高中数学北师大版第二章解析几何初步 单元测试五圆与圆的方程

单元测试五圆与圆的方程班级____姓名____考号____分数____本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．过点A(1,2)，且与两坐标轴相切的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x－1)2＋(y－3)2＝2C．(x－5)2＋(y－5)2＝25D．(x－1)2＋(y－1)2＝1答案：A解析：由图形易知满足此条件的圆有两个．2．两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．内切D．外切答案：B解析：4－3<5<4＋3.3．过圆x2＋y2＝25上一点P(－4，－3)的圆的切线方程为()A．4x－3y－25＝0B．4x＋3y＋25＝0C．3x＋4y－25＝0D．3x－4y－25＝0答案：B解析：k＝eq\f(－3－0,－4－0)＝eq\f(3,4)，则切线的斜率为－eq\f(4,3)，且经过(－4，－3)这一点，直线方程为4x＋3y＋25＝0.4．若圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋1＝0对称，则a＋b等于()A．1B．－1\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案：C解析：∵圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋1＝0，∴a＋b＝eq\f(1,2).5．以A(－1,2)，B(5，－6)为直径两端点的圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y＋2)2＝25B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝25C．(x－2)2＋(y－2)2＝25D．(x＋2)2＋(y－2)2＝25答案：A解析：A(－1,2)，B(5，－6)两点连线的中点为圆心，其圆心坐标为(2，－2)，可知选A.6．若直线ax＋by－1＝0与圆x2＋y2＝1相切，则点P(a，b)的位置是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上皆有可能答案：A解析：∵直线与圆相切，∴eq\f(1,\r(a2＋b2))＝1，P(a，b)到圆心的距离d＝eq\r(a2＋b2)＝1，∴点P在圆上．7．圆心为A(1，－2)且与直线x－3y＋3＝0相切的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝eq\r(10)B．(x－1)2＋(y＋2)2＝10C．(x＋1)2＋(y－2)2＝eq\r(10)D．(x＋1)2＋(y－2)2＝10答案：B解析：圆半径r＝eq\f(|1＋6＋3|,|1＋9|)＝eq\r(10)，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝10.8．直线x＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长等于2eq\r(3)，则a的值等于()A．1或3\r(2)或－eq\r(2)\r(3)D．－1或3答案：A解析：由题意|a－2|2＋(eq\r(3))2＝22，解得a＝1或3.9．若直线－2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0的周长，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．4B．2\f(1,4)\f(1,2)答案：A解析：由题意可知，直线过圆心得a＋b＝1.∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)×\f(a,b))＝4.10．直线y＝－x＋b与曲线y＝eq\r(4－x2)有且只有两个公共点，则b的取值范围是()A．2＜b＜2eq\r(2)B．2≤b＜2eq\r(2)C．2≤b≤2eq\r(2)D．2＜b≤2eq\r(2)答案：B解析：由图可知，2≤b<2eq\r(2).二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．11．以点C(－3,4)为圆心，2eq\r(3)为半径的圆的方程是________．答案：(x＋3)2＋(y－4)2＝12.12．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＝4上，则|PQ|的最小值是________．答案：3eq\r(5)－6解析：P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心O1(4,2)，半径为3.Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＝4上，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝9，圆心O2(－2，－1)，半径为3，∴|O1O2|＝eq\r([4－－2]2＋[2－－1]2)＝eq\r(36＋9)＝3eq\r(5).∴|PQ|min＝|O1O2|－R1－R2＝3eq\r(5)－6.13．直线mx＋ny＝1与圆x2＋y2＝4的交点为整点(横纵坐标均为整数的点)，这样的直线的条数是________条．答案：8解析：圆上的点为整点的有四个(±2,0)，(0，±2)，显然直线mx＋ny＝1不能过原点．若直线与圆有两个交点，则这样的直线有4条；若直线与圆相切，则这样的直线也有4条，故8条直线．三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．求过点A(1,6)和B(5,6)且与直线2x－3y＋16＝0相切的圆的方程．解：显然圆心在线段AB的垂直平分线x＝3上设圆心为(3，b)，半径为r，则(x－3)2＋(y－b)2＝r2，得(1－3)2＋(6－b)2＝r2，而r＝eq\f(|6－3b＋16|,\r(13))，∴b＝3，r＝eq\r(13)，∴(x－3)4＋(y－3)4＝13.15．已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0.(1)求圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程；(2)求它们的公共弦长．解：(1)x2＋y2－10x－10y＝0，①；x2＋y2＋6x－2y－40＝0，②；②－①得：2x＋y－5＝0为公共弦所在直线的方程；(2)弦长的一半为eq\r(50－20)＝eq\r(30)，公共弦长为2eq\r(30).16．求以两圆C1：x2＋y2＋2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x－5＝0的交点为直径的圆的方程．解：设过C1、C2交点的圆的方程为：x2＋y2＋2x－3＋λ(x2＋y2－4x－5)＝0，整理即得圆心为(－eq\f(1－2λ,1＋λ)，0)．又∵两圆公共弦为3x＋1＝0，圆心在公共弦上，∴－3×eq\f(1－2λ,1＋λ)＋1＝0，∴λ＝eq\f(2,7).∴所求圆的方程为9x2＋9y2＋6x－31＝0.即x2＋y2＋eq\f(2,3)x－eq\f(31,9)＝0.17．已知曲线C：x＝eq\r(4－y2)与直线y＝k(x－1)＋3只有一个交点，求实数k的取值范围．解：曲线C的方程可化为x2＋y2＝4，x≥0，∴曲线C表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆的右半部分，直线过定点M(1,3)．如图所示．由图可得kAM＝1，kBM＝5，∴1≤k＜5.又eq\f(|－k＋3|,\r(1＋k2))＝2，化简得3k2＋6k－5＝0，解得k＝－1±eq\f(2\r(6),3)(舍去正根)．综上，实数k的取值范围是1≤k＜5或k＝－1－eq\f(2\r(6),3).18．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．解：(1)由方程x2＋y2＋2x－4y＋3＝0知，圆心为(－1,2)，半径为eq\r(2).当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，则eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\r(2).所以k＝2±eq\r(6)，即切线方程为y＝(2±eq\r(6))x.当切线不过原点时，设切线方程为x＋y＝a，则eq\f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq\r(2).所以a＝－1或a＝3，即切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.所以切线方程为y＝(2＋eq\r(6))x或y＝(2－eq\r(6))x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)设P(x1，y1)．∵|P