山东省德州市某中学2023-2023学年高二数学上学期第一次(10月)月考试题

高二数学月考试题第I卷（选择题）2023/10一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共50分）1.命题“”的否定为A． B．C． D．2.是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①⇒n⊥α；②⇒m∥n；③⇒n⊥β；④⇒n∥α．其中正确命题的序号是() A．①④ B．②④ C．①③ D．②③4.如图，正方形O′A′B′C′的面积为4，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（） A． B． 16 C． 12 D． 5.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（） A． 平行 B． 相交 C． 垂直 D． 互为异面直线6.自二面角α﹣l﹣β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α﹣l﹣β的平面角，必须具备条件（） A． AO⊥OB，AO⊂α，BO⊂β B． AO⊥l，BO⊥l C． AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D． AO⊥l，OB⊥l，AO⊂α，BO⊂β7.点B是点A（1，2，3）在坐标平面yOz内的正投影，则|OB|等于（） A． B． C． D． 8.已知平面的法向量为，点不在内，则直线与平面的位置关系为A．B．C．与相交不垂直 D．9.给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（） A．①② B．②③ C．①③ D．③④10.已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x的值为()A.－4 B.1 C.10 D.11第II卷（非选择题）二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分）11.从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如图，则该几何体的体积为．12.在大小为60°的二面角α﹣1﹣β中，已知AB⊂α，CD⊂β，且AB⊥l于B，CD⊥l于D，若AB=CD=1，BD=2，则AC的长为．13.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是--------------------.14.已知直线⊥平面，直线m平面，有下面四个命题：①∥⊥m；②⊥∥m；③∥m⊥；④⊥m∥其中正确命题序号是________．15.已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB，AC．M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基向量表示向量，并设，则______．三、解答题（本题共6道小题，共75分，解答需写出必要的文字说明及推演步骤）16.（本小题满分12分）已知，若是充分而不必要条件，求实数的取值范围.17.（本小题满分12分）已知命题P:函数在定义域上单调递增；命题Q:不等式对任意实数恒成立,若P、Q都是真命题，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．19.（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30°角．（I）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（II）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．20.（本题满分13分）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点．（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使⊥平面？证明你的结论．21.（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，PA＝PD＝4，BC＝eq\f(1,2)AD＝2，CD＝．(Ⅰ)求证：PA⊥CD；(Ⅱ)若M是棱PC的中点，求直线PB与平面BEM所成角的正弦值；(Ⅲ)在棱PC上是否存在点N，使二面角N－EB－C的余弦值为，若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．高二数学试卷答案2023.10.1.C2.B3.C4.B5.C6.D7.B8.D9.C10.D11.12.13.614.①③15.16.由题意p:∴∴：（4分）q：∴：（8分）又∵是充分而不必要条件∴∴（12分）17.∵命题P函数在定义域上单调递增；∴a>1……………3分 又∵命题Q不等式对任意实数恒成立；∴………5分 或，………8分 即……………10分∵P、Q都是真命题，∴的取值范围是1<a…………12分18.解答： 证明：（1）设PD的中点为E，连接AE、NE，由N为PC的中点知ENDC，又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB又M是AB的中点，∴ENAM，∴AMNE是平行四边形∴MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD∴MN∥平面PAD-------------------6分证明：（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD．---------------------12分19. 解：（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．---------------5分（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，∴A1M⊥平面B1AC．∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为------------------12分20.解：法一：（Ⅰ）以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，设是平面BDE的一个法向量，则由，得取，得． ∵，---4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面BDE的一个法向量，又是平面的一个法向量．设二面角的平面角为，由图可知∴．故二面角的余弦值为． ---------8分（Ⅲ）∵∴假设棱上存在点，使⊥平面，设，则，由得∴即在棱上存在点，，使得⊥平面．--------13分法二：（Ⅰ）连接，交于，连接．在中，为中位线，,//平面．（Ⅱ）⊥底面,平面⊥底面，为交线,⊥平面⊥平面，为交线,=，是的中点⊥⊥平面，⊥即为二面角的平面角．设，在中,故二面角的余弦值为（Ⅲ）由（Ⅱ）可知⊥平面，所以⊥，所以在平面内过作⊥，连EF，则⊥平面．在中,，，，．所以在棱上存在点，，使得⊥平面21.（1）面面等腰中，为的中点，面又在面内的射影是，由三垂线定理