第11章动量定理

第十一章动量定理1质心的位置坐标：1、质点系的质心内力与外力（1）质点系的质心质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。xzyCiCxCyCzCxiyizi与重心坐标相似。Omi§11-1动量与冲量2质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更广泛的力学意义。在重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学确定重心的各种方法来确定质心的位置。位置求法概念明确（1）质点系的质心3（2）质点系的外力与内力所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。外力：内力：对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：m1m24动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例：枪弹：速度大，质量小；2、动量（1）质点的动量：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量。瞬时矢量（状态量）方向与速度相同单位是kgm/s。船：速度小，质量大。5设第i个质点 ，则质点系的动量等于质点系中所有质点的动量的矢量和。质点系的动量等于质点系的质量与其质心速度的乘积。(2)质点系的动量：动量系的主矢刚体是特殊的质点系，对于单个刚体：6刚体是特殊的质点系，对于单个刚体：OCCCr

各个刚体质量为m，求其动量。71Cvr例题：曲柄连杆机构：OA以

转动＝常量，OA=AB=l,曲柄OA及连杆AB都是匀质杆,质量各为m,滑块B的质量也为m。求当=45º时系统的动量。ABP解：OAB45曲柄OA：滑块B：连杆AB：质量m质量m质量m2Cvr=45º─xyC1C28例如，推动车子时，较大的力用较短的时间，与较小的力用较长的时间，可得到同样的速度。（1）常力：3．冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量。冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。（包括大小和方向的变化）元冲量：冲量：（2）变力：过程量等于各分力冲量的矢量和。冲量的单位：同动量（3）合力的冲量：9§11－2动量定理1、质点的动量定理质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力。（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）微分形式：（动量的微分等于力的元冲量）积分形式：注意：当v1＝0时，不可以说动量等于冲量。101、质点的动量定理微分形式：积分形式：投影形式：若，则常矢量，质点作惯性运动。具体计算用投影形式：若，则常量，质点沿x轴的运动是惯性运动。质点的动量守恒112．质点系的动量定理

质点系的动量定理对整个质点系：对质点系内任一质点i，质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。质点系动量的增量（微分）等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。12质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。­积分形式¬微分形式

设t0＝0时，质点系的动量为；在t时刻动量为，则2．质点系的动量定理

13­积分形式¬微分形式2．质点系的动量定理

具体计算用投影形式：只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。14O2eO1xym1gm2gv例11-1电动机外壳固定在水平基础上，定子和外壳的质量为m1，转子质量为m2，定子和机壳质心O1，转子质心O2，O1O2＝e角速度为常量。求基础的水平及铅直约束力。15解:研究对象：受力分析：运动分析：建立坐标系如图定子质心O1速度为零。转子作圆周运动例11-1已知：m1，m2，O1O2＝e，＝常量。求基础的水平及铅直约束力。O2eO1电机外壳、定子和转子）如图vFyM0m1gm2gFxxy利用动量定理：系统的动量：解得：约束力偶用以后所学的知识求！转子质心O2的速度16O2eO1xym1gm2gv分析结果：称为静约束力电机转动时的约束力称动约束力。电机不转时Fx＝0Fy＝(m1+m2)g方向:动约束力-静约束力=附加动约束力附加动约束力：方向:将会引起电机和基础的振动。173．质点系动量守恒定律如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等于零。内力虽不能改变质点系的动量，但是可改变质点系中各质点的动量。18质点系动量守恒的实例：在静止水面上有一只不动的小船，人与船一起组成一个质点系。水的阻力很小略去不计。当人从船头向船尾走去的同时，船身一定向相反方向移动。在水平方向只有人与船相互作用的内力，没有外力，因此质点系的动量在水平方向保持不变；当人获得向后的动量时，船必须获得向前的动量，以保持总动量恒等于零。19当火药在枪膛内爆炸时，作用于子弹的压力是内力，它使子弹获得向前的动量，同时气体压力使枪体获得向后的动量(反座现象)。质点系动量守恒的实例：子弹与枪体组成质点系。在射击前，动量等于零。当枪在水平方向没有外力时，这个方向总动量恒保持为零。喷气式飞机和火箭在不考虑空气阻力水平飞行时，都按照动量守恒的规律运动。20例11—3物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA，小球B的质量为mB，以细杆与物块铰接，如图。设杆长为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角0，释放后，细杆近似以规律摆动（为已知常数)，求物块A的最大速度。A21系统水平方向不受外力，沿水平方向动量守恒。解：研究对象：物块和小球。受力分析：例11—3物块A质量为mA，小球B质量为mB。设杆长为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角0，释放后，（为已知常数)，求物块A的最大速度。A运动分析：物块平动。相对运动：圆周运动小球合成运动。绝对运动：平面曲线在水平方向投影小球绝对速度与图相反，说明小球向相反方向运动。计算代符号牵连运动：平动022解：例11—3物块A质量为mA，小球B的质量为mB。设杆长为l，质量不计，初始时系统静止，初始摆角0，释放后，细杆以规律摆动（为已知常数)，求物块A的最大速度。＝0。当t＝90º时，研究对象：物块和小球。受力分析：运动分析：根据动量守恒定律px＝恒量A此时小球速度向左向右A系统沿水平方向动量守恒。而px＝0A＝0，vmax值负，向右。t＝270º，vr为正，向左。23质心的位置坐标：1、质点系的质心xzyCiCxCyCzCxiyiziOmi§12-3质心运动定理在重力场，质心与重心重合。离开重力场，重心没有意义，而质心坐标永远不变。质心在动力学有着重要意义。24质心运动方程为——任意时刻质心坐标COBA例11-4已知:为常量,均质杆OA

=AB

=，两杆质量皆为，滑块B

质量。求:质心运动方程,轨迹,系统动量。xy设t=0，OA水平，则＝t。消去t得轨迹方程解:质心一般不在某个物体上，而是空间的某一特定点。25沿x，y轴的投影:系统动量的大小为:系统动量的方向与质心速度的方向一致，沿轨迹切线。OBA例11-4已知:为常量,均质杆OA

=AB

=，两杆质量皆为，滑块B

质量。求:质心运动方程,轨迹,系统动量。xyC解:求系统动量262、质心运动定理将代入到质点系动量定理，得若质点系质量不变或质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。投影形式：质心运动定理（质心运动微分方程）27由于刚体或刚体系统的质心易于确定，常用质心运动定理来解决刚体（系统）的动力学问题。1）已知外力求质心运动2）已知运动求力（尤其是约束反力）28说明：与质点运动微分方程形式相似，但应用更广泛。在探讨一些理论问题和结决实际问题时简单明了。质心运动定理是动量定理的另一种表现形式。放在水平面的静止圆盘，受力偶作用如何运动？圆盘质心不动，绕质心转动，与力偶的作用位置无关。29只有外力才能改变质点系质心的运动,内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。扩大了质点的应用范围。对于任意一个质点系，无论它作什么形式的运动，质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，所有外力也集中作用在质心这个点上。说明：从动轮主动轮m30解:研究对象：受力分析：运动分析：建立坐标系如图整个机构只画水平方向受力利用质心运动定理：Fx质心x坐标xy最大水平约束力解得DCBbA

F例11-5已知：AB＝r，质量m1，ω＝常量，滑槽连杆活塞总质量为m2,质心在点C

，恒力F。求A处最大水平约束力Fx。31利用动量定理：系统的动量：DCBbA

FxyFx设t=0时AB水平，讨论B点速度：AB质心速度：另解:研究对象—受力分析—运动分析—坐标系滑槽连杆活塞质心速度：32质心位置守恒。质心在x轴的位置坐标保持不变。质心作匀速直线运动。质心沿x方向速度不变