ZB(七章2讲)全同粒子

量子力学与统计物理

Quantummechanicsandstatisticalphysics光电信息学院李小飞第七章：自旋与全同粒子第二讲：全同粒子引入：前面我们主要研究的是单粒子和双粒子体系问题，对于三体问题，我们采用微扰和变分的方法进行处理。

实际体系，所含粒子数目众多，一般应要采用统计物理的方法。本堂课主要目的让大家了解多体量子体系的特点。下堂课开始学习统计物理为了使问题变得简明，我们着重研究同类粒子构成的全同粒子体系所有固有属性都相同的粒子称为一种全同粒子一.全同性原理例如：

所包含的粒子都是电子的体系，就是一种全同粒子体系1.全同粒子体系又如：

光场所包含的都是光子，也是一种全同粒子体系2．不可区分性

经典力学中，全同粒子体系中的粒子虽然固有属性完全相同，仍可通过位置和运动轨迹等加以区分。

1212微观粒子，具有波粒二象性，没有确定的运动轨道，在波函数重迭区域的两全同粒子无法区分。

例如：在电子双缝衍射实验中，形成干涉条纹的电子，你无法判别是从通哪条缝过来的……微观粒子运动服从量子力学用波函数描写在波函数重叠区粒子是不可区分的3．全同性原理由于全同粒子的不可区分性，在全同粒子所组成的多粒子系统中，任意选取两个粒子进行交换（位置等），应不引起系统状态的改变。称为全同性原理

全同性原理是量子力学中的基本原理之一，不能推导，只能用实验验证。因此，态函数的概率分布不变：

二．全同粒子波函数的特性设体系由N个全同粒子组成以表示第i个粒子的坐标和自旋表示第i个粒子在外场中的势能表示第i个粒子和第j个粒子的相互作用能哈密顿量：很明显：两粒子互换，哈密顿量不变1．波函数要么是对称的，要么是反对称的Ｓ－方程：交换与交换前后的两波函数是同一方程的解

根据全同性原理，它们描述的是同一个态，因此它们可能相差一常数因子，以表示：

现在再把和交换一次

得证：描述全同粒子体系的波函数要么是对称的，要么是反对称的。当时交换后波函数反号，称为反对称波函数当时交换后波函数不变，称为对称波函数2．波函数的对称性不随时间变化

设时刻波函数对称：它满足薛定谔方程：

由于

对称,

也对称在时刻，波函数为它是两个对称函数之和，故也是对称的。同样可证明反对称函数在以后任何时刻都是反对称的。证明：方法II定义交换算符：

结论：描写全同粒子系统状态的波函数只能是交换对称的或反对称的，且这种对称性不随时间变化。费米子：自旋为奇数倍的粒子称为费米子。如电子、质子、中子等粒子，自旋均为，它们均为费米子。

玻色子：自旋为的整数倍的粒子称为玻色子。如介子、光子的自旋分别为O或，它们均为玻色子。波函数对称的粒子称为玻色子，服从玻色—爱因斯坦统计；波函数反对称的粒子称为费米子，服从费米—狄拉克统计3．费米子与玻色子复杂费米子和玻色子三

全同粒子体系的波函数1、两粒子体系

以和表示的单个粒子第i

个本征值和本征函数，则单粒子的本征值方程为：体系哈密顿算符的本征值方程为： 哈密顿量：这时，体系的态函数可以变量分离，表示成单粒子态函数的Hartree积：

称这样态为可分离态（separablestate)，统计物理研究。

反之，称为(纯)纠缠态(entangledstate)。

对于非全同粒子体系，两粒子不具有相同的波函数，体系处于混态（mixedstate），它们的纠缠态称为混纠缠态，

纠缠态在量子通讯中有重要应用(潘建伟团队2015年世界十大科技第一名，国家自然科学奖一等奖)当两粒子间的相互作用很小，可以忽略时，体系的哈密顿算符

本征波函数

本征能量

若两粒子交换，则能量值仍为是简并的，称为交换简并。

如果两粒子处于不同状态，即：，交换前后的两波函数：

即交换前后按Hartree积构成的两波函数既不对称，也不反对称。不符合对称性要求！因此要改！当体系处于可分离态时，

FOCK发现：由Hartree积的和差构成的两个函数，一个是对称的，一个是反对称的，因此可以用这种方式构造体系波函数玻色系统（对称）

费米系统

（反对称）

泡利不相容原理两费米子不处于同一态！

对玻色子系统，波函数取形式，当两个玻色子处于同一个状态时，这时

，故几率密度，允许！

对于费米系统，波函数取形式，当两费米子处于同一个状态时，故几率密度，不允许！将两粒子体系推广到N

粒子体系（忽略粒子间相互作用，称近独立全同粒子体系）单粒子的本征值方程：体系的薛定格方程：总本征能量2、构造N粒子体系的波函数

可见，近独立全同粒子体系的能量等于各单粒子能量之和，哈密顿算符的本征函数是各单粒子的本征函数的Hartree-Fock方式

构成。下面分别构成近独立全同费米和玻色系统的波函数。

由N个费米子组成的体系的本征函数：称为斯莱特行列式

3、费米子体系波函数费米系统

（反对称）

将斯莱特行列式展开，共有项，所以归一化常数

如果N个粒子中，有两个处于同一个状态，则斯莱特行列式中有两行完全相同，这使行列式等于零，从而体系的波函数为0

即：不能有两个及两个以上的费米子处在同一态！

交换任意两个粒子，在斯莱特行列式中就表现出两列相互交换，这使行列式改变符号。所以是反对称的。4、玻色子体系波函数

表示对所有可能的排列求和，C是归一化常数：因为N个粒子排列共有种不相同的形式。所以归一化因子为：nk

是单粒子态k

上的粒子数玻色系统（对称）

例1

一个体系由三个费米子组成，粒子间无相互作用，单粒态的可能态为、、，对应能量为1.2eV,1.2eV,1.5eV，求：（1）系统波函数，能量的可能值及其简并度（2）若体系只有二个费米子呢？Solve（1）E1＝1.2+1.2+1.5＝3.9eV，简并度1单态能量：1.21.21.5占据数：1

101

010

11

E110＝1.2+1.2＝2.4

E101＝1.2+1.5＝2.7双粒子能量：

E011＝1.2+1.5＝2.7双粒子能级：简并度Ｅ1=2.41

Ｅ2=2.7２Solve（2）:双费米子

一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。可能的单粒子态有三，能量分别为1.2,1.2,1.5eV,问体系可能的微观状态数目？波函数怎样由单粒子态构成？能量可能值及简并度？解：（1）三个玻色子分别处于三个单态上：例2（2）三个粒子处于同一个单态上（3）两粒子处在同一态，一粒子处在另一态三种情况共十个微观态，4种能量可能值E＝1.2+1.2+1.5＝3.9E＝3.6E＝3.6E＝4.5E＝3.6E＝3.9E＝3.6E＝3.9E＝4.2E＝4.2体系4个能级E1＝3.6E2＝3.9E3＝4.2E4＝4.5简并度4321氢分子或氦原子含两个电子，若不考虑旋轨耦合，全波函数可写成空间与自旋波函数的乘积：

设体系的核不动，则只有两个电子，是Fermi体系，则应是反对称化的，要由空间波函数与自旋波函数共同保证！I、ψ对称，则

反对称；II、ψ

反对称，则

对称。５、双电子体系的自旋波函数结论：单求自旋波函数来说，它可以是对称的，也可以是反对称的。

不考虑两电子间自旋相互作用，两电子体系的自旋函数应由单电子自旋函数的Hartree积来构成，由Hartree积可构成四个自旋函数

（三个对称函数和一个反对称)现在构造双电子体系的波函数…依据：自旋波函数可以是对称的，也可以是反对称的。现在求自旋大小……先解单电子体系….的本征值：两电子体系的总自旋角动量:再考虑两电子体系…现在先算四个态中的第一个S2……同理可得其他三个态的…再求Sz……结合在一起：自旋多重态自旋三重态、单态和纠缠态形象地记:两电子体系自旋三重态（平行）两电子体系自旋独态（反平行）对称波函数自旋平行三重态反对称波函数自旋反平行单态例3：本征方程：50

例４：一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的玻函数怎样用单粒子态构成？解：状态数=设两单粒子态为和

。第一种情况：三粒子同处于态：三粒子同处于态：

(1)三个玻色子处在同一个状态。(2)两个玻色子处在同一个状态，另一个玻色子处于另一状态。有两种情况：第二种情况：两粒子同处于态，一粒子处于态两粒子同处于态，一粒子处于态

一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。可能的单粒子态有三，问体系可能的状态有几个？波函数怎样由单粒子态构成？解：（1）三个玻色子分别处于三个单态上：状态数：例５54（2）三个粒子处于同一个单态上55（3）两粒子处在同一态，一粒子处在另一态56三种情况共十个态！附注：关于重复组合问题从m种不同数中每次取n个数（数可重复选取），不管排列顺序构成一组，这称为重复组合问题，记为：（m可大于、等于或小于n）重复组合与通常组合不同，其计算公式为：通常组合计算公式：重复组合计算公式表明：从m个不同元素中每次取n个元素的重复组合的种数等于从（m+n-1）个不同元素中每次取n个元素的普通组合的种数。应用重复组合，计算全同