长春市东北师大附中2020届高三数学第五次模拟考试试题含解析

吉林省长春市东北师大附中2020届高三数学第五次模拟考试试题含解析吉林省长春市东北师大附中2020届高三数学第五次模拟考试试题含解析PAGE28-吉林省长春市东北师大附中2020届高三数学第五次模拟考试试题含解析吉林省长春市东北师大附中2020届高三数学第五次模拟考试试题（含解析）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试卷共23题，共6页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码粘区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。已知集合，，则(）A。 B. C. D。【答案】A【解析】【分析】计算得到,再计算交集得到答案。【详解】,故。故选：A.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.2。已知复数满足，其中为虚数单位，则为（）A.1 B. C。 D.5【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，然后利用复数模的计算公式求解．【详解】因为，所以，所以。故选：C.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法,是基础题．3。已知双曲线的焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为（）A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的几何性质可求，再根据双曲线的渐近线的概念，即可求出结果。【详解】由双曲线的几何性质可知，，所以，所以该双曲线的渐近线方程为。故选:C.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题。4。已知向量,，，,则（）A.4 B。 C。 D。12【答案】B【解析】【分析】根据已知求出，再由向量数列积性质求出，即可得出结论.【详解】，,.故选：B。【点睛】本题考查向量数量积计算，求模长转化为求向量的平方即可，属于基础题.5.已知,，是直线，是平面，给出下列命题：①若，，则；②若，,则；③若,,则；④若，,则,其中为真命题的是（）A.①③ B.①④ C.②④ D.①③④【答案】B【解析】【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面的位置关系,对四个命题逐一判断，即可得到正确结果。【详解】对于①，显然正确;对于②，若，,则与平行或相交或是异面直线，故②错误;对于③，若，，则或或与相交，故③错误；对于④，显然正确；故选：B.【点睛】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，属于基础题。6.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干"，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干"以“甲”字开始，“地支"以“子”字开始,两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……癸亥，60年为一个纪年周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法",今年(公元2020年）是庚子年,则中华人民共和国成立100周年（公元2049年）是(）A。己未年 B.辛巳年 C.庚午年 D。己巳年【答案】D【解析】【分析】“天干”以10为周期，“地支”以12为周期,分别对“庚”和“子”向后推算29即可【详解】由题,,因为“天干”以10为周期,所以2050年仍为“庚”,故2049年为“己”；因为“地支”以12为周期，所以2044年仍为“子”，故2049年为“巳”；故2049年为己巳年.故选:D【点睛】本题考查周期性的应用，考查阅读理解能力，属于基础题.7.已知，，，则的大小关系为（)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及1，为桥梁，可比较三个数的大小.【详解】,，,只需比较，的大小，，，又，，故故选:C【点睛】本题考查了指数函数和对数函数类型数的大小比较,充分理解指数函数和对数函数的单调性是解决问题的关键，属于中档题。8.早在17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的“概率"．18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率,20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图就是利用随机模拟方法估计圆周率，(其中是产生内的均匀随机数的函数,）,则的值约为（）A。 B. C. D。【答案】D【解析】【分析】根据，，而表示个圆，则，故。【详解】根据程序框图，知，，而表示个圆，如图所示：则落在阴影部分的面积与正方形面积比为，得.故选：D.【点睛】本题考查了程序框图，几何概型,频率的理解与应用，属于中档题。9。函数的图象大致是（）A。 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求函数的定义域,再判断函数奇偶性,然后取特殊值，利用排除法即可得结果。【详解】解：定义域为，因为，所以为偶函数,图像关于轴对称，所以排除A，B，因为，所以排除D故选：C【点睛】此题考查辨别函数图像,一般从函数的奇偶性,函数的零点,特殊点的函数值,函数的单调性等方面运用排除法，属于基础题。10.已知，则（）A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值.【详解】.故选:A。【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角的余弦公式求值，要观察角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题。11.若函数在区间是单调函数，则实数的取值范围是（）A。 B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】分单调递增、单调递减两种情况进行讨论，从而可转化为(或）恒成立，进而转化为求函数的最值即可．【详解】因为函数在区间是单调函数，若函数在区间是单调递增函数，则在区间上恒成立；所以在区间上恒成立,又当时，，所以;若数在区间是单调递减函数，则在区间上恒成立；所以在区间上恒成立,又当时，，所以；综上所述，.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题．12.如图，三棱柱的所有棱长都为，侧棱底面，，，分别在棱,，上，，，过，，三点的平面将三棱柱分为两部分，下列说法错误的是（）A。截面是五边形 B.截面面积为C。截面将三棱柱体积平分 D。截面与底面所成的锐二面角大小为【答案】D【解析】【分析】如图所示：以为坐标原点，以垂直于的直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，计算截面的法向量得到D错误，再根据截面的形状计算面积，截面过三棱柱中心得到答案。【详解】如图所示：以为坐标原点，以垂直于的直线为轴，为轴,为轴建立空间直角坐标系,则，,,设截面与的交点为，设截面与的交点为,设，,设截面的法向量为，则，取，则,易知底面的法向量为，则，故D错误。,，，，故，,根据平行平面性质知，计算，，故,故四边形为矩形，，，故，故AB正确；三棱柱的中心坐标为，，则在截面上，根据对称性知C正确。故选：D.【点睛】本题考查了三棱柱的截面问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，空间想象能力，建立空间直角坐标系是解题的关键。二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。13。甲、乙、丙三人参加知识竞赛．赛后，他们三个人预测名次的谈话如下：甲：“我第二名,丙第一名”；乙：“我第二名，丙第三名";丙：“我第二名，甲第三名”；最后公布结果时,发现每个人的预测都只猜对了一半,则这次竞赛第一名的是______．【答案】丙【解析】【分析】对甲、乙、丙在这次竞赛中分别获得第一名进行分类讨论，结合简单的合情推理,可得出结论.【详解】若甲获得第一名，甲预测出一半，则丙第一名，矛盾；若乙获得第一名，乙预测出一半，则丙第三名,甲第二名，则丙预测全错，不合乎题意;若丙获得第一名，甲预测出一半，则甲第三名，乙第二名，乙、丙都预测出一半，合乎题意。综上所述，这次竞赛中第一名的是丙。故答案为：丙.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用,属于中等题。14.在中，，，则______．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得关于的方程,求得即可．【详解】解：由余弦定理可知，解得或（舍去）故答案为：8【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用．属于基础题．15。已知椭圆的左、右顶点分别为、,直线过点且与轴垂直，点是椭圆上异于的动点,直线与直线交于点,若,则椭圆的离心率是______．【答案】【解析】【分析】依题意,不妨取点为椭圆的上顶点,表示出直线，从而得到的坐标，由两直线垂直,可得斜率乘积为，从而得到、的关系，再求出椭圆的离心率；【详解】解：不妨取点为椭圆的上顶点如图所示，则：，则，所以,又因为，，所以，所以，所以所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质,属于中档题.16.已知函数（为自然对数的底数，)，当时，函数有______个零点;若函数有四个不同零点,则实数的取值范围是______．【答案】(1)。(2).【解析】【分析】当时，由可得出，令，可得出,解得,,利用导数研究函数的单调性与极值，观察直线、与函数图象的交点个数,可得此时函数的零点个数；令，可得出，令，可得出，解得,，由题意可得，,进而可解得实数的取值范围。【详解】当时,,，令可得，令，可得，整理得，解得,。对于函数,，令得，列表如下：单调递增极大值单调递减当时,，如下图所示：由图象可知，直线与曲线有个交点,直线与曲线只有个交点，所以,当时,函数的零点个数为；对于函数，，令，可得，令，可得，即,即,由于函数有四个不同零点，则关于的方程必有两个不等实根、，且，，所以，，则,解方程得，，由题意可得，解得.因此,实数的取值范围是。故答案为:；.【点睛】本题考查函数零点个数的判断，同时也考查了利用函数的零点个数求参数，将问题转化为复合函数的零点是解题的关键，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用,属于较难题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一）必考题：共60分。17。已知是数列的前项和，满足，．（1）求数列的通项公式；（2)求数列的前项和．【答案】(1）;（2）.【解析】分析】（1）令,由得出，两式作差得出，可得出数列是常数列，结合可求得数列通项公式；（2）求得，然后利用裂项求和法可求得数列的前项和．【详解】（1）当时，由得，两式相减得，即，化简得，所以数列是常数列,且，；（2）,，则，．【点睛】本题考查利用与之间的关系求通项，同时也考查了裂项相消法，考查计算能力，属于中等题。18.一次大型考试后，年级对某学科进行质量分析，随机抽取了名学生成绩分组为,,,,，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从这名成绩在，之间的同学中，随机选择三名同学做进一步调查分析，记为这三名同学中成绩在之间的人数,求的分布列及期望;（2）（ⅰ）求年级全体学生平均成绩与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（精确到1）（ⅱ）如果年级该学科的成绩服从正态分布,其中，分别近似为（ⅰ）中的，。若从年级所有学生中随机选三名同学做分析，求这三名同学中恰有两名同学成绩在区间的概率。（精确到0。01）附：。若，则，【答案】（1)分布列见解析，1.5；(2）(ⅰ)73分，11；(ⅱ）0。36.【解析】【分析】(1）先求出成绩在,之间的人数，从而可得的所有可能取值，然后分别求出对应的概率，再列分布列，再根据期望公式求出期望；（2）（ⅰ）用频率分布直方图中每组的中点值乘以对应组的频率，将所得的结果全部相加可得平均成绩，再利用标准差公式求标准差，（ⅱ）由（ⅰ)可知，，所以，然后根据正态分布的性质和独立重复试验的概率公式可求得结果.【详解】解：（1）由直方图，40名同学中成绩在，之间的同学的人数均为4，的所有可能取值为0，1，2,3,,的分布列为0123．（2）（ⅰ)（分),(ⅱ）由（ⅰ）,，记“三名同学中恰有两名同学成绩在区间”为事件，则．【点睛】此题考查频率分布直方图，离散型随机变量的分布列，正态分布等知识，考查分析问题的能力，考查计算能力,属于中档题。19。如图，在四棱锥中,平面,底面为菱形，,．（1）求证：；（2)若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）。【解析】【分析】（1）连接交于点，由菱形性质得，再根据平面得，所以平面,所以．（2)结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量,然后求解二面角的余弦值即可。【详解】解：（1）证明:连接交于点．因为为菱形，所以．因为平面，平面，所以．又由于,平面，平面,所以平面，又因为平面，所以．（2）解：因为平面，平面,平面，所以，，所以，即．在菱形中，，得，则，又因为，所以．在中,．取中点，连接．在中，中点，所以．又因为平面，所以平面．在菱形中，．如图，以点为坐标原点，分别以向量,，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．由题意知，，，，，所以，，，．设平面的法向量为，则即所以可取．设平面的法向量为，则即所以可取．所以．所以二面角的余弦值为．【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，利用空间直角坐标系求二面角的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知动圆过定点,且截轴所得弦长为8,设圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；(2）若为曲线上的两个动点，且线段的中点到轴距离,求的最大值，并求此时直线方程．【答案】（1);（2）12；。【解析】【分析】（1）设动圆圆心，由题意可得,由此即可求出结果；（2）设直线方程为，将其与曲线的方程联立，得到韦达定理,可求线段的中点的横坐标，可得，再根据弦长公式将表示为的函数，根据函数特征求出其最大值,并由此即可求出直线方程。【详解】解：(1）设动圆圆心，则,化简整理得,故曲线的轨迹方程为．(2)设直线方程为，由消去得,所以，设，，，，，,，当且仅当,即（满足）时，取得最大值，此时,直线．【点睛】本题主要考查了轨迹的求法，同时考查了直线与抛物线的位置关系，属于中等题。21。已知函数．(1）求的最小值；（2）若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围．【答案】（1）1；(2）.【解析】【分析】（1)先对函数求导得，并令，再求导得，注意到，所以得单调区间，根据单调性即可解决。（2）方法1，先验证不等式成立,再对时，利用分离参数法和洛必达法则求解即可；方法2，直接移项，构造函数，求二阶导,再分类讨论求解即可。【详解】解：（1)，，，∴在上为增函数，又，∴，，单调递减；,,单调递增，．（2)方法1：(分离参数法）当时，成立,当，,设（）设，(),∴单调递增，又,∴,，∴单调递增，∴．,∴．方法2：设，则,,∵,∴,∴单调递增,①当时，，即，单调递增，恒成立，②当时，，，，使，，单调递减，,不合题意.由①②知实数的取值范围是．【点