流体力学第一章(基础概念)2011年

流体力学

张玲lingzhang@南京信息工程大学大气科学学院

2010~2011学年第2学期课程1引言一、流体力学的研究对象流体力学是力学的一个分支，是研究水和空气之类的流体宏观运动规律，以及流体与固体之间相互作用规律的一门学科。流体力学的基本内容流体的运动规律如何？流体运动时对处于其中的其他物体产生的影响和作用如何？问题：水－－液体空气－－气体流体地球流体海洋大气2①理论方法**二、研究方法流体性质和流动特性的主要因素理论流体力学宏观物理模型或理论模型控制流体运动的闭合方程组问题的求解物理规律(质量守恒、牛顿定律等等)数学3存在问题：

流体运动方程组通常为包含非线性项的微分方程所构成。

由于数学上求解的困难，许多实际流动问题难以精确求解。

4②计算方法（数值方法）通过把流场划分为许多微小的网格或区域，在各个网格点或各小区域中求支配流动方程的近似解，通过数值计算的方法，近似求解运动方程组，最终得到方程数值解。存在问题：

数值方法求解其适用范围受数学模型的正确性、计算精度和计算机性能所限制。

5③实验方法：主要通过设计实验，对实际流动问题进行模拟，并通过对具体流体运动的观察和测量来归纳流体运动规律。实验流体力学存在问题：

从实验中得到的经验公式的普适性较差。

6三、应用地球上的大气和海洋是最常见的自然流体，因而相应地形成了地球物理流体力学。研究大气和海洋运动规律的动力气象学、动力气候学和动力海洋学，都是流体力学领域中的不同分支，而流体力学是大气科学、海洋科学的重要的基础理论之一。7四、课程性质和学习目标课程性质：专业基础课，是学习气象、环境等地球物理学科的基础。学习目标：理解和掌握流体力学的基本概念、方法。8五、主要教学内容和具体安排第一章基础概念第二章基本方程第三章相似原理与量纲分析第四章涡旋动力学基础第五章流体波动第六章旋转流体力学第七章湍流

9参考书目：王宝瑞编著，1988年，气象出版社，《流体力学》10第一章基础概念

第一节流体的物理性质和宏观模型

第二节流体的速度和加速度 第三节迹线和流线

第四节速度分解 第五节涡度、散度和形变率

第六节速度势函数和流函数主要内容主要介绍流体力学的基本概念。(课程基础和核心内容）11一、物理性质第一节流体的物理性质和宏观模型自然界的物质凝聚态（分子间的平均间距不同）固体液体气体流体与固体不同：流动性粘性压缩性121、流动性（形变性）流体流动性的特征①流体的形状极易发生变化；②流体的抗拉强度极小；③只有在适当的约束条件下，才能承受压力；④处于静止状态的流体不能承受任何剪切力的作用，不论在如何小的剪切力作用下，流体将发生连续不断的变形。流体容易发生形变的特性，称为流动性或者形变性。

132、粘性当流体层之间存在①相对运动或②切形变时，流体就会反抗这种相对运动或切形变，使流体渐渐失去相对运动或切形变；流体这种抗切变性或阻碍流体相对运动的特性，称之为粘性。14

粘性是分子之间的吸引力与分子不规则热运动引起的动量交换的结果。

对液体，分子之间的吸引力是决定性因素，所以液体的粘性随温度升高而减小；对气体，分子之间的热运动产生动量交换是决定性因素，所以，气体的粘性随温度升高而增大。温度与粘性15牛顿粘性定律（牛顿粘性假设）牛顿在《自然哲学的数学原理》中假设：“流体两部分由于缺乏润滑而引起的阻力，同这两部分彼此分开的速度成正比”。即在图中，粘性切应力为上式称为牛顿粘性定律，它表明：•牛顿粘性定律已获得大量实验证实。⑴粘性切应力与速度梯度成正比；(2)比例系数称动力学粘性系数。16当流体粘性很小，且相对速度不大时，流体的粘性力对流动的作用就不重要甚至可以略去，这种不考虑粘性的流体称为理想流体。理想流体的概念173、压缩性流体的体积元在运动的过程中可以因温度、压力等因素的改变而有所变化的特性，称为流体的压缩性。

按压缩性，通常可把流体分为 ①不可压缩流体②可压缩流体18不同流体的压缩性：①在常温常压的条件下液体压缩性很小，大多数情况下可以看作不可压缩流体来处理；②气体的压缩性明显比液体大，通常需要看作可压缩性流体来处理;

研究表明：由于速度小，压缩性小；速度大，压缩性大，因此对于流动不快的气体，而且在流动过程中的温差和压差均不大时，也可以近似地将其视为不可压缩流体。19流体模型分类流体模型按粘性分类无粘性流体

粘性流体牛顿流体非牛顿流体按可压缩性分类可压缩流体不可压缩流体其他分类正压流体斜压流体20实际流体是由大量的流体分子组成的，而流体分子之间存在空间间隙。对于这种由离散分子构成的真实流体，如何研究它的运动？

二、流体的连续介质假设——宏观理论模型21

若以单个分子为研究对象，由于其运动的随机性，相应的物理量（如分子速度）随时间作随机变化，由于分子间存在间距，则物理量在空间上存在不连续性。流体的微观和宏观特性若研究对象扩大到包含大量分子的流体团，则流体团性质表现为其中所有分子的统计平均特性。只要分子数足够大，统计平均值在时间和空间是连续的，这种特性成为流体团的宏观特性。22流体团分子速度的统计平均值曲线23微观足够大，其统计平均可以反映稳定的宏观值的大量的流体分子所组成的流体微团称之为流体质点。

※※流体质点（或流点）流体质点的特性：流体质点的线尺度大于分子运动的线尺度；宏观上充分小，流体质点的线尺度小于流体运动的线尺度。流体质点流体微团流体微元24※※流体连续介质假设

把由离散分子构成的实际流体看成是由无数流体质点没有间隙连续分布构成的，这就是所谓的流体连续介质假设。

对于气象学或者大气科学，除高层稀薄大气外，通常也是将大气当作连续介质来考虑的。在50公里左右的高空大气，仍然可以作为连续介质；在更高的地方，大气就不能看作连续介质。25

流体力学研究是以流体的连续介质模型作为基本假设，在此基础上再考虑流体的流动性（形变性）、压缩性、粘性等特性，并由此来研究流体运动及流体与固体之间的相互作用的。注意：流体力学研究是以流体微团（流体元）或者流点作为研究对象的。26第二节 流体的速度和加速度一、描写流体运动的两种方法一个实际流体问题：河水流动的描述问题？？？①以河道中的某一个流点作为研究对象，跟踪流点的运动，测量并得到其运动状况及其速度，如果采用同样的方法，只要对河道中所有的流点进行跟踪测量，那么就可以得到整个河道中流动的流速分布，从而对河水的流动作出正确的描述；27②针对河道中的某一固定的空间点，测量出该空间点的流动速度，进而通过测量不同空间点河水的流动速度，最终得到整个河道中河水的流动情况。281、拉格郎日(Lagrange)方法（质点的观点或随体观点）着眼于流体质点，描述每一个流点自始至终的运动过程和它们的运动参数随时间的变化规律；综合所有流体质点运动参数的变化规律，得到了整个流体的运动规律。个别流点的运动特征整个流体运动特征292、欧拉(Euler)方法（场的观点）又称局地法，着眼于空间点，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，研究流点通过固定空间点时的运动参数随时间的变化规律，如果空间中每一个点的流体运动都已知，就可以知道整个流体的运动状态。个别空间点运动特征整个流体运动特征3031流体质点和空间点是两个截然不同的概念空间点指固定在流场中的一些点，空间点的速度指某时刻某流体质点正好流过此空间点的速度。流体质点和空间点的速度321、Lagrange变量二、两种变量考虑确定的参考系，取流点的位置矢径为，且可以表示为：Oxyz33假定某一流点的初始时刻位置位于点：则该流点不同时刻的位置矢径为，可以表示为：分量形式：变量x,y,z为Lagrange变量。342、Euler变量通常，流速矢应是空间点和时间的函数:分量形式：变量u,v,w为Euler变量。35若流场不随空间变化-----------均匀流场；反之，为非均匀场；若流场不随时间变化-----------定常（稳定）流场；反之，为非定常（不稳定）场。几个与流场有关的基本概念36Lagrange变量Euler变量？37三、两种变量之间的转换1、Lagrange变量转化为Euler变量Lagrange观点下有： 据速度的定义，求它们随时间的变化率（流点速度）即：38第二，它表示在时间t位于空间点(x,y,z)处的流速Euler观点上式有如下含义：第一，它表示原来位于(x0,y0,z0)处流点在时间t的速度Lagrange观点39欧拉变量表明了流速在空间点的分布。而Euler观点下，对于固定的时间t

：40？41例1-2-1已知Lagrange变量，将其转换为Euler变量。42Lagrange变量Euler变量的具体方法：①利用Lagrange变量，对时间t求偏导数，求解各流点的流速；②在速度表达式中，消去Lagrange参数（x0,y0,z0

），即可得到Euler变量。43例1-2-2已知Lagrange变量，其中a,b,c为常数，将其转换为Euler变量。44例1-2-3已知Lagrange变量，将其转换为Euler变量。45把x,y,z当作t

时刻某流点所达到的位置，此时为t的函数；2、Euler变量转化为Lagrange变量Euler观点下，对于固定的时间t

：转换46（1）求解微分方程组：Euler变量

Lagrange变量的具体方法：47例1-2-4已知用Euler变量表示的流场速度分布为

试求在t=0时刻位于（1,1）的流体质点的Lagrange变量。

48例1-2-5已知用Euler变量表示的流场速度分布为

试求在t=0时刻位于（2,1）的流体质点的Lagrange变量。

49例1-2-6已知用Euler变量表示的流场速度分布为

试求在t=0时刻位于（0,1）的流体质点的Lagrange变量。

50四、流体的加速度

已知Lagrange变量，求流点的加速度51Euler变量速度表达式，其流体加速度的表示方法？思路一：将Euler转化为Lagrange,再求加速度思路二：直接用Euler求加速度52Euler观点的流体加速度53引入哈密顿算符54定义微商算符：上式适用于任意物理量，包括如力、速度、位移等矢量，以及如温度、气压等标量。55微商算符的常用形式：①②③普通情况下： 物理量的局地变化由两部分组成，个别变化和平流变化。56①

个别变化表示流点在移动过程中，流点上所具有物理量随时间的变化率②局地变化表示局地空间上所具有的物理量随时间的变化率③平流变化表示由于流体运动且运动方向上物理量空间分布不均匀引起的物理量随时间的变化率57

A2℃

B4℃气团自A地向B地运动，24h后到达B地，假设气团在移动过程中温度不变，求24h后B点温度是多少？58

A4℃

B4℃气团自A地向B地运动过程中，升温率1℃/24h，求24h后B点温度是多少？59这种流动称为定常流动或稳定流场，此时，流场不随时间变化或者说流速的局地变化为零，流场与时间无关，仅仅是空间的函数。60例1-2-7已知Lagrange变量，其中a,b,c为常数，问：此流体运动是定常的吗？61例1-2-8已知用Euler变量表示的流场速度分布为

求流体运动的加速度；并说明产生加速度的原因。62例1-2-9已知用Euler变量表示的流场速度分布为

求流体运动的局地加速度。63例1-2-10如图所示，已知A、B两地相距3600公里，假定A地某时刻的温度为10度，而B地的温度为15度(考虑气温分布是线性的)，并且由A向B的气流速度为10米/秒。①如果流动过程中空气的温度保持不变，问24小时后B地的温度将下降多少度？②由于气团变性，温度的变化为2.5度/天，则B地的温度变化又将如何？360064习题1-2-1已知流场为，该流场中温度的分布为，其中A为已知常数，求初始位置位于的流点温度随时间的变化率。

65第三节迹线和流线流体运动的几何图象？直观和形象地描述流体的运动情况迹线和流线的概念引入66※※迹线是某个流点在各时刻所行路径的轨迹线，或者说是流体质点运动的轨迹线。一、迹线它描绘了某一确定流点在不同时刻所处的空间位置和运动方向。67参数方程迹线消去参数t迹线-----拉格郎日(Lagrange)变量密切相关68例1-3-1假设流体运动的Lagrange变量为：解：消去参数t，即可得迹线方程：

求迹线方程？69问题：若已知欧拉变量的流点速度场如何求流点迹线？70例1-3-2已知流体运动速度场分布为

求t=0时刻过点（1,1）的迹线方程。

71二、流线欧拉观点：采用流线来描述流动情况的空间分布。流线：在某一固定时刻，曲线上的任意一点流速方向与该点切线方向相吻合，这样的曲线称为流线。注意：流线只反映流速方向，而不能反映流速大小。7273式中x、y、z、t为四个相互独立的变量，积分时将t作常数处理。积分流线设为流线的线元矢量：流线的求解74例1-3-3流体运动由Euler变量表示为（其中k为常数）

（1）求流线；

（2）请问同一地点不同时刻流速是否相同？同一流点不同时刻的流速是否相同？

(3)求出t=0时刻，过点（a，b，c）的迹线。75例1-3-4流体运动由Euler变量表示为（其中k为常数）求出t=0时刻，过点（1,1）的流线方程。76迹线和流线有关系？迹线（拉格朗日观点）流线（欧拉观点）流体运动的几何图象7778迹线和流线是两个不同的概念，通常情况下，二者的表现形式（物理图象）是存在差异的。流场不随时间变化的定常流动条件下，二者是重合的。

流线t迹线79下列有关迹线、流线的描述正确吗？①定常流动迹线和流线重合②迹线和流线重合定常流动③定常流场流线不随时间变化。④流线不随时间变化定常流场。80例1-3-5流体运动由Euler变量表示为（其中k为常数）求出流线方程。81习题1-3-1流体运动由Euler变量表示为（其中k为常数）求出t=0时刻，过点（1,1）的流线方程。82第四节 速度分解物体运动速度的构成：经典力学中，质点的速度只有平移速度经典力学中，刚体的速度有平移和旋转速度流体质点运动速度的构成？83流动性和压缩性等形变流点速度的构成平移、旋转84Tailor展开的简单回顾：?速度分析的方法－－－Tailor展开式85选择参考点及邻近一点86将以参考点速度作Tailor展开：(x方向为例)8788定义:89y方向作类似处理：90z方向作类似处理：9192形变张量矩阵93流体旋转角速度94于是，可将速度写为: 流体微团的运动可分解为平移速度、转动线速度和变形运动引起的形变线速度三部分。其中：959697流点的速度分析不同刚体，它只适用于很靠近的范围，且出现了形变线速度。刚体运动：转动是作为一个整体来进行的；

流体运动：流点的转动角速度仅是一个局地量，流体域内各点可以以不同的角速度转动。

98例1-4-1已知流场：其中m为常数，计算坐标原点O附近点的转动线速度和形变线速度。O99第五节涡度、散度和形变率引进其他的物理量，表征流点在运动过程中的各种特征。流点运动位置变化形状大小变化流点自身还可以滚动旋转。100一、涡度定义涡度矢为矢量微商符和速度矢的矢性积，即：①涡度的定义101首先引入速度环流的概念②涡度的物理意义称为速度环流，记作。在流体中取任一闭合有向曲线

，沿闭合曲线对该闭合曲线上的流速分量求和： 102表示流体沿闭合曲线流动趋势的程度。103应用斯托克斯（Stokes）公式，线积分曲面积分：104当闭合曲线l向内无限收缩（闭合曲线所围面积趋向零）：※※涡度的物理意义：流体某点的涡度矢量在单位面元的法向分量等于单位面积速度环流的极限值，它是度量流体旋转程度的物理量。105③涡度与流体旋转角速度的关系106二维水平运动：考虑满足以下条件的流体运动涡度与流体旋转角速度的关系107108OABOABA’B’旋转角速度涡度109例1-5-1

流点在xoy平面围绕oz轴作逆时针的圆周运动，其流速与流点到oz轴的距离成正比，试求出流体的涡度场及沿以原点为中心的某圆周的速度和加速度环流。110④与涡度有关的几个问题：A直线有旋运动B无旋圆周运动C有旋圆周运动111特别说明：流体涡度是一个局地概念；流点作圆周运动相当于围绕原点的“公转”；而流体涡度反映的则是流点自身的“自转”。112二、散度定义散度为矢量微商符和速度矢的数性积，即：①散度的定义113为了说明散度的概念及意义，引入流体通量F②散度的物理意义σ为流体中的任一封闭曲面114流体散度即为单位体积的流体通量当曲面面元向内无限收缩时，即体积元趋向于零：应用奥—高公式，将以上曲面积分转化为体积分，则有：Ostrovski-Gaussformula115流体净流出源(辐散)

流体净流入汇(辐合)场的观点若流体中的任一封闭曲面为几何面时：散度的物理意义一：116封闭曲面向外膨胀

封闭曲面向内收缩流体中的任一封闭曲面为流点组成的物质面时：体现了流体体积的变化散度的物理意义二：117取体积为的小正方体，其单位体积的体积变率（体胀速度）：体胀速度散度物理意义三：散度也是度量流点体积膨胀或收缩的一个量，反映单位体积的流点体胀速度。118例1-5-1已知流体不可压，，a,b为常数，w=0,且当y=0时，v=0，求速度v的表达式。例1-5-2已知流体速度的表达式求其涡度和散度。119三、形变率流点可以看作既大又小的流体微团，它不但会转动和发生体积的膨胀、收缩，而且还会发生形变。流体的形变包括：法形变（轴形变）和切形变（剪形变）。

120①法形变法形变率（线形变率）：即单位长度的速度变化率（单位长度单位时间内的伸长和缩短率)。

=<MOMO121散度，其实就是一种形变，称为体形变，散度的三个部分，分别表示了沿三个坐标轴伸长和缩短的形变率，称为轴形变或法形变。二维平面流动：二维散度－面积形变122②切形变切形变是指流体质点线间夹角的相向改变率。123考虑满足以下条件的流体运动124OABOABA’B’125③形变张量形变张量对称矩阵126习题1-5-1已知流体速度场分别为：分别判断上述流体运动是否有旋、是否有辐散和形变？（1）（2）127第六节速度势函数和流函数速度势函数速度流函数二维流动的表示128一、速度势函数①定义（速度势函数的引入）流体运动无旋流动涡旋流动否则，则称之为涡旋流动：如果在流体域内涡度为零，即:

无旋流动；129据矢量分析知识，任意一函数的梯度，再取旋度恒等于零：所以，对于无旋流动，必定存在一个函数满足如：函数称为速度的（位）势函数，可以用这个函数来表示无旋流动的流场。通常将无旋流动称为有势流动或势流。注：实际计算中势函数与无旋运动的关系式采用下式130由流速场与势函数的关系可知：流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处，位势梯度小，相应的流速小。对于某一固定时刻为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。131例1-6-1

已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如图所示（其中，<<）的，请判断并在图中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B

两处流速的大小。132 假如流体的散度为：

根据势函数的定义有：

其中，为三维拉普拉斯算子。可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即可求得势函数。势函数的求解133势函数与对应的无旋风场（辐散风场）134135①定义

二、速度流函数无辐散流辐散流流体运动引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：136考虑二维无辐散流动，即满足：引入函数流速与该函数满足：137流速与流函数的关系式矢量形式：138