空间角的求法精品教案

oo空间角，能比较集中反映空间想能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间是异面直线所成的角、直线与平面所的角及二面角总称。空间角的计算思想主要是转化即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一、证、计。一、异直线所成角求法异面直线所成的角的范围：（）移

090【例】知四边形

ABCD

为直角梯形，

，

ABC

o

，

PA

平面

AC

，且

BC

，PA

，求异面直线PC与BD所角的余弦值的大小。【解】过点

作

//

交

AD

的延长线于

E

，连结

PE

，则

与

BD

所成的角为

或它的补角。QCEBD

，且

10

由余弦定理得

PC

2

2PE26PC与所成角的余弦值为

D

C（）形【变式练习】已知正三棱柱

A111

的底面边长为8，棱长为6，

D

为

AC

中点。求异面直线

AB

1与

BC1

所成角的余弦值。

A

1

C

1【答案】

125

B

1A

D

CB/8，，二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：

0

o方：影化（键作线找影【例如图在棱锥P中

oo

，

CA点P在平面内的射影O在上求线PC与平面所的角的大小。

P【解】连接

OC

，由已知，

OCP

为直线

与平面

所成角

C设

AB

的中点为

D

，连接

PDCD

。ABCA，以CD

ABQ90

o

,PAB

o

，所以为等边三角形。不妨设，ODOP

4CD3,OD

2

2

在Rt中

OP【变式练习】如图，四棱锥

中，

CD

，

CD

，侧面

为等边三角形。ABBC2

，

，求

AB

与平面

SBC

所成的角的大小。【解】由

AB

平面

SDE

知，平面

平面

SDE作

SF

，垂足为

，则

SF

平面

，

SF

DE作

BC

，垂足为

G

，则

连结

SG

，则

SGBC

，又

FG

，

SGFG故

平面

，平面

SBC

平面

作

SG

，

H

为垂足，则

FH

平面

SBCFH

SFFG21，F到平面SBC的离为SG7由于

EDBC

，所以

//

平面

SBC

，故

E

到平面

SBC

的距离

也为

217设AB与面所的角为，

d21，则EB/8180ooo180ooo【变式练习】如图，在四棱锥

PABCD

中，底面

ABCD

是矩形，

AD

，

BC

，

PC

，CD

，求直线

PB

与平面

所成角的正弦值。【解】过点

P

作

于点

E

，连接

BEQPDDC，平面平面ABCDPE

面

，则

PBE

是直线

PB

与平面

所成角PDPC120

PEDE在

RtBCE

中，

22PBBE2213在

Rt

中，

PBE

PEPB13三、二角的求法二面角的范围：

0

oo求二面角的大小，关在找或出二角平角从找平面角的角度出发，有以下几种方法：（）义：在棱上选一恰当的“点般选一个特殊的点，如：垂足、中点等这一“点”在两个半面内作棱的垂线，两垂线所成的角为二面角的平面角般在找出角后，利用三角形求解）【例】在三棱锥

PABC

中，

APBBPCAPC

o

，求二面角

APB

的余弦值。【解】在

PB

上取

PQ

，作

MQ

交

PA

于

M

，

作

PB

交

PC

于

Q

McosMQN

13

【变式练习如图点

在锐二面角MN

的棱

上在

内引射线

AP

使

AP

与

所成角

PAM45，与面所角的大小为

，求二面角

MN

的大小。【解】在射线上一点B，于，HQ于

B，则45

M

N

H/8，o1，o1（）用垂三线理在平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那它也和这条斜线垂直。逆理如果平面内一条直和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线平面内的射影。从半平面

内的任一点

A

出发向另一个半平面

引一条直线

AH

，过

H

作棱

l

的垂线

HG

，垂足为G

，连

AG

，则由三垂线定理可证

lAG

,故

就是二面角

的平面角。三垂线定理是求解二面角问题的常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平内的某一个点出发，且垂直于另个半平面。【例如在三棱锥

中，APB

oo

，

CA

点

P

在平面

内的射影

O

在

AB

上，求二面角

AP

的大小。

P【解】过AB中D作DE于E，接，由已知可得，面PAB

C据三垂线定理可知，

AB则

为

AP

的平面角易知，若AB，则

3，CD在

RtCDE

中，

CED

CD3DE3【变式练习】在直三棱柱

ABCB111

中，

BAC90

o

，

AB1

，直线

B1

与平面

成

30角，求二面角

BBC1

的正弦值。【解】由直三棱柱性质得平面

ABC

平面

BCC1

，过

A

作

AN

平面

BCC1

，

1

垂足为

，则

AN

平面

BCC1

（

AN

即为我们要找的垂线）

1Q在平面

1

内过

作

棱

B1

，垂足为

，连

QA

C则

即为二面角的平面角。

QAB在平面ABC内射影为AB，CAAB1CA1

，又

AB1

，得

2/8o11oo11oQ

直线1

与平面

成

30

角CB1

，又

BC2，1

中，由勾股定理得

2AQ

，在

BAC

中，

AC2

，得

AN

sinAQNAQ即二面角

BBA1

的正弦值为

63从不直接找出平面角的角度出发主要有两种方法：面积法（面积射影法量法。（）积（积影）凡二面角的图形中含有可求原图面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用影面积公式（

cos

射

）求出二面角的大小。

求证：

cos

射

D【例】如图，E为方体AC的CC的中点，求平面ABE和面BD111

所成锐角的余弦值。

D

【答案】所求二面角的余弦值为

D

1

1【变式练习】如图，

S

是正方形

所在平面外一点，且

SD

面

，

AB，SB

3

。求面ASD与BSC所二面角的大小。

S【答案】

45D

C

/8四、真题演练东已三棱柱

1

9的侧棱与底面垂直体积为底面是边长为4

的正三角形

P为底面

C111

的中心，则

PA

与平面

所成角的大小为（）A.

5.D1234知四柱

ABCDBCDCD与面BDC所角的正弦值等）111A.

.

2.3

D.

13山）如所示，在三棱锥PABQ中面ABQBABQ,,E,F

分别是AQ,

，

AP,BP

的中点，

AQ2BD

，

PD

与

EQ

交于点

G

，

PC

与

FQ

交于点

H

，连接

GH

。（1证明：

AB

∥

GH

；（2求二面角

GH

的余弦值。陕西）如，四棱柱

ABCD111

的底面

是正方形，

O

为底面中心，

1

平面

AA

。（1证明：

面BBDD11

；

（2求平面

1

与平面

DD1

的夹角

的大小。

A

BA

B/8oo湖南理）如图在直棱柱

ABCD111

中，AD

∥

，

BAD

，

，

,

1（1证明：

1

）求直线

C1

与平面

1

所成角的正弦值。川理如在三棱柱

中棱底面11

，AC1

，BAC，,1

分别是线段

BC,BC1

的中点，

P

是线段

AD

的中点．（1面ABC内出点与平面ABC平的直线l明理由明线l面ADD11

；（2设1）中的直线l交于M，交于点，二面角AN1CA

的余弦值．DP

BC

1

A

1

D1

B

1．图，在四棱锥

SABCD

中，

BC

且

CD

；平面

CSD

平面

，

CS

，CS2；E为BS的点，CE2,AS

．求：（1点到平面BCS的离）二面角

EA

的大小。【解）AD//BC且平BCS

平面则

A

点到平面

BCS

的距离等于点到平面

BCS

的距离

Q平面CSD

面，

故

平面

，从而

SD

E由AD//BC，DS

D又由

CSDS

知

DS

平面

BCS从而

DS

为点

A

到平面

BCS

的距离

/8ADS中AS

AD

3（2如图，过

E

作

EGCD

，交

于点

G

，又过

G

点作

GH

交

AB

于

H故

为二面角

的平面角

E

作

EF//