微积分 第六章 定积分 4节_第1页
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文档简介

二、积分上限函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例第四节微积分基本定理要求：理解积分上限函数，会求它的导数，

掌握牛顿-莱布尼茨公式.在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为变速直线运动的速度与路程问题一、引例上式表明：v(t)在区间上的定积分值可以表示为它的一个原函数在积分区间的两个端点处的函数值之差.这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.(牛顿-莱布尼兹公式)

定理函数,则x1.积分变限函数设函数f(t)在区间[a,b]上可积，由积分区间的可加性，对任意定积分存在.二、积分变限函数及其导数是定义在[a,b]记作上的函数,即称为积分上限函数.x是定义在[a,b]记作上的函数,即称为积分上限函数.同理,可以定义区间[a,b]上的函数称为积分下限函数.积分变限函数xx

思考：讨论这类函数的可导性.证定理1(原函数存在定理)因为从而

积分中值定理定积分性质3故

定理1指出:连续函数f(x)一定有原函数,就是f(x)的一个原函数.函数这为通过原函数计算定积分开辟了道路.?0例如推论?例解例解例解例解这是型不定式,分析应用洛必达法则注含积分变限函数求极限的题目通常要涉及洛必达法则.并从判断分子分母是否为无穷小入手.证:根据定理1,故因此得记作三、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)

定理2.函数,则微积分基本公式表明注一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量.

仍成立.

桥梁作用:求定积分转化为求原函数（求导数或微分的逆运算）计算方法:公式提供一种计算定积分的简单、快捷方法例计算解:例计算正弦曲线的面积.解:注:N-L公式的适用条件思考:

★在区间[-1,1]上,函数在点x=0处为无穷间断,不满足可积条件.

例

解注如被积函数是分段函数,应分段分成几个再用牛顿—莱布尼茨公式.积分,

分段函数分段积分

练习解如被积函数有绝对值,注再用去掉后,N-L公式.应分区间将绝对值例解此极限实为一积分和的极限.定积分是代数和的推广,无穷小的无限项的代数和.即它表示每项为●用定积分求极限时,●需将(1)式中的两个任意量用特殊的值处理.例6.汽车以每小时36

km的速度行驶,速停车,解:

设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离?内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼兹公式

牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．2.积分上限函数(变上限积分)

积分上限函数的导数注意其推论——也是考试的热点.备用题解：1.设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.例解求极限

2002年考研数学(三)5分

例确

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