第6章 无限脉冲响应数字滤波器设计C

第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计

6.1数字滤波器的基本概念6.2模拟滤波器的设计6.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器6.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计

切比雪夫Ⅰ型滤波器设计步骤：(1)确定技术指标参数p、Ωp、s和Ωs。(2)求滤波器阶数N和参数ε。(3)求归一化系统函数Ga(p)。(4)将Ga(p)去归一化，得到实际的Ha(s)

6.2.5五种类型模拟滤波器的比较

当阶数相同时，对相同的通带最大衰减

p和阻带最小衰减s：巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫Ⅰ型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫Ⅱ型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。6章无限脉冲响应数字滤波器的设计

相位逼近情况:巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约3/4的通带上非常接近线性相位特性，而椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性。贝塞尔滤波器在整个通带逼近线性相位特性，而其幅频特性的过渡带比其他四种滤波器宽得多。

复杂性:在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特沃思滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。6章无限脉冲响应数字滤波器的设计

设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是:(1)通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标转换为相应的低通滤波器指标；(2)设计相应的低通系统函数Q(p)；(3)对Q(p)进行频率变换，得到希望设计的滤波器系统函数Hd(s)。

1．模拟高通滤波器设计

(1）将希望设计的高通滤波器的指标转换成相应的低通滤波器Q(p)的指标。6章无限脉冲响应数字滤波器的设计（2）设计相应的归一化低通系统函数Q(p)。（3）将Q(p)转换成希望设计的高通滤波器的系统函数HHP(s)。（6.2.50）2．带通滤波器设计①将希望设计的带通滤波器指标转换为相应的低通原型滤波器Q(p)的指标。（6.2.54）②设计相应的归一化低通系统函数Q(p)。设计过程与例6.2.1完全相同。③将Q(p)转换成所希望设计的带通滤波器系统函数HBP(s)。（6.2.53）3．带阻滤波器设计①将希望设计的带阻滤波器指标转换为相应的低通原型滤波器Q(p)的指标。②设计相应的归一化低通系统函数Q(p)。设计过程与例6.2.1完全相同。③将Q(p)转换成所希望设计的带阻滤波器系统函数HBs(s)。（6.2.58）（6.2.59）6.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器

为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。6章无限脉冲响应数字滤波器的设计1.Ha(s)转换成H(z)稳定条件设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),其单位冲激响应是ha(t)设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：(6.3.1)将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：(6.3.2)6章无限脉冲响应数字滤波器的设计2.脉冲响应不变法原理对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：

(6.3.3)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：(6.3.4)6章无限脉冲响应数字滤波器的设计几点结论:1）2）系数相同3）模拟滤波器是稳定的，数字滤波器也是稳定的。4）S平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两平面零点并不一一对应。6章无限脉冲响应数字滤波器的设计式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此，得到：(6.3.5)6章无限脉冲响应数字滤波器的设计表明理想采样信号的拉氏变换与相应的采样序列h(n)的Z变换之间的映射关系可用下式表示：3.s平面和z平面之间的映射关系设ha(t)的采样信号用表示，(6.3.6)设s=σ+jΩ,z=rejω，由上式可得：rejω=eσTejΩT

(6.3.7)s平面的虚轴(σ=0)→

z平面的单位圆(r=1)s平面左半平面(σ<0)→

z平面单位圆内(r<1)s平面右半平面→

z平面单位圆外(r>1)6章无限脉冲响应数字滤波器的设计即：说明：Ha(s)因果稳定，转换后得到的H(z)是因果稳定。上式就是脉冲响应不变法对应的s平面到z平面的映射关系。另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成当σ不变，模拟频率Ω变化2π/T的整数倍时，映射值不变。或者说，将s平面沿着jΩ轴分割成一条条宽为2π/T的水平带，每条水平面都按照前面分析的映射关系对应着整个z平面。此时s平面与z平面的映射关系如图所示。6章无限脉冲响应数字滤波器的设计图6.3.1z=esT,s平面与z平面之间的映射关系6章无限脉冲响应数字滤波器的设计数字滤波器的频响特性与模拟滤波器的频响特性之间的关系：表明：H(ejΩT)是Ha(jΩ)以2π/T为周期的周期延拓函数（对数字频率，则是以2π为周期）6章无限脉冲响应数字滤波器的设计4.数字滤波器的频响特性图6.3.2脉冲响应不变法的频率混叠现象6章无限脉冲响应数字滤波器的设计5脉冲响应不变法优缺点缺点会产生频率混叠，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。优点：频率坐标变换是线性的，即数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好。6章无限脉冲响应数字滤波器的设计假设没有频率混叠现象，即满足则：但是，H(ejω)的幅度与采样间隔成反比，当T很小时，|H(ejω)|就会太高。为避免这一现象，令6章无限脉冲响应数字滤波器的设计6.修正公式一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，一对复数共轭极点形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为极点为(6.3.11)对应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为(6.3.12)6章无限脉冲响应数字滤波器的设计7.数字滤波器二阶基本节如果模拟滤波器二阶基本节的形式为极点为(6.3.13)6章无限脉冲响应数字滤波器的设计(6.3.14)[Bz,Az]=impinvar(B,A)实现用脉冲响应不变法将分子和分母多项式系数向量为B和A的模拟滤波器系统函数Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)，H(z)的分子和分母多项式系数向量为Bz和Az。8.matlab中脉冲响应不变法的转换函数6章无限脉冲响应数字滤波器的设计例6.3.1已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解首先将Ha(s)写成部分分式：极点为那么H(z)的极点为6章无限脉冲响应数字滤波器的设计那么H(z)的极点为按照(6.3.4)式，并经过整理，得到：式中,T是采样间隔，若T选取过大，则会使ω=π附近频谱混叠现象严重。

6章无限脉冲响应数字滤波器的设计

6章无限脉冲响应数字滤波器的设计这里选取T=1s和T=0.1s两种情况，以便进行比较。设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则比较T=1和T=0.1的误差，确定T值。再按照(6.3.14)式，H(z)为转换时，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式进行转换。先求出Ha(s)极点：s1,2=σ1±jΩ1则：6章无限脉冲响应数字滤波器的设计图6.3.3例6.3.1的幅度特性6章无限脉冲响应数字滤波器的设计【例6.3.2】用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器，要求通带和阻带具有单调下降特性，指标参数如下:ωp=0.2πrad，

p=1dB,ωs=0.35πrad,

s=10dB。

解

（1）将数字滤波器设计指标转换为相应的模拟滤波器指标。设采样周期为T，则：6章无限脉冲响应数字滤波器的设计(2）设计相应的模拟滤波器，得到模拟系统函数Ha(s)。根据单调下降要求，选择巴特沃斯滤波器。设计过程与例6.2.1完全相同，求出阶数N=4。（3）将模拟滤波器系统函数Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z)：如上求解计算相当复杂。本例调用MATLAB信号处理工具箱函数进行设计。设计程序ep632.m如下。6章无限脉冲响应数字滤波器的设计％例6.3.2用脉冲响应不变法设计数字滤波器程序:ep632.mT=1； ％T=1swp=0.2*pi/T;ws=0.35*pi/T;rp=1;rs=10;％T=1s的模拟滤波器指标［N,wc］=buttord(wp,ws,rp,rs,'s'); ％计算相应的模拟滤波器阶数N和3dB截止频率wc［B,A］=butter(N,wc,'s'); ％计算相应的模拟滤波器系统函数［Bz,Az］=impinvar(B,A); ％用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器省略绘图部分。6章无限脉冲响应数字滤波器的设计

取T=1s时的运行结果：N=4模拟滤波器系统函数Ha(s)分子和分母多项式系数向量B和A：B=［00000.4872］A=［1.00002.18322.38321.52400.48