第15章机械振动和电磁振荡第五版_第1页
第15章机械振动和电磁振荡第五版_第2页
第15章机械振动和电磁振荡第五版_第3页
第15章机械振动和电磁振荡第五版_第4页
第15章机械振动和电磁振荡第五版_第5页
已阅读5页,还剩69页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第四篇振动和波动

第十五章机械振动和电磁振荡§15-1简谐振动1.简谐振动的特征及其表达式

简谐振动:物体运动时,离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。简谐振动的特征及其表达式弹簧振子:连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统。回复力:作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力,该力与位移成正比且反向。

简谐振动的动力学特征:

据牛顿第二定律,得令运动学特征简谐振动的特征及其表达式位移之解可写为:或

简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成正比而方向相反,物体的位移按余弦规律变化。速度加速度简谐振动的特征及其表达式简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系:简谐振动的特征及其表达式常量和的确定在到之间,通常存在两个值,可根据进行取舍。根据初始条件:

时,,,得简谐振动的特征及其表达式2.简谐振动的振幅、周期、频率和相位(1)振幅:

物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。由初始条件确定(2)周期和频率

周期:物体作一次完全运动所经历的时间。频率:单位时间内物体所作完全运动的次数。角频率:

物体在秒内所作的完全运动的次数。对于弹簧振子,因有,得:利用上述关系式,简谐振动表达式:简谐振动的振幅、周期、频率和相位(3)相位和初相相位:决定简谐运动状态的物理量。初相位:t

=0时的相位。相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。设有两个同频率的谐振动,表达式分别为:二者的相位差为:简谐振动的振幅、周期、频率和相位(b)当时,称两个振动为反相;(d)当时,称第二个振动落后第一个振动。(c)当时,称第二个振动超前第一个振动;讨论:相位可以用来比较不同物理量变化的步调,对于简谐振动的位移、速度和加速度,存在:(a)当时,称两个振动为同相;简谐振动的振幅、周期、频率和相位速度的相位比位移的相位超前,加速度的相位比位移的相位超前。简谐振动的振幅、周期、频率和相位3.简谐振动的矢量图示法采用旋转矢量法,可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。旋转矢量:一长度等于振幅A的矢量在纸平面内绕O点沿逆时针方向旋转,其角速度与谐振动的角频率相等,这个矢量称为旋转矢量。简谐振动的矢量图示法振动相位逆时针方向ω

M

点在

x

轴上投影(P点)的运动规律:

的长度旋转的角速度旋转的方向与参考方向x的夹角XOMPx振幅A振动圆频率简谐振动的矢量图示法速度、加速度的旋转矢量表示法:

沿X轴的投影为简谐运动的速度、加速度表达式。M

点:简谐振动的矢量图示法两个同频率的简谐运动:相位之差为采用旋转矢量直观表示为:简谐振动的矢量图示法

例15-1一物体沿X轴作简谐振动,振幅A=0.12m,周期T=2s。当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向X轴正向运动。求:(1)简谐振动表达式;(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x=-0.06m向

X轴负方向运动,第一次回到平衡位置所需时间。解:(1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为:其中A=0.12m,T=2s,初始条件:t=0,x0=0.06m,可得据初始条件得简谐振动的矢量图示法(2)由(1)求得的简谐振动表达式得:在t=T/4=0.5s时,从前面所列的表达式可得简谐振动的矢量图示法(3)当x=-0.06m时,该时刻设为t1,得因该时刻速度为负,应舍去,设物体在t2时刻第一次回到平衡位置,相位是因此从x=-0.06m处第一次回到平衡位置的时间:另解:从t1时刻到t2时刻所对应的相差为:简谐振动的矢量图示法4.几种常见的简谐振动(1)单摆重物所受合外力矩:据转动定律,得到很小时(小于),可取令,有转角的表达式可写为:角振幅

和初相由初始条件求得。单摆周期与角振幅

的关系为为很小时单摆的周期。根据上述周期的级数公式,可以将周期计算到所要求的任何精度。几种常见的简谐振动(2)复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。刚体的质心为C,对过O

点的转轴的转动惯量为J,O、C两点间距离为h。令据转动定律,得若角度较小时几种常见的简谐振动

例15-2一质量为m

的平底船,其平均水平截面积为S,吃水深度为h,如不计水的阻力,求此船在竖直方向的振动周期。解:船静止时浮力与重力平衡,船在任一位置时,以水面为坐标原点,竖直向下的坐标轴为y轴,船的位移用y表示。几种常见的简谐振动船的位移为y时船所受合力为:船在竖直方向作简谐振动,其角频率和周期为:因得:几种常见的简谐振动5.简谐振动的能量动能势能以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。系统总的机械能:简谐振动的能量考虑到,系统总能量为,表明简谐振动的机械能守恒。能量平均值上述结果对任一谐振系统均成立。谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:简谐振动的能量例15-3一匀质细杆AB的两端,用长度都为l且不计质量的细绳悬挂起来,当棒以微小角度绕中心轴

扭动时,求证其运动周期为:。解:设棒长为2R,质量为m,在棒扭动时,其质心沿

上下运动。因扭动角度

很小,可近似认为细棒在水平面内转动。扭动角度为

时,细棒在水平面内转动角度为q,则有简谐振动的能量hc是棒的质心相对棒平衡时质心位置的高度,有系统机械能守恒将上式两端对时间求导,并利用关系得证。常量简谐振动的能量

例15-4劲度系数为k、原长为l、质量为m的均匀弹簧,一端固定,另一端系一质量为M的物体,在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。解:平衡时O点为坐标原点。物体运动到x处时,弹簧固定端位移为零,位于M一端位移为x。当物体于x处时,弹簧元ds的质量,位移为速度为弹簧、物体的动能分别为:简谐振动的能量系统弹性势能为系统机械能守恒,有将上式对时间求导,整理后可得因此,弹簧质量小于物体质量,且系统作微运动时,弹簧振子的运动可视为是简谐运动。常数解毕。常数简谐振动的能量§15-2阻尼振动

振动物体不受任何阻力的影响,只在回复力作用下所作的振动,称为无阻尼自由振动。

在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。阻尼:消耗振动系统能量的原因。阻尼种类:摩擦阻尼辐射阻尼

对在流体(液体、气体)中运动的物体,当物体速度较小时,阻力大小正比于速度,且方向相反,表示为

:阻力系数在阻力作用下的弹簧振子

阻尼振动受力:运动方程:引入

阻尼因子

固有频率在小阻尼条件下,微分方程的解为:其中阻力弹性恢复力其中

和为积分常数,由初始条件决定。上式中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动;反映了阻尼对振幅的影响。阻尼振动的准周期性减幅振动

阻尼振动阻尼振动不是周期性振动,更不是简谐振动,因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振动的周期,有显而易见,由于阻尼,振动变慢了。阻尼振动的振幅为:振幅随时间作指数衰减。阻尼大小决定了阻尼振动振幅的衰减程度。

阻尼振动阻尼振动的三种情形:临界阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼过阻尼临界阻尼通过控制阻尼的大小,以满足不同实际需要。

阻尼振动§15-3受迫振动共振1.受迫振动

物体在周期性外力的持续作用下发生的振动称为受迫振动。物体所受驱动力:运动方程:设受迫振动对于阻尼较小的情形,运动方程之解表为:衰减项稳态项经过一段时间后,衰减项忽略不计,仅考虑稳态项。稳态时振动物体速度:在受迫振动中,周期性的驱动力对振动系统提供能量,另一方面系统又因阻尼而消耗能量,若二者相等,则系统达到稳定振动状态。受迫振动2.共振对于受迫振动,当外力幅值恒定时,稳定态振幅随驱动力的频率而变化。当驱动力的角频率等于某个特定值时,位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。阻尼=0阻尼较小阻尼较大根据共振共振受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振。根据共振

在阻尼很小的前提下,速度共振和位移共振可以认为等同。阻尼=0阻尼较小阻尼较大§15-4电磁振荡1.LC电路的振荡

电路中电压和电流的周期性变化称为电磁振荡。LC振荡电路向左合上开关K,使电源给电容器充电,然后将开关K接通LC回路,出现电磁振荡效应。LC电路的振荡LC

回路与弹簧振子振动的类比LC回路与弹簧振子振动的类比

在LC电路中,电荷与电流(电场能量与磁场能量)随时间作周期性变化,且不断相互转换。若电路中无能量损耗,这种变化将一直持续下去,这种现象称为无阻尼自由振荡。LC电路的振荡设某一时刻电容器极板上电量为q,电路中电流为i,取LC回路的顺时针方向为电流正向,得到(因)Q0是电荷振幅,是振荡初相,均由初始条件确定。LC

回路自由振荡角频率LC电路的振荡将电量表达式对时间求导,得到电流表达式:其中为电流振幅。从前述分析结果可知,电量和电流都作简谐振动。设t时刻电容器极板上电量为q,相应的电场能量为:此刻电流为i,则线圈中的磁场能量为:LC电路的振荡将电场和磁场能量相加,并利用,得上式表明,尽管电能和磁能均随时间变化,但总能量守恒。LC电路的振荡2.

阻尼振荡事实上,任何电路都有电阻,LC电路应为LCR电路。将LCR

振荡与机械振动相类比,得:阻尼振荡在小阻尼条件下(),得:

在LCR电路中,能量不仅以电场能和磁场能的形式相互转换,而且还要转变为焦耳热,同时还有部分能量以电磁波的形式辐射出去。若没有电源对电路提供能量,则LCR电路中电荷或电流作减幅振荡。3.

受迫振荡电共振

LRC

电路在外加周期性电动势持续作用下产生的振荡,称为受迫振荡。受迫振荡微分方程:电动势稳态解受迫振荡电共振其中—感抗—容抗—电抗—阻抗

当电路满足

时,电流振幅最大,这种现象称为电共振。电流振幅最大值4.力电类比

鉴于电磁振荡和机械振动的规律类似,应用力电类比可把电磁振荡和机械振动对应起来,具体关系如下表所示:机械振动电磁振荡(串联电路)位移x速度v质量m劲度系数k阻力系数g驱动力F弹性势能kx2/2动能mv2/2电荷q电流i电感L电容的倒数1/C电阻R电动势e电场能量q2/2C磁场能量Li2/2§15-5同方向的简谐振动的合成1.同方向同频率的两个简谐振动的合成设一质点同时参与沿同一方向(x

轴)的两个独立的同频率的简谐振动,两个振动位移为:合位移:合振动仍然是简谐振动,其方向和频率与原来相同。同方向同频率的两个简谐振动的合成矢量沿X

轴之投影表征了合运动的规律。旋转矢量图示法同方向同频率的两个简谐振动的合成(1)当Df=f

20-f10=2kp

(k=0及正负整数),cos(f20-f10)=1,有同相迭加,合振幅最大。(2)当Df=f

20-f10=(2k+1)p(k=0及正负整数),cos(f20-f10)=-1,有反相迭加,合振幅最小。当A1=A2时,A=0。(3)通常情况下,合振幅介于和之间。讨论:同方向同频率的两个简谐振动的合成例15-4

N个同方向、同频率的简谐振动,它们的振幅相等,初相分别为0,a,2a,...,依次差一个恒量a,振动表达式可写成求它们的合振动的振幅和初相。

解:采用旋转矢量法可使问题得到简化,从而避开烦琐的三角函数运算。根据矢量合成法则,N个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示:同方向同频率的两个简谐振动的合成因各个振动的振幅相同且相差依次恒为

a,上图中各个矢量的起点和终点都在以C为圆心的圆周上,根据简单的几何关系,可得同方向同频率的两个简谐振动的合成

在三角形DOCM中,OM的长度就是和振动位移矢量的位移,角度就是和振动的初相,据此得考虑到当时(同相合成),有同方向同频率的两个简谐振动的合成2.同方向不同频率的两个简谐振动的合成拍两个简谐振动合成得:当两个同方向简谐振动的频率不同时,在旋转矢量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同,二者的相位差与时间有关,合矢量的长度和角速度都将随时间变化。两个简谐振动的频率和很接近,且x=x1+

x2同方向不同频率的两个简谐振动的合成拍因或有

在两个简谐振动的位移合成表达式中,第一项随时间作缓慢变化,第二项是角频率近于

的简谐函数。合振动可视为是角频率为

、振幅为的简谐振动。或

合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论