chapter5.5-7二次型转化标准二次型

第五节二次型及其标准型

在解析几何中，为了便于研究二次曲线

的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：

把方程化为标准形

(1)的左边是一个二次齐次多项式,为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们通过坐标变换，把方程化为只含平方项的标准方程（我们把它叫做标准型）。

把二次齐次多项式化为只含平方项的标准方程不仅在几何问题中出现，而且在数学的其它分支及物理、力学、工程技术、经济管理、网络计算中有着广泛的应用。

现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题。一、二次型及其标准形的概念称为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的规范形．平方项的系数只在1，-1,0中取值的标准型例如都为二次型；为二次型的标准形.为二次型的规范形.1．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法2．用矩阵表示

标准型：只含有平方项的二次型三、二次型的矩阵及秩

在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．将二次型的标准型化成矩阵形式，易知，标准形的矩阵具有对角阵形式：二次型的秩等于中非零元素的个数解例１练习

1）写出二次型所对应的矩阵。

2）写出矩阵所对应的二次型。定义

设有两组变量

；，其中一组变量可以写成另外一组变量的线性组合，即有：补充：线性变换则称上式为由到的一个线性变换

由系数组成的矩阵称为线性变换的矩阵。本章主要问题之一：找一个恰当的线性变换，使二次型形式更简单（只含有平方项）。四、化二次型为标准形定理

任意一个二次型都可以经过正交变换化为标准形：定理

任意一个二次型都可以经过正交变换化为标准形：定理

任意一个二次型都可以经过正交变换化为标准形：定理

任意一个二次型都可以经过正交变换化为标准形：定理

任意一个二次型都可以经过正交变换化为标准形：用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例2例22．求特征向量3．将特征向量正交化4．将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为解例3五、小结

1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．

2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法——拉格朗日配方法．第六节用配方法化二次型成标准形一、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．

问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．解例1含有平方项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为解例2由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得所用变换矩阵为

1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤

2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.练习二、小结

将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．第七节正定二次型一、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．为正定二次型为负定二次型二、正(负)定二次型的概念例如三、正(负)定二次型的判别推论对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．这个定理称为霍尔维茨定理．定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正，即正定矩阵具有以下一些简单性质例1

判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.例2

判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，例3

判别二次型的正定性.解2.