P对刚体绕oo轴的转动无贡献

总可分解成两个分量：计算时,只需考虑的力矩,即Mz.第2节刚体定轴转动定律PrincipleofRotationofaRigidBodyAboutaFixedAxis(参考点在转轴上)oo.P在轴上任选参考点O,则任一质元A对O的角动量为:质点系的角动量定理:(Z轴)转轴刚体2.定轴转动定律

只有力矩的z向分量对定轴转动有作用!故求此分量Mz的表达式:

——转动惯量(Z轴)转轴刚体将Mz改写为M，则——定轴转动定律将Lz改写为L，则——对定轴的角动量——刚体对定轴(z轴)的转动惯量

由刚体上各质元相对于固定转轴的分布决定，与外力无关，是表征刚体转动惯性的特征量。与牛顿第二定律比较：Jmm反映质点的平动惯性定轴转动定律:J反映刚体的转动惯性Jm刚体对定轴的角动量:3.转动惯量的计算（1）分立的质量元构成的系统（2）质量连续分布的系统(如:刚体)Mrdm在SI制中，J的单位：kg·m2质量元dm

的计算方法如下：质量为线分布：质量为面分布：质量为体分布：线密度面密度体密度例1.

求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动

惯量。轴与圆环平面垂直并通过环心。解：若是半径为R的薄圆筒（不计厚度）结果如何？OdmOR在圆环上取质量元dm结果形式不变例2.

求质量为m,

半径为R,厚为l

的均匀圆盘的

转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：lr取半径为r宽为dr的薄圆环,其质量为：显然：转动惯量与l无关。所以，实心圆柱（面）对其轴的转动惯量也是mR2/2。例3.如图所示,一个均匀半圆薄板的质量为m,半径为R.以其直径边为转轴,它的转动惯量多大？解:取窄条状面元dS.设面密度为.dShdhd对应的弧长为Rd?X例4.求长为L、质量为m的均匀细棒

对图中不同轴的转动惯量。ABLo解：取如图坐标dm=dx以质心为转轴的J：可见：同一物体绕不同的转轴的转动惯量不同！ABL/2L/2CXo以棒一端为转轴的J：（3）平行轴定理

JC是通过质心的轴的转动惯量，

JA是通过棒端的轴的转动惯量

两轴平行，相距L/2。上述结论可以推广：——平行轴定理

若有任一轴与过质心的轴平行,相距为d,刚体对其转动惯量为J，则有：ABLC231mLJA=2121mLJC=一些常见刚体的转动惯量：细棒细棒薄圆环或薄圆筒圆盘或圆柱体薄球壳球体4.刚体定轴转动定律的应用长的易控些，理由见下页

长杆哪个易控些？为什么？短铅笔小实验小实验竿子长些还是短些安全？例:已知qqmB()A()LmLL2LOOq

从小倾角处静止释放两匀直细杆地面短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关求两者瞬时角加速度之比bb1L1LLL2213singmLq1mLsingmLq1mL32122b根据MJbbMJJM解：例5.一根长为L、质量为m的均匀细直棒,其一端

有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平

面内转动。

最初棒静止在水平位置，

求它由此下摆角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O

的力矩。XOgdmdmxmmmgC合力矩：

棒上取质元dm,当棒处在

下摆角时,重力矩为：重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。XOgdmdmxmgC又：即：mgCXOxc例6.质量为m、长为L的匀质细杆水平放置,一端为铰链，另一端用绳悬挂。求剪断绳子瞬时,杆的角加速度以及铰链的支撑力。.解：剪断时细杆绕O点的力矩为o根据定轴转动定律质心平动：例7.

在半径为R,质量为m，J=mR2的滑轮上挂一细绳，细绳两端各挂两物m1>m2。m2m1解：m1、m2作为质点处理滑轮作刚体处理,m1gT1m2gT2T1T2根据牛顿定律：y由定轴转动定律：联立解得：

求:两物的加速度a及滑轮的角加速度.动画第3节刚体转动的功和能WorkandEnergyofaRotatingRigidBody1.刚体的转动动能wOviviri

mi多个质点组成的质点系的动能定义为:所以，转动的刚体的动能为:2.力矩的功力在这段元位移中所做的功是:即:力对转动刚体所做的功用力矩的功来计算!所以，3.

刚体绕固定轴转动的动能定理在刚体的转动过程中,合外力矩M对刚体所做的功为:即：

合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量——刚体绕固定轴转动的动能定理4.刚体的重力势能yhihcxOMCmi质元mi的势能：整个刚体的势能：刚体的重力势能5.机械能守恒定律

对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力做功,则此系统的机械能守恒。它的全部质量都集中

在质心时所具有的势能XOmgC例10.一根长为L,质量为m的均匀细直棒,一端有一

固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面内转

动。

最初棒静止在水平位置，求它由此下摆

角时的角加速度和角速度。解：（用机械能守恒定律重解P20例5)在棒摆动过程中系统的机械能守恒。设棒在水平位置时重力势能为零，由机械能守恒知:与前面解得的结果一致!1.刚体的角动量刚体上的任一质元绕固定轴做圆周运动时相对于转轴上任意一点O的角动量在轴上的分量的大小均为：故，刚体对此轴的角动量为：即：刚体对定轴的角动量L,等于它对该轴的转动

惯量J和角速度的乘积。简写为：第4节刚体的角动量定理和角动量守恒定律PrincipleofAngularMomentum&LawofConservationofAngularMomentumofaRigidBodyRotatingAboutaFixedAxis质点的角动量定理为对质点系任意一质点定轴方向0对质点系:由上可得：定轴转动定律——刚体绕定轴的角动量定理2.

刚体绕定轴的角动量定理内外J不变J变化合外力矩M

对刚体绕定轴的冲量矩为：即:对某一定轴的外力矩在某段时间内的累积效果为刚体对同一转动轴的角动量的增量。(微分形式)刚体绕定轴的角动量定理：(积分形式)简写为当合外力矩则——角动量守恒讨论（1）当L=常量，若J=常量，则

=常量，即：刚体保持恒定的角速度转动。当L=常量，若J常量，J=常量，则

常量。或J（2）此定律可推广到含多个质点、多个刚体的系统3.

角动量守恒定律旋转演示：直升机模型演示：离心节速器例11.

如图，质量为

M

半径为

R

的转台初始角速度为0,有一质量为m

的人站在转台的中心,若他相对于转台以恒定的速度u沿半径向边缘走去,求人走了t

时间后,转台转过的角度。（竖直轴所受摩擦阻力矩不计）解：人与转台系统对轴角动量守恒设t

时刻人走到距转台中心r=ut

处，转台的角速度为

.OOuvmm碰前碰后例12.匀质细棒质量为m,长为2l,可在铅直平面内绕通过其中心的水平轴O自由转动.开始时棒静止于水平位置,一质量为m'的小球,以速度u垂直落到棒的端点,且与棒作弹性碰撞,

碰撞时间极短.

求:碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度.解:

以棒和小球为系统.在碰撞过程中,对轴O的外力矩只有小球的重力矩mgl.因碰撞时间极短,此重力矩对时间的累积可忽略不计.

于是,系统对转轴O的角动量守恒:以顺时针转动时的角动量方向为正,则由角动量守恒得:因作弹性碰撞,故在碰撞过程中机械能守恒:

于是,系统对转轴O的角动量守恒OOuvmm碰前碰后由(1)(2)解得:m(黏土块)yxhPθOM光滑轴匀质圆盘（水平）R例13.如图示，一黏土块从高处落下打到一刚体圆盘上，与圆盘一起运动，接触点为P，圆盘可绕过中心垂直于纸面的转轴转动。已知：h，R，M=2m，=60.求：碰撞的瞬间盘的

P点转到x轴时,盘的解：m由静止下落：(1)mPhv

对(m+盘)系统,碰撞中重力对O轴力矩可忽略,系统角动量守恒：(2)小球对定轴的角动量的大小：(3)对（m+M+地球）系统，mmg·OMR令P与x轴重合时EP=0，则：(5)由(3)(4)(5)得：由(1)(2)(3)得：(4)只有重力做功，机械能守恒.(1)(2)例14、一人手持长为的轻棒的一端打击岩石，使棒由运动变为静止，为了避免手受到剧烈的冲击。请问：此人应当用棒的哪一点去打击岩石才会受力最小？解：打击前，棒的运动可看成绕手握端的定轴转动，为满足打击时手受力最小，即手受力为零。于是打击过程中棒只受岩石的反作用力，该力使棒的质心速度降为零，棒的转动速度也降为零。设打击时间为，打击点与手握端的距离为（动量定理）（角动量定理）解得：刚体的非定轴的运动1.滚动S=2RAcccRAA0可看成轴平动刚体绕定轴转动合成运动方程质心平动定轴转动注意：10角量是对质心而言的，可以证明：b=w=RaRvcc30S=R20切点的速度v0=0

！是瞬时静止的。这个点称为瞬心。2.进动：陀螺在绕本身的对称轴线转动的同时，对称轴还将绕竖直轴OZ转动,这种回转现象称为进动。进动产生的原因：重力对O点的力矩为，的方向：的方向与一致L