高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何 全国一等奖

两个向量的数量积学案编号：GEXX2-1T3-1-3【学习要求】1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律．2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．【学法指导】数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两向量的数量积，通过向量积的运用，培养数学应用意识．1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法范围〈a，b〉∈________.当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a______b想一想:〈a，b〉与〈b，a〉相等吗?〈a,b〉与〈a,－b〉呢?2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则____________________叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝________交换律a·b＝________分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c(3)数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________②若a与b同向，则a·b＝________；若反向，则a·b＝________.特别地，a·a＝______或|a|＝eq\r(a·a)③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝________④|a·b|≤|a||b|3.异面直线(1)异面直线的定义________________________的两条直线叫做异面直线．(2)两条异面直线所成的角把异面直线________________________，这时两条直线的夹角(________________)叫做两条异面直线所成的角．如果所成的角是________，则称两条异面直线互相垂直．探究点一空间向量的数量积运算问题1空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？问题2类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积a·b的定义？问题3请你类比平面向量说出a·b的几何意义．例1已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)eq\o(BC,\s\up14(→))·eq\o(ED1,\s\up14(→))；(2)eq\o(BF,\s\up14(→))·eq\o(AB1,\s\up14(→))；(3)eq\o(EF,\s\up14(→))·eq\o(FC1,\s\up14(→)).跟踪1已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(OB,\s\up14(→))；(2)(eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→)))·(eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→)))．探究点二利用数量积求夹角问题1怎样利用数量积求直线夹角或余弦值？问题2利用数量积怎样证明两个向量垂直？例2在正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和MN所成的角．跟踪2如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求证：CC1⊥BD探究点三利用数量积求向量的模问题类比平面向量，说出利用数量积求长度或距离的方法．例3已知a，b，c中每两个的夹角都是eq\f(π,3)，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，试计算|a＋b＋c|.跟踪3如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，线段DD′⊥α于D′，如果∠DBD′＝30°，AB＝a，AC＝BD＝b，求CD的长．【达标检测】1.设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有(A．①②B．②③C．③④D．②④2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于 ()A.eq\r(7)B.eq\r(10)C.eq\r(13)D．43．如图所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．6eq\r(2) B．6C．12 D．144【课堂小结】空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的数量积．3.1.3两个向量的数量积一、基础过关1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的 ()A．充分不必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件2．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))等于()A．0 \f(1,2) C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于 \r(97) B．97 \r(61) D．614．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为 A．30°B．60°C．120° D．150°5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为eq\f(π,3)，则|a＋b|＝________.二、能力提升6．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是 ()A．30° B．45° C．60° D．90°7．正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则A．2 \r(3) \r(5) \r(7)8．如果e1，e2是两个夹角为60°的单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角为________．9．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a与三、解答题10.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝1，求PB与CD所成的角．11．在平行四边形AB