【高考风向标】年高考数学一轮复习 第五章 第1讲 不等式的概念与性质 理

第五章不等式第1讲不等式的概念与性质考纲要求考纲研读1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景.对于不等式的每条性质，不仅要记住其结论，还要明确其成立的前提，忽略某些性质成立的条件往往会造成解题失误.1．比较原理(两实数之间有且只有以下三个大小关系之一)a＞b⇔a－b＞0；a＜b⇔a－b＜0；a＝b⇔a－b＝0.2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；a＜b⇔b＞a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒______.a＞c(3)可加性：a＞b⇔______________.移项法则：a＋b＞c⇔a＞c－b.a＋c＞b＋d推论：同向不等式可加．a＞b，c＞d⇒_______________.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒________.推论1：同向(正)可乘：a＞b＞0，c＞d＞0⇒________.推论2：可乘方(正)：a＞b＞0⇒________(n∈N*，n≥2)．(5)可开方(正)：a＞b＞0⇒________(n∈N*，n≥2)．ac＜bcac＞bd

a＋c＞b＋can＞bn1．“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的()A

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()DA．b－a＞0C．a2－b2＜0B．a3＋b3＜0 D．b＋a＞03．已知a，b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是()B4．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，)C则实数a的取值范围是( A．a≤2 C．a≥2

B．a<1D．a>2(－π，0)

考点1不等式的基本性质例1：①(2011年陕西)设0<a<b，则下列不等式中正确的是()答案：B②(2011年全国)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必)要的条件是( A．a>b＋1 C．a2>b2B．a>b－1 D．a3>b3A解析：对A项，若a>b＋1，则a－b>1，则a>b；若a>b，不能得到a>b＋1.对B项，若a>b－1，不能得到a>b；对C项，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；对D项，若a3>b3，则a>b，反之，若a>b，则a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要条件．

(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假．(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，说明一个命题为假命题时，可以用特殊值法，但不能用特殊值法肯定一个命题，只能用所学知识严密证明．【互动探究】

1．如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中不一)定成立的是( A．ab>ac

C．cb2<ab2

B．c(b－a)>0 D．ac(a－c)<0C考点2利用作差比较大小．例2：在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，且a1≠a3，试比较下列各组数的大小．(1)a2

与b2；(2)a5

与b5.解析：设{an}的公比为q，{bn}公差为d，∴a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d，∵a3＝b3，∴a1q2＝a1＋2d.即2d＝a1(q2－1)．又∵a1≠a3＝a1q2，∴q≠±1.

作差比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、判断差的符号．作差是依据，变形是手段，判断差的符号才是目的．常用的变形方法有：配方法、通分法、因式分解法等．有时把差变形为常数，有时变形为常数与几个数平方和的形式，有时变形为几个因式积的形式等．总之，变形到能判断出差的符号即可．【互动探究】

2．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则下列不等式中恒成立的是()ADA．0B．1C．2D．33．已知下列不等式：①x2＋3>2x；②a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R＋)；③a2＋b2≥2(a－b－1)，其中正确的个数为()解析：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴x2＋3>2x.∵a3＋b3－a2b－ab2＝(a－b)(a2－b2)＝(a＋b)(a－b)2≥0，∴a3＋b3≥a2b＋ab2.∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．考点3利用作商比较大小．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{an}是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由．作商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证—≥1.步AB骤：作商式；商式变形；判断商值与1的大小关系．指数不等式常用作商法证明．有时要用到指数函数的性质．如若a＞1，且x＞0，则ax＞1等．【互动探究】

4．比较1816

与1618

的大小．

易错、易混、易漏

8．忽略考虑等号能否同时成立

例题：设

f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．正解：方法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)．即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.∴5≤f(－2)≤10.∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.∴5≤f(－2)≤10.

【失误与防范】本题主要考查多个不等式等号能否成立的问题，可以考虑待定系数法、换元法和线性规划法，要特别注意1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4中的a，b不是独立的，而是相互制约的，因此无论用哪种方法都必须将a－b，a＋b当作一个整体来看待．图5－1－1

1．准确把握不等式的性质：对于不等式的性质，关键是理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件(特别是符号的限制条件)改变后，结论是否发生变化．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两种情况．“单向性”主要用于证明不等式；“双向性”主要用