有限元(ansys)课件第二讲有限元法

有限元方法

主讲人：苏春建机电学院机械专业大纲要求第二讲

有限元法基本原理1、学习目的和要求通过本章学习，掌握有限元方法的基本理论；了解有限元方法的发展历程和使用范围；理解有限元求解的实施步骤，熟悉常用的有限元软件。2、课程内容（1）有限元方法的基本概念、数学原理、基本思想；（2）有限元的解题步骤；（3）有限元法实施的主要技术；（4）典型的有限元分析软件。3、考核知识点和考核要求（1）识记：有限元方法的基本原理；（2）领会：有限元方法在工程应用的实施；（3）了解：主要的有限元软件及其特点。09/03/2012本节内容1、有限元法的基本概念2、桁架实例各种求解比较3、有限元法计算流程4、一个简单结构的有限元分析求解的完整过程5、有限元分析的基本步骤及表达式6、有限元求解的收敛性7、有限元软件应用流程09/03/20121.有限元法的基本概念定义有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。是利用简单而又相互作用的元素，即单元来描述整个真实系统，从而就可以用有限数量未知量的数学模型去逼近无限未知量的真实系统。物理系统举例

几何体

载荷

物理系统结构热电磁真实物理系统是由对具有一定几何形体的研究对象施加一定的载荷构成的。要对真实物理系统的场变量进行数值分析，必须首先建立有限元模型。09/03/2012定义有限元模型有限元模型

是真实系统理想化的数学抽象。真实系统有限元模型由节点、单元和载荷组成尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。09/03/2012节点和单元节点:

空间中的坐标位置，具有一定自由度和

存在相互物理作用。单元:

一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、面或实体以及二维或三维的单元等种类。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。载荷载荷每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。信息是通过单元之间的公共节点传递的。节点自由度是随连接该节点的单元类型变化的。09/03/2012分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递（需进行节点合并处理）具有公共节点的单元之间存在信息传递

...AB........AB...1node2nodes信息是通过单元之间的公共节点传递的。09/03/2012节点自由度是随连接该节点

单元类型变化的。JIIJJKLILKIPOMNKJIL三维杆单元(铰接)UX,UY,UZ三维梁单元二维或轴对称实体单元UX,UY三维四边形壳单元UX,UY,UZ,三维实体热单元TEMPJPOMNKJIL三维实体结构单元ROTX,ROTY,ROTZROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,UX,UY,UZ三个自由度六个自由度一个自由度09/03/2012FEA仅仅求解节点处的DOF值。单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。真实的二次曲线.节点单元二次曲线的线性近

(不理想结果).2节点单元

DOF值二次分布..1节点单元线性近似(更理想的结果)真实的二次曲线.....3节点单元二次近似

(接近于真实的二次近似拟合)

(最理想结果)..4单元形函数2.桁架实例各种求解比较3.1一维桁架3.1.1一维桁架传统法求解理论3.1.2一维桁架传统法求解方法3.1.3基于ANSYS的有限元分析过程3.2二维桁架

3.2.2二维桁架工程实例传统解法3.2.4基于MATLAB的求解方法3.2.4基于ANSYS的求解方法09/03/2012输入离散模型数据按选择的单元计算单元刚度矩阵按总体存储模式集成总刚计算单元等效节点载荷集成结构节点载荷列阵引入位移边界条件按选定解法解线形方程组其他辅助计算结果输出结束按单元循环形成系列矩阵K形成等效结点载荷列阵P消除K奇异性求解Kq=P得到q根据q计算σ和ε等静力平衡问题有限元求解方程离散模型数据文件包括：离散模型的结点数及结点坐标；单元数及单元结点编码；载荷信息等。3.有限元软件计算流程09/03/20124.一个简单结构的有限元分析求解的完整过程一个阶梯形状的二杆结构如图所示。其材料的弹性模量和结构尺寸如下。

该结构由两根杆件组成，作为一种直觉，需要研究相应的“特征结构”，即杆单元，将该“特征结构”

抽象为具有两个节点的单元，如下图所示。

下面考察该简单问题的FEA求解过程。离散化两个杆单元，即：单元①和单元②09/03/2012(2)单元的特征及表达对于二节点的杆单元(上图)，设该单元的位移场为ue(x)，那么它的两个节点条件为：(2-1)(2-2)设该单元的位移场具有模式(考虑两个待定系数)(2-3)利用节点条件(2-1)和(2-2)，可确定出(2-3)中的a0和a1，即(2-4)将(2-4)代入(2-3中)。可将ue(x)表达成节点位移(u1,u2)的关系，即其中(2-5)(2-6)(2-7)形函数或插值函数形函数矩阵09/03/2012根据弹塑性力学中一维问题几何方程和物理方程，可计算单元的应变和应力为：其中：(2-8)(2-9)(2-10)(2-11)单元的势能：(2-12)其中：(2-13)(2-14)叫做单元刚度矩阵叫做单元节点外载应变矩阵应力矩阵09/03/2012在得到“特征单元”的矩阵表达式(2-13)-(2-14)后，就可以计算该单元的势能，因此计算各单元的矩阵K和P是一个关键，下面就上面的实际问题给出各单元的K和P：具体就此图中的单元单元①，有单元①的节点位移向量单元①的刚度矩阵(2-16)(2-17)(2-15)单元①的节点外载P1为节点1的支反力单元②

，有单元②的节点位移向量单元②的刚度矩阵单元②的节点外载(2-18)(2-19)(2-20)09/03/2012(3)装配集成以得到系统的总体势能计算整体的势能(2-21)(4)处理位移边界条件并求解由上图可知，其边界条件为左端固定，即u1=0,将该条件代入(2-21),有：(2-22)这时由全部节点位移[0u2u3]分段插值出的位移场为全场许可位移场，由最小势能原理(即针对未知位移u2和u3求一阶导数)，有：(2-23)09/03/2012(5)计算每个单元的应变和应力在求得了所有的节点位移后，由几何方程(2-8)(2-8)可求得各单元的应变：(2-24)(2-25)由几何方程(2-9)可求得各单元的应力：(2-9)(2-26)(2-27)09/03/2012(6)求节点1的支反力就单元①的势能，对相应的节点位移求极值，可以建立该单元的平衡方程：有：则节点1的外力为：(7)讨论如果我们在处理位移边界条件之前，先对总势能取极值，由(2-21),有：在方程(2-30)的基础上再处理位移边界条件(BC)，即令u1=0,则可从(2-30)中求解出u2、u3和P1，其求解的值与前面的结果完全相同。这就给我们提供了一个方便，即可以先进行各单元的装配集成，以形成该系统的整体极值方程，类似于(2-30)，最后才处理位移边界条件，同时也可以通过该整体方程直接求出支反力。这样可以适应更多的边界工况条件，更具有通用性。(2-28)(2-29)(2-30)09/03/20125.有限元分析的基本步骤及表达式从上面的简单实例中，可以总结出有限元分析的基本思路(以杆单元为例)：逼近误差控制09/03/2012基本步骤及表达式(1)物体几何的离散化(2)单元的研究(所有力学信息都用节点位移来表达)●单元的节点描述qe=[u1u2…un]●单元的位移场模式(唯一确定性原则，完备性原则)（ξ为几何坐标位置）●所有物理量的表达(所有力学量都用节点位移来表达)其中●单元的平衡关系(2-38)(2-31)(2-32)(2-33)(2-34)(2-35)(2-36)(2-37)09/03/2012(3)装配集成其中：●整体平衡关系(4)处理BC并求解节点位移目的是获得满足位移边界条件的许可位移场。其中：qu为未知节点位移，qk为已知节点位移，pu为未知节点力(即支反力)，pk为已知节点力将(2-40)可以写成以下两个方程表达式：可以先由(2-41)直接求出未知节点位移：(2-39)(2-40)(2-41)(2-42)(2-43)09/03/2012(5)求支反力在求出未知节点位移qu后，由上面的(2-42)可求出支反力。(6)其他力学量的计算由(2-34)和(2-35)可计算单元和整体的应变及应力，即(2-44)(2-45)(2-46)09/03/20126.有限元解的收敛性在有限单元法中，场函数的总体泛函是由单元泛函集成的。如果采用完全多项式作为单元的插值函数(即试探函数)，则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致。但在实际上，有限元的试探函数只能取有限项多项式，因此有限元解只能是真正解的一个近似解答，我们需要研究在什么条件下，当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。

上面说的真正解我们称为真实解，真正解的那个近似解答称为有限元解，有限元解趋近于真实解的过程为计算过程，最后的结果如果能趋近于真实解，我们称之为收敛，否则为不收敛。真实解有限元解收敛过程09/03/2012收敛准则：准则1完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是M阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是M次完全多项式。单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。准则2协调性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是M阶，则试探函数在单元交界面必须具有Cm-1连续性，即在相邻单元的交界面上应有函数直至m-1阶的连续导数。当单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是协调的。09/03/2012创建参数化的CAD几何模型输出几何模型创建网格结果导入前处理器求解

清洁几何模型指定边界条件7.有限元软件应用流程FEA求解器ANSYSNASTRANABAQUSLS-DYNACFXFluent...........Workbench分析数据管理设计数据管理Pro/EUnigraphicsCatiaSolidWKSolidEGMDTInventor…….CAD软件参数零件/装配/参数CAE结果CAE模型WEB数据管理09/03/2012作业：认真总结并熟练掌握有限元分析的基本步骤及表达式，并以三节点单元为例分析有限元计算过程。听着有点晕！09/03/2012基于DYNAFORM的汽车覆盖件冲压仿真研究汽车车身外形是由许多轮廓尺寸较大且具有空间曲面形状的覆盖件焊接而成,汽车覆盖件冲压成形质量的好坏直接关系到各部件的装配,从而影响到整车的质量。可以说,汽车车身冲压成形一定程度上代表了整车的制造水平。随着计算机技术及有限元技术的发展,应用数值仿真方法对板料成形过程进行计算机模拟,以替代实际试模,为覆盖件工艺设计、模具设计提供可靠的判据和合理的工艺参数,已成为当前覆盖件工艺设计、模具设计中的一种重要手段。

板料冲压计算机仿真的核心是应用数值方法来分析和研究金属板料塑性成形问题。作为数值分析方法中应用最广并且最具有生命力一种方法,有限元法成为目前板料成形数值分析最有效的方法。随着数值分析技术、塑性成形理论和计算机能力发展,以及对冲压过程越来越深刻的认识和理解,从上世纪七十年代后期开始,经过二十多年的发展,板料成形数值模拟逐步完善。

板料成形的模拟从数值计算上分析是一个高度非线形的问题,涉及到材料、几何和接触非线形。在实际数值计算中一般采用更新拉哥朗日法和数率型的本构关系去处理成形过程中的大应变、大转动问题。采用逐级更新Lagrange法是弹塑性有限元基础.1.引言09/03/2012

对覆盖件的冲压成形进行计算机仿真,主要包括两部分:第一,建立覆盖件的CAD模型,有两种方式,一种是运用Dyanform的前处理功能直接建立,另一种是运用3D软件(如Pro/E、UG、CATIA等)建立覆盖件的曲面模型,再以一定的数据格式(如igs,UG的*.prt

文件等)将零件模型导入Dynaform;第二,在建好的CAD模型的基础上建立有限元模型,进行有限元的前处理、有限元分析和仿真结果分析。进行板料成形过程有限元仿真的过程如图所示。2.冲压成形仿真流程09/03/20121)在三维建模软件(如PRO/E,UG,CATIA等)中建立零件的曲面模型,然后将零件模型导入冲压仿真软件Dyanform

中。2)根据所使用的冲压设备设置拉延类型,并定义接触方式和接触间隙。3)在冲压过程的力学模型基础上划分有限元网格,构建有限元模型。如果零件曲面模型中不包括工艺补充面部分,还可以应用Dynaform

提供的模面设计功能,生成零件的工艺补充面。由于Dynaform

的网格自动划分功能并不能保证完全符合LSDYNA求解器的要求,在网格划分完成后,要求检查网格的质量并修补不合格的单元。4)根据选择的拉延类型,定义成形工具(如凹模,凸模,压边圈等),建立分析模型。5)根据零件的材料选择合适的材料模型及单元公式,然后进行毛坯尺寸计算。利用DYNAFORM的一步成形法估算坯料尺寸和形状,得到坯料的边界轮廓,并利用该边界轮廓生成毛坯的网格单元模型。6)定义拉深筋,设置拉延筋可以改善金属的流动情况,克服起皱和波纹等现象,提高冲压件质量。在成形数值模拟中,拉延筋有两种实现方法:一种是建立真实的拉延筋几何模型,这种计算方法计算精度高,但计算时间长,另一种是建立等效拉延筋模型,即用等效的约束边界条件来代替实际拉延筋的影响,这种方法计算效率高,调整方便,应用较为广泛。在DYNAFORM中,采用等效拉延筋模型方法。7)设置成形参数,如载荷,模具的运动控制,边界条件以及时间步长的设置等。09/03/20128)提交求解器,分析计算9)后置处理。进入DYNAFORM的后处理窗口,读取仿真结果文件d3plot,以动画形式显示凸凹模、板料和压边圈的运动情况,并检查其合理性。并就应力应变和厚度的云图和等值线图,观察应力应变的分布情况和厚度变化情况,通过成形极限图(FLD)查看板料的起皱、破裂等成形情况,通过坯料与工具的距离观察坯料与工具的接触情况,以及通过板料的流动图查看材料的流动情况。最后评估仿真结果,根据仿真结果修改模型直到计算结果符合要求。09/03/20123基于DYNAFORM的数值模拟技术实例例一：一个覆盖件如图：（1）分析该零件工艺性。如右图所示，零件曲面形状复杂，一小部分曲率变化较急，但零件大部分表面平坦，拉深深度较小。故此零件的拉深工艺性较好。（2）划分网格。网格的划分应该正确反映结构的受力和变形情况，粗细稠密选择要适当，网格划分完后，需要对网格进行检查，并对有缺陷的网格进行修补。如图为凹模和板料的网格模型。（3）冲压方向的选择。冲压方向的选择一般根据用户的经验决定，也可以参考TIPPING命令中的最小拉伸深度和最小过切来调节冲压方向，或者运用Auto-Tipping命令自动调整方向。09/03/2012（4）工艺参数的选择。冲压方向的选择可按照DYNAFORM中Auto-Tipping命令自动调整方向。先不布置拉延筋，可等第一次分析后，根据模拟结果，决定是否需要加拉延筋，拉延筋的位置和尺寸参数。（5）分析模型的建立。将各单元集分别定义为凹凸模、板料和压边圈。设置好模具、板料和压边圈之间的相对位置，并定义它们之间的接触类型、参数和运动曲线，设置必要的工艺参数。板料厚度为1.5mm。材料选用材料库中的materialtype36，材质为08F钢，其弹性模量E=2.0