第12章 气体动理论

第12章气体动理论教学基本要求一、理解平衡态、状态参量等概念。二、理解宏观物体的微观图像和理想气体的宏观、微观模型。三、理解理想气体的压强及温度的微观本质；熟练掌握理想气体状态方程、压强公式、温度公式的运用。四、理解麦克斯韦速率分布函数、分布曲线的物理意义；掌握气体分子热运动的最可几速率、平均速率、方均根速率的意义及计算方法。五、理解能量按自由度均分定理，并能运用其计算理想气体的内能。六、了解气体分子的平均碰撞频率、平均自由程的概念。作业：1-6,8,9,10,11,12,14,16,18

12.0概述气体分子运动论以气体为研究对象，从气体分子热运动观点出发，运用力学规律和统计的方法研究大量气体分子的热运动规律。气体分子运动论是人们深入到物质内部研究热现象微观本质的基础。

气体分子运动论和热力学都是研究热现象问题，它们之间联系很紧，但各有侧重。气体动理论——微观描述，研究大量数目的热运动的粒子系统，应用模型假设和统计方法.

热力学——宏观描述，实验经验总结，给出宏观物体热现象的规律，从能量观点出发，分析研究物态变化过程中热功转换的关系和条件.两种方法的关系气体动理论热力学相辅相成

气体动理论揭示宏观现象的本质，但有局限性，与实际有偏差，不可任意推广。

热力学具有可靠性，但知其然而不知其所以然；主要用宏观参量描述。宏观量微观量统计平均12.1.1平衡态在分子动理论与热力学中，把要研究的对象称为系统或体系。对所研究的系统能够发生相互影响的其他物体，称为外界或环境。12.1平衡态理想气体状态方程热力学第零定律系统的瞬时状况称为状态。对于系统的宏观状态，可将其划分为平衡态及非平衡态。平衡态是指在没有外界影响时，系统的宏观性质将不随时间发生任何变化的宏观状态。否则，称为非平衡态第一，系统的宏观性质在平衡状态下虽然不随时间变化，但是组成系统的大量微观粒子却仍处在不断的运动中，只是大量微观粒子运动的平均效果不变而已。因此，热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡。

第二，在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落，在适当的条件下可以观察到这种涨落现象，这是统计平均的必然结果。说明真空膨胀12.1.2状态参量

处在平衡态下的系统，其宏观性质不随时间发生任何变化，因而可以引进一些描述系统宏观性质的物理量来描写系统的状态，称为状态参量。

2.气体压强：作用于容器壁上单位面积的正压力（力学描述）.单位：1.体积:气体所能达到的最大空间（几何描述）.

单位：标准大气压：纬度海平面处,时的大气压.若研究对象是混合气体，则还需要用到反映系统化学成分的参量。当有电磁现象出现时，除上述三类参量外，还要加上一些电磁参量，才能对系统的状态进行完全描述。如电场强度、磁场强度等。12.1.3温度上述所提及的四类参量都不是热学中所特有的，都不能直接表征系统的冷热程度。必需引入一个新的物理量----温度来对系统的冷热程度进行描述。1.热平衡

假设有两个热力学系统，原来均处在各自的平衡态，现在让这两个系统互相接触，使它们之间能发生传热(这种接触叫做热接触)。实验证明，一般而言，热接触后两个系统的状态都将发生变化，但经过一段时间后，两个系统的状态便不再随时间变化，表明它们已经达到了一个共同的平衡态。由于这种平衡态是两个系统在发生传热的条件下达到的，因此，叫做热平衡。

2.热力学第零定律取三个热力学系统A、B和C来做实验。将B和C互相隔绝开，但使它们同时与A热接触，经过一段时间后，A和B以及A和C都将分别达到热平衡。这时，如果再使B和C热接触，则可发现和的状态都不再发生变化，说明B和C也是处于热平衡的。由此得出结论：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则它们彼此也必定处于热平衡，这称为热力学第零定律或热平衡定律。

3.温度

热力学第零定律表明，处在同一平衡态的所有系统都具有一个共同的宏观性质，这个决定系统热平衡的宏观性质定义为温度。一切互为热平衡的系统都具有相同的温度。每个系统在热平衡时的温度仅仅决定于系统内部的热运动状态，实质上它反映了组成系统的大量微观粒子的无规则运动的剧烈程度。温度的数值表示法称为温标。早年建立而目前还在使用的温标有：华氏温标、摄氏温标；此外还有热力学温标，它是一种理想温标。用该温标确定的温度，称为热力学温度或绝对温度。

摄氏温标与热力学温标的换算关系为热力学温度是基本的物理量，其单位为(kelvin，开尔文，简称开)，定义为水三相点热力学温度的1/273.16。理想气体12.1.4理想气体状态方程但对于不同气体、不同温度和压强的条件下，并非都遵守此实验定律。2.理想气体：在实际应用中，若气体的密度不太大、温度不太低、压强能严格遵守试验定律的气体，称为理想气体。不太大，许多种气体都能较好地遵守气体试验定律。1.实验基础：当一定质量的气体处于平衡态时，它的状态参量压强p、体积V和温度T之间具有确定的关系状态方程3.理想气体状态方程：VpRTM()kgMR气体的质量(kg)1mol(11)JmolK气体的摩尔质量8.31气体普适常量nVpRTnMn或气体的摩尔数设气体分子的质量为ｍ，气体分子的总数为Ｎ，则气体的质量，气体的摩尔质量。则有是单位体积内的分子数玻尔兹曼常数物质与分子12.2分子热运动的无序性及统计规律性12.2.1物质的微观模型费曼曾经说过：“假如在一次浩劫中所有的科学知识都被摧毁，只剩下一句话留给后代，什么语句可用最少的词包含最多的信息？我相信，这是原子假说。即万物由原子（微小粒子）组成，它们永恒地运动着，并在一定距离以外相互吸引，而被挤压在一起时则相互排斥。在这一句话里包含了有关这世界巨大数量的信息”。的确，在长期观察和大量实验的基础上，人们逐步认识到，物质是由大量的分子或原子组成的；分子永不停息地作无规则运动；各分子间有相互作用的引力和斥力。这就是一般物质的微观模型，也是分子运动论的基本观点。

物质与分子1.宏观物体是由大量的分子或原子组成N06.0221023个分子摩尔一秒钟数200万个,要数100亿年1摩尔的任何物质所含的分子称为阿伏加德罗N0常数数1molN0个组成物质的分子数量非常巨大。在常温、常压下，空气的分子数密度约为：2.51019个cm3物质中含有如此巨大的分子数，表明分子是非常小的，若将分子看成小球，可估算出分子直径的数量级一般为.

热运动大量分子的无规则运动称为分子的热运动2.分子都处在永不停息的、无规则的运动中分子无规运动的激烈程度与物体的温度有关许多常见的现象都可说明物质结构是不连续的，在分子之间存在着一定的空隙。例如气体很容易被压缩，说明气体分子之间有空隙。物态与分子力3.分子之间有相互作用力——分子力rFF斥F引合力R0有效半径r0固体分子或原子之间距离很近,束缚力也大,只考虑分子或原子在平衡位置附近的振动.液体分子或原子之间距离比固体远,束缚力不太大,有一定流动性.约10倍于分子自身线度,束缚力很小,可在各向运动.气体分子或原子之间距离相当远,rrr0数量级r0~10–

10mR0数量级~10–

8m引力为主rR0分子力可忽略

1）分子可视为质点；

线度间距;

2）除碰撞瞬间,分子间无相互作用力；4）分子的运动遵从经典力学的规律.3）弹性质点（碰撞均为完全弹性碰撞）；4.理想气体的微观模型

对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法..................................................................................小球在伽尔顿板中的分布规律.12.2.2大量粒子系统的统计规律性及统计方法1.大量粒子系统的统计规律性统计规律当小球数N

足够大时小球的分布具有统计规律.设为第格中的粒子数.概率粒子在第格中出现的可能性大小.归一化条件

...................................................粒子总数2.统计性假设(1)系统内气体的分子数密度处处相同；(2)系统内沿各方向运动气体的分子数相等；(3)分子速度在各方向上的分量的各种统计平均值相等。设边长分别为、

及

的长方体中有

N

个全同的质量为m

的气体分子，计算壁面所受压强.12.3理想气体的压强公式单个分子单位时间施于器壁的作用力为x方向动量变化两次碰撞间隔时间单位时间碰撞次数

单个分子遵循力学规律时间单个分子施于器壁的冲量为单位时间N个粒子对器壁总作用力

大量分子总效应器壁受到的压强为2）分子各方向运动概率均等分子运动速度热动平衡的统计规律（平衡态）1）分子按位置的分布是均匀的大量分子对器壁碰撞的总效果：恒定的、持续的力的作用.单个分子对器壁碰撞特性:偶然性、不连续性.

方向速度平方的平均值各方向运动概率均等气体压强是气体分子的平均平动动能压强公式

统计关系式压强的物理意义宏观可测量量微观量的统计平均值压强是大量分子对时间、对面积的统计平均结果.分子平均平动动能宏观可测量量微观量的统计平均值分子平均平动动能12.4理想气体分子的平均平动动能与温度的关系可得由式和这就是理想气体分子的平均平动动能与温度的关系温度T的微观统计意义3）在同一温度下，各种气体分子平均平动动能均相等。

热运动与宏观运动的区别：温度所反映的是分子的无规则运动，它和物体的整体运动无关，物体的整体运动是其中所有分子的一种有规则运动的表现.1）温度是分子平均平动动能的量度（反映热运动的剧烈程度）.注意2）温度是大量分子的集体表现，个别分子无意义.（A）温度相同、压强相同。（B）温度、压强都不同。（C）温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强.（D）温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强.解

一瓶氦气和一瓶氮气密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们讨论

例

理想气体体积为V，压强为p，温度为T,一个分子的质量为m，k为玻尔兹曼常量，R为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为：（A）（B）（C）（D）解凡例解法提要1标准大气压（1atm)=1.10310Pa5例已知某氧器瓶内，氧气的压强p1.00

atm温度27

Ct视为理想气体，平衡态求氧分子的平均平动动能ke；分子数密度nkekT由32ke1.381023()27+27332J

6.211021()由pnke32pn32ke321.1031056.211021252.6610()个m3自由度在讨论分子热运动能量时，应考虑分子各种运动形式的能量。实际上，由于气体分子本身具有一定的大小和较复杂的内部结构，因此，分子除平动外，还会有转动和分子内原子间的振动；相应地，分子不仅具有平动动能，还可能存在转动动能和振动动能．为了计算分子各种运动形式的能量，需要12.5能量均分定理理想气体的内能本节讨论气体在平衡态下分子能量所遵循的统计规律，即能量按自由度均分定理．据此，可用来计算理想气体的内能和热容。引用力学中自由度的概念。

自由度12.5.1分子的自由度i确定某物体空间位置所需的独立坐标的数目（），称为该物体的自由度数。OZxyzXyabXyZOa,b5i2OH2,,N2xyz,,平动自由度t转动自由度r刚性双原子分子ZxyzXyOi3AeHrN,,e平动自由度txyz,,单原子分子ZzxyXyOjXyZOab,j6i2OH2,,COH4C刚性多原子分子xyz,,平动自由度t转动自由度ra,b对于非刚性双（多）原子分子，还有振动自由度viv++rt能量均分定理12.5.2分子能量按自由度均分定理2mv2132kT每个平动自由度的平均平动动能均为2kT11vx2v2v2yzv23因故2m1v22m1yv2z2kT1v22m1x

将等概率假设推广到转动动能，每个转动自由度的转动能量相等，而且亦均等于2kT10000理想气体处于平衡态时，分子平均平动动能为2kT1T能量均分定理（能量按自由度均分定理）在温度为的平衡态下，气体分子的每个自由度，都平均地具有的动能。平均动能20333333tri65362OCN2H2OH4HeArNeH2分子原子分子单原子分子双原子分子多kT21()tr2ikTek刚性气体分子的eketre平均动能T处于平衡态温度为的理想气体，若将气体分子看作刚性分子，tr如果分子有个平动自由度，转动自由度，则个et2kTtrre2kT平均平动动能平均转动动能气体分子的平均动能ek对于非刚性多原子分子，还有振动自由度及振动动能和势能内能e2kTikEmol

1NeNkT2iRT2ikAANENek2kTiNN理想气体的内能1mol个刚性分子的理想气体的内能个刚性分子的1平均动能12.5.3理想气体的内能E某一定量理想气体的内能组成气体的全部分子的平均能量之和。刚性分子只考虑平均动能。E8,i,T对给定气体E8TnnERT2inmol理想气体的内能总质量总质量M摩尔质量摩尔质量M摩尔数摩尔数nnMM理想气体RT2iMM内能算例MM理想气体质量质量摩尔质量摩尔质量U8,i,T对给定气体U8Tmol理想气体的内能ERT2i若温度变化T则内能变化E2iRT2O例如5M103231.kgmOli在C0时2O分子的平均动能ek2iT()J49.251.382103273.22101761mOlE在C0时2O的内能1mOl2iTR.251.38273.5()J310g050在C0时2O的内能ERT2i8273.053210325314.8.86()J10MMMMMMMMMM麦氏速率分布大量分子无规运动频繁碰撞微观上：每个分子的速率都不断随机变化，速率千差万别。宏观上：在一定条件下，分子的速率分布具有一定的统计规律性。实验和理论都证明分子质量为的大量同种分子m在同样的热平衡温度的情况下T0分子的运动速率v服从某种速率分布的统计规律麦克斯韦速率分布律12.6气体分子热运动的速率分布律实验装置测定气体分子速率分布的实验金属蒸汽显示屏狭缝接抽气泵分子速率分布图：分子总数为速率在区间的分子数.表示速率在区间的分子数占总数的百分比.12.6.1速率分布函数在速率分布中，速率这一随机变量是连续变化的。在测量速率时，由于测量仪器总有一定误差，我们测不出恰好为某一速率的分子数是多少，但我们能测出具有某一间隔内的分子数，下面我们通过实际例子来说明这一问题。表12.6.1表示在00C时氧气分子的速率分布情况。表中的速率间隔为，为相应区间中的分子数。由表可见,速率在区间的分子数占气体分子总数的百分比最大；在大量分子的热运动中，像上述这样的低速及高速运动的分子数较少、而多数分子以中等速率运动的分布情况，对处于任何

温度下的任何一种气体来说．大体上都是如此．这就是分子速率分布的统计规律性。这时比率就变为，亦即，在某一速率区间内的分子数占总分子数的比率与成正比，与成正比。因此有，它只是速率的函数，叫做气体分子速率分布函数。它的物理意义是：一定量的气体，在平衡态下，速率在附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。如果确定了速率分布函数方法求出分布在任一有限速率范围内的分子数占总分子数的比率：由于全部分子百分之百地分布在由0到∞整个速率范围内，所以如果在上式中取其结果显然为1，即

这个关系式是由速率分布函数本身的物理意义所决定的，叫做速率分布函数的归一化条件，是速率分布函数应满足的条件。，就可以用积分的fvOvv12v麦氏分布函数12.6.2麦克斯韦速率分布律（函数）若m0、T

给定，玻耳兹曼常数，函数图形为k有单峰，不对称vp速率分布曲线fvOv速率恒取正v2edvm2vT43/2m2Tfv2vppkkdNN001.麦克斯韦速率分布律

速率分布曲线Ov分布曲线转换成相对分子数密度按速率的分布N总分子数dvvdNfvdNNdvv速率分布函数（概率密度函数）（附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率）vv+dv处于到速率间隔内的分子数2edvm2vT43/2m2Tfv2vppkkdNN00统计意义OvfvdvdNNv（附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率）dvvv+dv速率区间的fvdvNdNvv12v1v2分子数v1v2fvdvdNN1vv12占分子总数的概率速率区间的分子数v1v2fvdvdNNvv+dv微区间的分子数占分子总数的概率速率分布函数的统计意义不同条件比较O1m2mvvp1p2v相同T1m2mfvT1OT2vp1p2vv同一种气体T2T1fvmT不同的速率分布曲线的比较（或）

最概然速率edNNdvm2vT43/2m2Tfv2vpp速率分布函数kk

fvOvvp(1)最概然速率vpvp与此函数的极大值对应的速率称为最概然速率m2Tkb

fvddv0令2vev2ddv0ab即其中2.分子运动的三种统计速率(最可几速率)141RTvpm2Tk

易得Tvp8mT

或2平均速率v(2)平均速率（算术平均速率）利用积分公式

式中：得到方均根速率v2(3)方均根速率v2（的统计平均值的开平方）v2以作为参与统计平均的连续变量利用积分公式,得到速率小结三种速率小结最概然速率vp1.41=kT2m=RT平均速率v1.60=RT=kTm8p方均根速率1.732v=kTm3RT=

讨论

麦克斯韦速率分布中最概然速率的概念下面哪种表述正确？（A）是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B）是速率最大的速度值.（C）是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大.特征速率例题氧气摩尔质量例已知3.20102kgmol1温度t27C处于平衡态求气体分子的vpv和v2解法提要：T27273300（k）483(ms)1394(ms)1447(ms)1vp141RTv1RT06v21RT37

例计算在时，氢气和氧气分子的方均根速率.氢气分子氧气分子1）2）

例已知分子数，分子质量，分布函数求1）速率在间的分子数；2）速率在间所有分子动能之和.速率在间的分子数例

如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率.2000归一化例题例

假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为fv0v0v0v0vvc0vvc0v,均为正常数，且为已知0v画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数c求速率在区间的粒子数~3000v解法提要0~0vfvvc0v2+v抛物线方程ddvf0得fMax4c0v20vp0v200vfv4c0v2v0v2c续33概率分布函数应满足归一化条件fv80dv1本题v0vfv000vvc0vvdv要求0v361c1得c60v3~0速率在300v区间的粒子数N0300vfvdvN0300vv0vvdv60v3N6201NN得例

假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为fv0v0v0v0vvc0vvc0v,均为正常数，且为已知0v画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数c求速率在区间的粒子数~3000v解法提要0~0vfvvc0v2+v抛物线方程ddvf0得fMax4c0v2vp0v2000vfv4c0v2v0v2平均自由程12.7.1平均碰撞频率和平均自由程热运动分子之间分子的运动路径频繁碰撞曲折复杂12.7气体分子的平均碰撞频率和平均自由程在相继的两次碰撞之间，可以认为分子是在惯性支配下作匀速直线运动，它所经过的这段直线路程，就是自由程。碰撞频率分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称

碰撞频率Z碰撞频率的倒数为

相邻两次碰撞时间t1Z分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为平均自由程llvtZv气体在一定的状态下，由于大量分子无规则运动的结果，分子的自由程具有确定的统计规律性。自由程的平均值叫做平均自由程，用表示。

v为分子的平均速率1.分子为刚性小球；2.分子有效直径为（分子间距平均值）；3.其它分子皆静止,某一分子以平均速率相对其他分子运动.12.7.2影响平均碰撞频率和平均自由程的因素假设设想以A为中心的运动轨迹为轴线，以分子的有效直径d为半径作一个曲折的圆柱体，这样，凡是中心在此圆柱体内的分子都会与相碰。

自由程推导dddddddDABCaZvl若能找出与的关系，则可求质心在半径为、长度为的圆柱体内的分子都会与相碰。设分子的碰撞路径ABCD长度dtvatva设气体分子数密度n则柱内分子数为nVtn2pdv平均碰撞频率ZnVtn2pdvnsvs2pd其中称为碰撞截面但其它分子也在运动要作相对速率修正lvtZv平均自由程先假设其它分子静止自由程算式lvtZv平均自由程平均碰撞频率Zn2pdvnsv相对速率修正u2v证明略()Zvvn2pd2ns2ln2pd21ns21pTknlTk2pd2pTk2spT恒定l8p1,pl,Z若则单位时间内平均碰撞次数考虑其他分子的运动

分子平均碰撞次数圆柱体的截面积

在时间t内，所走过的路程为，相应的圆柱体的体积为分