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文档简介
第一讲集合一、知识精点讲解1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作;若b不是集合A的元素,记作;(2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素;无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。(4)常用数集及其记法:非负整数集(或自然数集),记作N;正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R。2.集合的包含关系:(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作AB(或);集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA,则称A等于B,记作AB;若AB且A≠B,则称A是B的真子集,记作AB;(2)简单性质:1)AA;2)A;3)若AB,BC,则AC;4)若集合A是n个元素的集合,则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集);3.全集与补集:(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;(2)若S是一个集合,AS,则,称S中子集A的补集;4.交集与并集:(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集。交集。(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集。。注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。第二讲函数概念与表示一、知识精点讲解1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作:yfx,x∈A。其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合fx|x∈A叫做函数的值域。注意:(1)“yfx”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“ygx”;(2)函数符号“yfx”中的fx表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x。2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:①自然型:指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等);②限制型:指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误;③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义。(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。①配方法(将函数转化为二次函数);②判别式法(将函数转化为二次方程);③不等式法(运用不等式的各种性质);④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等)。3.两个函数的相等:函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f。当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。4.区间:区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;5.映射的概念一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:AB”。函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射。注意:(1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。(2)“都有唯一”什么意思?包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。6.常用的函数表示法:(1)解析法:(2)列表法:(3)图象法:7.分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段函数;8.复合函数若yfu,ugx,xa,b,um,n,那么yf[gx]称为复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是gx的值域。第三讲函数的基本性质一、要点精讲1.奇偶性(1)定义:如果对于函数fx定义域内的任意x都有f-x-fx,则称fx为奇函数;如果对于函数fx定义域内的任意x都有f-xfx,则称fx为偶函数。如果函数fx不具有上述性质,则fx不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则fx既是奇函数,又是偶函数。注意:函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;确定f-x与fx的关系;作出相应结论:若f-xfx或f-x-fx0,则fx是偶函数;若f-x-fx或f-x+fx0,则fx是奇函数。(3)简单性质:①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;②设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇奇,奇奇偶,偶+偶偶,偶偶偶,奇偶奇2.单调性(1)定义:一般地,设函数yfx的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有fx1fx2(fx1fx2),那么就说fx在区间D上是增函数(减函数);注意:函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有fx1fx2(2)如果函数yfx在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数yfx在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做yfx的单调区间。(3)设复合函数yf[gx],其中ugx,A是yf[gx]定义域的某个区间,B是映射g:x→ugx的象集:①若ugx在A上是增(或减)函数,yfu在B上也是增(或减)函数,则函数yf[gx]在A上是增函数;②若ugx在A上是增(或减)函数,而yfu在B上是减(或增)函数,则函数yf[gx]在A上是减函数。(4)判断函数单调性的方法步骤:任取x1,x2∈D,且x1x2;作差fx1-fx2;变形(通常是因式分解和配方);定号(即判断差fx1-fx2的正负);下结论(即指出函数fx在给定的区间D上的单调性)。(5)简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反;③在公共定义域内:增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;增函数减函数是增函数;减函数增函数是减函数。3.最值(1)定义:最大值:一般地,设函数yfx的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有fx≤M;②存在x0∈I,使得fx0M。那么,称M是函数yfx的最大值。最小值:一般地,设函数yfx的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有fx≥M;②存在x0∈I,使得fx0M。那么,称M是函数yfx的最大值。注意:函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得fx0M;函数最大(小)应该是所有函数值中
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