高中数学人教A版本册总复习总复习 综合学业质量标准检测2

综合学业质量标准检测(一)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是eq\x(导学号54742929)(B)A．14 B．16C．18 D．20[解析]∵S4＝1，S8＝3，∴a1·eq\f(1－q4,1－q)＝1，a1·eq\f(1－q8,1－q)＝3，∴1＋q4＝3，即q4＝2，∴a17＋a18＋a19＋a20＝a1q16(1＋q＋q2＋q3)＝q16·eq\f(a11－q4,1－q)＝16.2．若1＋2＋22＋…＋2n>128，n∈N*，则n的最小值为eq\x(导学号54742930)(B)A．6 B．7C．8 D．9[解析]1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.∵2n＋1－1>128＝27，∴n＋1>7，n>6.又∵n∈N*，∴n＝7.3．(2023·河南八市质检)已知集合A＝{x||x＋1|≤2}，B＝{x|y＝lg(x2－x－2)}，则A∩∁RB＝eq\x(导学号54742931)(C)A．[－3，－1) B．[－3，－1]C．[－1,1] D．(－1,1][解析]因为A＝{x||x＋1|≤2}＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|lg(x2－x－2)}＝{x|x2－x－2>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RB＝{x|－1≤x≤2}，所以A∩∁RB＝{x|－1≤x≤1}．4．已知a>b>0，c≠0，则下列不等式中不恒成立的是eq\x(导学号54742932)(B)A．ac2>bc2 B．eq\f(a－b,c)>0C．(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))>4 D．a2＋b2＋2>2a＋2b[解析]∵c≠0，∴c2>0，又∵a>b，∴ac2>bc2；∵a>b，∴a－b>0，又c≠0，∴c>0时eq\f(a－b,c)>0，c<0时，eq\f(a－b,c)<0；∵a>b>0，∴(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，∵a>b>0，∴a2＋b2＋2－2a－2b＝(a－1)2＋(b－1)2故A，C，D恒成立，B不恒成立．5．(2023·东北三省四市联考)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为eq\x(导学号54742933)(C)A．eq\f(1,2) B．1C．eq\r(3) D．2[解析]因为b2＋c2－a2＝2bccosA＝bc，所以cosA＝eq\f(1,2)，因为A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)，所以△ABC的面积为eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故选C．6．(2023·北京理，5)已知x，y∈R，且x>y>0，则eq\x(导学号54742934)(C)A．eq\f(1,x)－eq\f(1,y)>0 B．sinx－siny>0C．(eq\f(1,2))x－(eq\f(1,2))y<0 D．lnx＋lny>0[解析]解法1：因为x>y>0，选项A，取x＝1，y＝eq\f(1,2)，则eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝1－2＝－1<0，排除A；选项B，取x＝π，y＝eq\f(π,2)，则sinx－siny＝sinπ－sineq\f(π,2)＝－1<0，排除B；选项D，取x＝2，y＝eq\f(1,2)，则lnx＋lny＝ln(x＋y)＝ln1＝0，排除D．故选C．解法2：因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上单调递减，且x>y>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0，故选C．7．已知数列{an}，满足an＋1＝eq\f(1,1－an)，若a1＝eq\f(1,2)，则a2023＝eq\x(导学号54742935)(B)A．eq\f(1,2) B．2C．－1 D．1[解析]易知a2＝2，a3＝－1，a4＝eq\f(1,2)，a5＝2，∴数列{an}的周期为3，而2023＝671×3＋2，∴a2023＝a2＝2.8．(2023·浙江理，3)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,x＋y≥0，,x－3y＋4≥0))中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝eq\x(导学号54742936)(C)A．2eq\r(2) B．4C．3eq\r(2) D．6[解析]作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)．D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝eq\r(2＋12＋－2－12)＝3eq\r(2).故选C．9．已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))(n∈N*)，若an＋an＋1＝eq\r(11)－3，则n的值是eq\x(导学号54742937)(B)A．12 B．9C．8 D．6[解析]∵an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，∴an＋an＋1＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)＋eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)＝eq\r(n＋2)－eq\r(n)＝eq\r(11)－3＝eq\r(11)－eq\r(9)，∴n＝9.10．已知△ABC中，∠A＝30°，AB、BC分别是eq\r(3)＋eq\r(2)、eq\r(3)－eq\r(2)的等差中项与等比中项，则△ABC的面积等于eq\x(导学号54742938)(D)A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) D．eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)[解析]依题意得AB＝eq\r(3)，BC＝1，易判断△ABC有两解，由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，eq\f(\r(3),sinC)＝eq\f(1,sin30°)，即sinC＝eq\f(\r(3),2).又0°<C<180°，因此有C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝90°，△ABC的面积为eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(\r(3),2)；当C＝120°时，B＝30°，△ABC的面积为eq\f(1,2)AB·BC·sinB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sin30°＝eq\f(\r(3),4).综上所述，选D．11．(2023·广州市检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13＝eq\x(导学号54742939)(C)A．52 B．78C．104 D．208[解析]由等差数列的性质得a2＋a7＋a12＝3a7＝24，∴a7∴S13＝13a7＝104，故选12．(2023·福建文，5)若直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于eq\x(导学号54742940)(C)A．2 B．3C．4 D．5[解析]由已知得，eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，a>0，b>0，则a＋b＝(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b＝2时取等号．[点评]一个小题涉及到直线的方程与基本不等式，难度又不大，这是高考客观题命题的主要方向．平时就要加强这种小综合交汇训练．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．等比数列{an}和等差数列{bn}中，a5＝b5,2a5－a2a8＝0，则b3＋b7＝\x(导学号54742941)[解析]∵2a5－a2a8＝2a5－aeq\o\al(2,5)＝0，an≠0，∴a5＝2，∴b3＋b7＝2b5＝2a514．在△ABC中，∠A＝eq\f(π,3)，BC＝3，AB＝eq\r(6)，则∠C＝eq\f(π,4).eq\x(导学号54742942)[解析]由正弦定理得eq\f(3,sin\f(π,3))＝eq\f(\r(6),sinC)，∴sinC＝eq\f(\r(2),2)，∵AB<BC，∴C<A，∴C＝eq\f(π,4).15．已知变量x、y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0,x＋3y－3≥0,y－1≤0))，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).eq\x(导学号54742943)[解析]作出可行域如图(包括边界)当直线z＝ax＋y经过A点，位于直线l1与x＋2y－3＝0之间时，z仅在点A(3,0)处取得最大值，∴－a<－eq\f(1,2)，∴a>eq\f(1,2).16．已知点(1，t)在直线2x－y＋1＝0的上方，且不等式x2＋(2t－4)x＋4>0恒成立，则t的取值集合为{t|3<t<4}.eq\x(导学号54742944)[解析]∵(1，t)在直线2x－y＋1＝0的上方，∴t>3，∵不等式x2＋(2t－4)x＋4>0恒成立，∴Δ＝(2t－4)2－16<0，∴0<t<4，∴3<t<4.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数.eq\x(导学号54742945)[解析]由题意，设这三个数分别是eq\f(a,q)，a，aq，且q≠1，则eq\f(a,q)＋a＋aq＝114①令这个等差数列的公差为d，则a＝eq\f(a,q)＋(4－1)·d.则d＝eq\f(1,3)(a－eq\f(a,q))，又有aq＝eq\f(a,q)＋24×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,q)))②由②得(q－1)(q－7)＝0，∵q≠1，∴q＝7代入①得a＝14，则所求三数为2,14,98.18．(本题满分12分)(2023·贵阳市第一中学月考)设函数f(x)＝eq\f(1,2)sin2x－cos2(x＋eq\f(π,4)).eq\x(导学号54742946)(1)若x∈(0，π)，求f(x)的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(eq\f(B,2))＝0，b＝1，求△ABC面积的最大值．[解析](1)由题意可知，f(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1＋cos2x＋\f(π,2),2)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1－sin2x,2)＝sin2x－eq\f(1,2).由2kπ－eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.又因为x∈(0，π)，所以f(x)的单调递增区间是(0，eq\f(π,4)]和[eq\f(3π,4)，π)．(2)由f(eq\f(B,2))＝sinB－eq\f(1,2)＝0，得sinB＝eq\f(1,2)，由题意知B为锐角，所以cosB＝eq\f(\r(3),2).由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得1＋eq\r(3)ac＝a2＋c2≥2ac，即ac≤2＋eq\r(3)，当且仅当a＝c时等号成立．因为S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\f(2＋\r(3),4)，所以△ABC面积的最大值为eq\f(2＋\r(3),4).19．(本题满分12分)为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10000m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小.eq\x(导学号[解析]设鱼塘的长为xm，宽为ym，则农田长为(x＋4)m，宽为(y＋4)m，设农田面积为S.则xy＝10000，S＝(x＋4)(y＋4)＝xy＋4(x＋y)＋16＝10000＋16＋4(x＋y)≥10016＋8eq\r(xy)＝10016＋800＝10816.当且仅当x＝y＝100时取等号．所以当x＝y＝100时，Smin＝10816此时农田长为104m，宽为20．(本题满分12分)(2023·浙江文，17)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,3)b3＋…＋eq\f(1,n)bn＝bn＋1－1(n∈N*).eq\x(导学号54742948)(1)求an与bn；(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn.[分析]等差等比数列的通项公式；数列的递推关系式；数列求和和运算求解能力，推理论证能力．解答本题(1)利用等比数列的通项公式求an；利用递推关系求bn.(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和．[解析](1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n.当n＝1时，b1＝b2－1，因为b1＝1，所以b2＝2.当n≥2时，eq\f(1,n)bn＝bn＋1－bn，整理得eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(n＋1,n)，由累乘法得：bn＝n.①，又∵bn＝1，符合①式，∴bn＝n(2)由(1)知，anbn＝n·2n，所以Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.21．(本题满分12分)(2023·河南高考适应性测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m＝(cosB,2cos2eq\f(C,2)－1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝\x(导学号54742949)(1)求角C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，c＝2eq\r(3)，求△ABC的面积．[解析](1)∵m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n∴ccosB＋(b－2a)cosC＝0，在△ABCsinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，∴sinA＝2sinAcosC．又∵sinA≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3).(2)由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，知eq\o(CD,\s\up6