最优捕鱼策略KYM

最优捕鱼策略二.人口预测的Leslie矩阵模型问题提出：

利用数学模型描述、预测我国人口的变化规律，并提出相应的控制方案。Malthu模型与Logistic模型的不足：（1）仅有人口总数，不能满足需要；（2）没有考虑到社会成员之间的个体差异，即不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。完全忽略这些差异显然是不合理的。但我们不可能对每个人的情况逐个加以考虑，故仅考虑年龄的差异对人口变动的影响，因此假设：同一年龄的人有相同的死亡机会和生育能力，且男女人口数相等。这样建立的模型不但使我们能够更细致的预测人口总数，而且能够预测老年人口、学龄人口等不同年龄组的人口信息。模型假设模型建立假设bk是k岁人口的年生育率，pk是k岁人口的年存活率，设xk(t)为第t年年龄为k的人口数量，k=0,1,2,….,100(忽略百岁以上的人口)。根据人口发展变化的特点：时间和年龄同步增长得到模型如下：其中pk=1-dk是k岁人口的年存活率，dk为k岁人口的年死亡率。由于妇女的育龄区间一般取为15岁至49岁，因此不bk=0,k>49或k<15。Leslie模型为按年龄分组的分布向量，令令则得Leslie模型的矩阵形式：Leslie矩阵（L矩阵）模型预测而且利用区间[a1,a2]的人口数。例如老年人口少年人口劳动力人口根据Leslie模型预测第s年后的人口分布，得还可预测任意年龄模型的稳态分析

Leslie模型不但能够给出近期的人口变化情况，它也能够给出长时期之后包含年龄构成的人口的稳定分布，为此需要研究Leslie矩阵的特征值性质。L矩阵存在唯一的正的特征根它对应的一个特征向量为定理1定理2是矩阵的任意一个特征根，则必有若若L第一行中至少有两个顺次的定理3则（i）若是矩阵的任意一个特征根，则必有

(ii)即当t充分大时，定理1的证明：令对L作相似变换得由非负矩阵的谱性质，L矩阵有最大的特征值是单重的且为正数。设为则下面只需求出一个相应的特征向量。其中考虑矩阵L的特征多项式则矩阵L的非零特征值所满足的特征方程可写为由于是L的最大正特征值，所以定理3(ii)的证明：设L的特征值和特征向量分别为如果所有的特征值是单根，将x(0)表示为利用矩阵特征值的性质可知由定理3(i)可知故稳态分析——t充分大种群按年龄组的分布~种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布,与初始分布无关。~各年龄组种群数量按同一倍数增减，0——称固有增长率——人口控制的依据与基本模型比较3）0=1时~各年龄组种群数量不变

人均净生育率为1~1个个体在整个存活期内的繁殖数量为1稳态分析存活率pi~同一时段的xi+1与xi之比（与pi的定义比较）3）0=1时南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。过去20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。统计表明，每年约处理600-800头大象。近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。公园有一些关于大象的资料，供建模参考：

1几乎不再迁入或迁出大象；

2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；

3初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35%4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；

5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每3.5年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；

6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；Leslie模型的应用：公园大象管理

7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；

8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：

1建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；

2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,(你可能被要求观察30-60年)；

3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平衡两种方案；

4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题；

5公园公管理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议，提高公园管理部门的信心,除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程(最多3页)回答公共关心的问题。

6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣,有意利用你的模型,请为公园大象数在300-25000头规模的公园提供一份避孕计划,顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况.

附过去两年的迁出数据年龄0123456789总量1103777170686158515251母象150364129313028242229总量298746961605452595857母象257343329342827312525年龄10111213141516171819总量151505148474948474342母象127272627262528271925总量260636460635952554950母象226363830333424302130

年龄20212223242526272829总量142373941424345484947母象118161924172521262927总量253576553565053494340母象229274023292421262416

年龄30313233343536373839总量146424444464947484641母象124222022242423252124总量238353733203330292926母象217161818151812171613

年龄40414243444546474849总量141424338343433303526母象124192620201516132011总量210242522212211212119母象261114101012811129年龄50515253545556575859总量12118145976044母象110984443032总量2155109765470母象26454423240

年龄6061626364656667686970总量143221302102母象121110300102总量223020201000母象221000101000

为保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业等资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼的最优捕捞策略。假设这种鱼分4个年龄组：称一龄鱼、二龄鱼、三龄鱼、四龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（/年）；这种鱼季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为为1.109×105（个），3龄鱼产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为（1龄鱼条数与产卵总量n之比）1.22×1011/(1.22×1011+n).

三.最优捕鱼策略

渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期的前8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高年收获量（捕捞总重量）。（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。

已知承包时各年龄组鱼群数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条）。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才能使总收获量最高。（1）假设只考虑一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入与迁出。（2）假设各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡，产卵可在后四个月内任何时间发生；r为自然死亡率(单位时间内死亡的鱼的数量与鱼的总量之比).（3）假设3、4龄鱼全部具有生殖能力，或者虽然雄鱼不产卵，但平均产卵量掩盖了这一差异。（4）假设各年龄组的鱼经过一年后，即进入高一级的年龄组，但4龄鱼经过一年后仍视为4龄鱼。（5）假设对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式，每年的捕捞强度系数保持不变，且捕捞只在前八个月进行。模型假设及符号说明

（6）假设t时刻i龄鱼的数量为Ni(t),i=12,3,4.

（7）假设第k年初i龄鱼的数量为Ni0(k)；第k年底i龄鱼的数量为Ni1(k)(i=1，2，3，4).

（8）假设鱼的自然死亡率为r；4龄鱼、3龄鱼的平均产卵量分别为c和c/2。

（8）假设第k年度鱼产卵总量为Qk，p表示鱼卵的成活率.

（10）假设第i龄鱼的平均重量为Mi（i=1，2，3，4）.

（11）假设对第i龄鱼的捕捞强度系数为Ei

；对i龄鱼的年捕捞量为ai（i=3，4）.

（12）假设年总收获量为W，即W=M3a3+M4a4.

（13）假设5年的总收获量为WW，即模型建立第一步----给出第k年底i龄鱼的数量Ni1(k)与第k年初i龄鱼的数量Ni0(k)之间的递推关系；给出第k年度的捕鱼量

该步可通过考虑一年内各龄鱼数量的演化获得第二步----给出第k+1年初i龄鱼的数量Ni0(k+1)与第k年初i龄鱼的数量Ni0(k+1)的递推关系由已知条件，可得（E为捕捞努力量）年龄增长已知r为自然死亡率，其定义为单位时间内死亡的鱼的数量与鱼的总量之比。由于不捕捞1、2龄鱼，所以在[t，t+Δt]内，根据死亡率的定义，变形得解得从而(1)第一步（时间以年为单位，考虑一年内各龄鱼数量的演化）对于3、4龄鱼由于捕捞在前8个月进行，因此在前8个月内，捕捞与死亡均影响鱼的变化，因而微分方程变形为(2)由(2)式解得从而对于3、4龄鱼由于后四个月无捕捞，只有自然死亡，所以在后四个月其数量演化的方程为(3)解得从而由于仅在前八个月捕捞,且仅捕捞3龄鱼和4领鱼，而且捕捞强度系数表示的是单位时间内捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比的比例系数，所以对i龄鱼的年捕捞量为从而一年捕鱼总收获量为由于每年各龄鱼的演化规律相同，且捕捞模式相同，综上可得：第k年底i龄鱼的数量Ni1(k)对第k年初i龄鱼的数量Ni0(k)的递推关系第k年年度捕鱼收获量(4)(5)由各龄鱼之间的年龄增长关系,并利用关系式(4)得第二步从而第k+1年初i龄鱼的数量Ni0(k+1)与第k年初i龄鱼的数量Ni0(k+1)

的递推关系为(6)(5)式是每年捕鱼的总收获量，式

(6)刻划了鱼群各年龄组每年的变化情况，它们一起构成了基本模型。模型求解（1）为了实现可持续的最大捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），即要求的前提下获得最高年收获量。结合基本模型，即可得到年度产量最优模型：(7)其中约束条件第二个等号说明各组鱼群条数及产卵量均与k无关。优化模型（7）中的约束条件与k无关，故可把k丢掉，并利用E3=0.42E4，把目标函数和约束条件同时化简得(7’)注意到四个约束条件中含五个变量,因此从约束方程组可用符号计算软件解出Ni0(i=1，2，3，4),它们都是E4的函数,从而目标函数就是E4的一元函数.问题最终归结为一元函数的极值问题.该题目也可完全通过数值迭代求解！即：E4从0开始，逐渐增加，逐个计算W，挑出使W最大的E4。

%最优捕鱼策略ch431

%文件名：ch431.m

x=sym('x');

E3=0.42*x;

d=1.22*10^11;

r=0.8;

q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*x)/(1-exp(-(r+2/3*x))));

N10=d*q/(d+q);

N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x)));

a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r);

a4=x/(r+x)*(1-exp(-2/3*(r+x)))*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x)));下面给出MATLAB计算程序：M3=17.86;M4=22.99;M=M3*a3+M4*a4;M1=-M;

M10=char(M);

M11=char(M1);

fplot(M10,[0,100])

E4=fmin(M11,0,100);

E3=0.42*E4;

d=1.22*10^11;

r=0.8;

q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(-2/3*E4)/(1-exp(-(r+2/3*E4))));

N10=d*q/(d+q);

N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4)));a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r);

a4=E4/(r+E4)*(1-exp(-2/3*(r+E4)))*d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4)));

M3=17.86;M4=22.99;

E3

E4

M=M3*a3+M4*a4;

Max=M

N1=N10%各年龄组鱼的数量

N2=N1*exp(-r)

N3=N2*exp(-r)

N4=N40

执行后输出

E3=7.335

E4=17.4664

Max=3.8886e+011

各年龄组数为

N1=1.1958e+011

N2=5.3730e+010

N3=2.4142e+010

N4=8.1544e+007

图4-5年度总捕获量随捕捞强度E4的变化曲线E4W(g)(2)针对渔业公司的5年固定努力量的捕捞计划，我们在已知各年龄组鱼初始条数的前提下，利用迭代方程(6)可逐次求得以后各年龄组鱼的初始条数，以及各年的年度捕捞收获量，这些量都是E4的函数。模型求解数值解得

WWmax=1.6057×1012gE4=17.58E