第四章流体动力学

第四章流体动力学第一节理想流体运动微分方程第二节实际流体总流的伯努利方程第三节泵对液流能量的增加第四节动量方程及其应用§4-1

理想流体运动微分方程一、欧拉运动方程根据牛顿第二定律，得出理想流体运动微分方程：适用范围：稳定流或不稳定流，可压缩流或不可压缩流体若加速度等于0，则上式就可转化为欧拉平衡微分方程：二、理想流体的伯努利方程将欧拉运动方程分别与dx,dy,dz相乘，经过变形，并假定作用在流体上的质量力只有重力且流体不可压缩时，得出理想流体的伯努利方程：（4-5）式中c为常数，不同的流线取不同的值。（4-6）同一条流线上的不同两点，伯努利方程写为：（4-5）适用条件：理想不可压缩流体，质量力只有重力符号说明：单位重量流体的位能（比位能）位置水头单位重量流体的压能（比压能）压强水头单位重量流体的动能（比动能）流速水头单位重量流体总势能（比势能）测压管水头总比能总水头物理意义几何意义三、伯努利方程式的意义0012位置水头压强水头流速水头测压管水头总水头单位位能单位压能单位动能单位势能单位总机械能几何意义：沿流线的总水头为常数。物理意义：沿流线的总比能为常数。二、恒定总流的能量方程三、水头线四、能量方程的扩展五、能量方程的应用§4-2

实际流体总流的伯努利方程

一、实际流体恒定元流的能量方程式

一、实际流体恒定元流的能量方程式——单位重量流体从断面1-1流至断面2-2所损失的能量，称为水头损失。0012二、恒定总流的能量方程将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来，即为总流的能量方程式。在上述元流能量方程的两端同时乘以，可得单位时间内流过元流两有效断面的总重量流体的能量关系式：在总流过水断面上积分可得恒定总流能量方程：均匀流或渐变流过水断面上动能修正系数,1.05~1.1取平均的hwV→u，符号说明式中：总流能量方程在推导过程中的限制条件（1）稳定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两有效断面必须是渐变流断面，但两有效断面间可以是急变流；（5）总流的流量沿程不变；（6）两有效断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（7）式中各项均为单位重量流体的能量，对流体总重的能量方程应各项乘以

能量方程的解题步骤1选择基准面基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选有效断面形心或选自由面等。2选择计算断面计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量多的断面。3选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标准。4列能量方程解题：注意与连续性方程的联合使用。例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1，2及2，3的损失分别为和试求断面2的平均压强。解：取0-0，列断面1，2的能量方程取列断面1，3的能量方程解得：由连续方程得：代入式(a)得：

可见虹吸管顶部，相对压强为负值，即出现真空。为使之不产生空化，应控制虹吸管顶高（即吸出高）防止形成过大真空。例2：水深1.5m、水平截面积为3mx3m的水箱，箱底接一直径为200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作恒定出流，略去水头损失，试求点2的压强。解：根据题意和图示，水流为恒定流；水箱表面，管子出口、管中点2所在断面，都是渐变流断面；水流不可压缩，只受重力作用。符合总流能量方程应用条件。取渐变流断面1-1、2-2和3-3断面为控制断面。因为1-1断面为水箱水面，较竖直管大得多，故流速水头将基准面O-O取在管子出口断面3-3上，写出断面1-1和断面3-3的总流能量方程：采用相对压强将已知数据代入上式，即得由连续方程，知取，写出断面1-1和断面2-2的总流能量方程：将已知数据代入上式可得：所以：上式说明点2压强小于大气压强，其真空压强为1m水柱，或绝对压强相当于10-1=9m水柱。例3：某一水库的溢流坝，如图所示。已知坝下游河床高程为105.0m，当水库水位为120.0m时，坝址处有效断面C处的水深设溢流坝的水头损失求坝址处断面的平均流速。解：由于溢流坝面水流为急变流，所以在距坝前一段距离处，取渐变流断面1-1和坝下游水流较平直的C处取断面2-2。由于水库的有效断面面积大，流速水头水库水位和下游河床高程都为已知，基准面O-O取在下游河床底部。取，写出总流能量方程因为渐变流断面上各点的单位势能等于常数。可选断面上任一点求得其z和p值。为了计算方便，可选水面上一点，故可用相对压强计算，该点动水压强为零，即由图可知将以上已知数据代入总流量方程，得解得坝址处的流速1、拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开？为什么？靠拢；流速增大、压强降低2、总流能量与元流能量方程有什么不同点？（1）以断面的平均流速v代替元流中的点流速u；（2）以平均水头损失hw代替元流的水头损失；（3）各项反映的是整股水流的能量代替某一元流的能量。三、水头线水头线：沿程水头（如总水头或测压管水头）的变化曲线。总水头线是对应的变化曲线，它代表水头损失沿流程的分布情况。测压管水头线是对应的变化曲线，它代表压强沿流程的变化状况情况。水力坡度：指单位长流程的平均水头损失，即测压管水头线坡度：单位长流程上的测压管水头线降落，用测压管测量。注意：1理想流动流体的总水头线为水平线；2实际流动流体的总水头线恒为下降曲线；3测压管水头线可升、可降、可水平。4若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即5总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。录像录像动画动画

为了形象地反映总流中各种能量的变化规律，可将能量方程用图形表示。

纵坐标

长度（方程各项都具有长度因次），铅垂方向横坐标

流程坐标，管道：轴线；明渠：渠道底，并都将建筑物（管道、明渠）轮廓一并画出。代表点

有效断面上，各点位置水头、压强水头不同，所以，要在有效断面选取代表点。管道：管中心明渠：自由表面。水头线的绘制0012z1hw12z2zp1γp2γα1v122gα2v222g测压管水头线总水头线pγαv22g0012z1hw12z2zp1γp2γα1v122gα2v222g测压管水头线总水头线pγαv22g0012z1hw12z2zp1γp2γα1v122gα2v222g测压管水头线总水头线pγαv22gv21212水面＝测压管水头线v1α1v122gα2v222gz1z2hw总水头线v21212水面＝测压管水头线v1α1v122gα2v222gz1z2hw总水头线v21212水面＝测压管水头线v1α1v122gα2v222gz1z2hw总水头线11s22334455ipi/γv0hwiH0

总水头线测压管水头线v022gH11s22334455ipi/γv0hwiH0

总水头线测压管水头线v022gH定性绘出下列管道的测压管水头线和总水头线（a）（b）（c）（d）水头线的应用预测管线真空范围；确定管线最高布置位置。虹吸管的水头线与真空区不同固体边界下的水头线注：出口为自由出流时，P-P线末端应落在出口断面的管轴线处。不同出口流速时的水头线下游水池流速为零下游水池流速不为零即管道出口处的测压管水头线、总水头线与下游水位持平。即管道出口处的总水头线高于下游水位1、设有一水平压力管流，当不考虑水头损失的影响时，其测压管水头线沿程下降、上升或水平的条件各是怎么样的？下降：压强沿程减小。例：收缩管水平：压强沿程不变。例：管径沿程不变上升：压强沿程增大。例：扩散管2、什么是水头线?总水头线与测压管水头线有何区别？水头线：沿程水头（如总水头或测压管水头）的变化曲线。总水头线是对应的变化曲线，它代表水头损失沿流程的分布情况。测压管水头线是对应的变化曲线，它代表压强沿流程的变化状况情况。四、能量方程的扩展1、分叉恒定流2、能量的输入与输出在同一流动中，若另有机械能输入（如泵或风机），则能量方程形式为：式中：输入液体的比能泵的输入功率（轴功率），单位：N.m泵在单位时间内对液流所做的功（或加给液流的能量）。泵的效率。泵的有效功率与泵的输入功率的比值。泵的扬程：泵使单位重量液体增加的能量。五、能量方程的应用1、毕托管测速

当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向两边（或四周）分流时，在物体表面上受水流顶冲的A点流速等于零，称为滞止点（驻点）。在滞止点处水流的动能全部转化为压能。毕托管就是利用这个原理制成的一种测量流速的仪器。对C、A两点列沿流线的伯努利方程有：测速管与测压管的液面差2、文丘里流量计

为确定管道的流量，常用如图所示的文丘里流量计测量。它由渐变管和压差计两部分组成。压差计中的工作液体与被测液体或相同（a），或不同，测量大压差常用水银。设已知管流为水，管径d1、d2及压差计的水头差，试求流量解：因可由总流能量方程确定如下：取管轴线O-O为基准面，测压管所在断面1、2为计算断面（符合渐变流），断面的行心点为计算点，对断面1、2写能量方程，损失很小，可视取由此得：故可解得：因此：实际流量：对水银压差计有：§4-4动量方程及其应用动量定理：质点系的动量对时间的变化率等于作用于该质点系的所有外力之矢量和，即如图从恒定总流中任取一束元流作为控制体，dt时间内，流体从1-2处流至，dt时间内元流的动量变化（恒定流）为由动量定理得：不可压缩流体恒定元流动量方程不可压缩流体，有且不可压缩流体恒定总流动量方程上式为稳定流总流动量方程。它是矢量方程，实际上常用三个坐标轴上的投影式表示，即（4-22）（4-23）式中：——作用于控制体内流体的所有外力矢量和。该外力包括：（1）作用在该控制体内所有流体质点的质量力；（2）作用在控制面上的所有表面力（动水压力、切力）；（3）四周边界对水流的总作用力。适用范围：（1）理想流体、实际流体的不可压缩稳定流。（2）选择的两个有效断面应是渐变流断面，而过程可以不是渐变流。（3）质量力只有重力。（4）沿程流量不发生变化；若流量变化，则方程为：流出流入如图所示的一分叉管路，动量方程式应为：v3112233ρQ3ρQ1ρQ2v1v2动量方程是一个矢量方程，经常使用投影式。注意外力、速度的方向问题，它们与坐标方向一致时为正，反之为负。在考虑外力时注意控制体外的流体通过进口断面和出口断面对控制体内流体的作用力。外力中包含了壁面对流体作用力R，而求解问题中往往需要确定流体作用在壁面上的力，这两个力按牛顿第三定理。动量修正系数在计算要求精度不高时，常取1。应用动量方程解题时要注意以下几点：动量方程的解题步骤1选脱离体根据问题要求，将所研究的两个渐变流断面之间的水体取为脱离体；2选坐标系选定坐标轴的方向，确定各作用力及流速的投影的大小和方向；3作计算简图分析脱离体受力情况，并在脱离体上标出全部作用力方向；4列动量方程解题将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强采用相对压强计算。注意与能量方程及连续性方程的联合使用。动量方程式在工程中的应用弯管内水流对管壁的作用力水流对建筑物的作用力射流对平面壁的冲击力弯管内水流对管壁的作用力管轴水平放置管轴竖直放置1122P1=p1A1P2=p2A·2RGxzyV1V2RzRx沿x方向列动量方程为：沿z方向列动量方程为：1管轴竖直放置沿x方向列动量方程为：沿y方向列动量方程为：P1=p1A1P2=p2A·2RV1V2RyRxxy2管轴水平放置例一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角，直径由dA＝200mm变为dB＝150mm，在流量时，压强，求流对AB段弯管的作用力。不计弯管段的水头损失。解：求解流体与边界的作用力问题，一般需要联合使用连续性方程，能量方程和动量方程。例题附图水流对建筑物的作用力FP1122xFP1=ρgbh12/2FP2=ρgbh22/2FR沿x方向列动量方程为：例一水平放置的喷嘴将一水流射至正前方一光滑壁面后，将水流分为两股，如图所示。已知，水头损失不计，求水流对光滑壁面的作用力解：1取控制面：在楔体前后取渐变流断面1与断面2，3之间的水体为脱离体，作用于脱离体上的力有：（1）断面1，2，3及脱离体表面上的动水压力P1,P2,P3及P均等于零（作用在大气中）（2）重力G，铅垂向下（3）楔体对水流的反力R，待求。2取坐标，列动量方程：3令。列能量方程：代入（1）可得：水流对壁面的作用力，大小相等，方向相反射流对平面壁的冲击力FPV000VV1122FRV0VVx沿x方向列动量方程为：整理得：前进例1：设有一股自喷嘴以速度v0喷射出来的水流，冲击在一个与水流方向成α角的固定平面壁上，当水流冲击到平面壁后，分成两面股水流流出冲击区，若不计重量（流动在一个水平面上），并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻力，试推求射流施加于平面壁上的压力FP，并求出Q1和Q2各为多少？FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿y方向列动量方程为：对0-0、1-1断面列能量方程为：可得：同理有：依据连续性方程有：FP001122V0V2Q2V1Q1Qα001122V0V2Q2V1Q1QFRxy沿x方向列动量方程为：整理得：所以：例2如图所示有一高度为50mm，速度v为18m/s的单宽射流水股，冲击在边长为1.2m的光滑平板上，射流沿平板表面分成两股。已知板与水流方向的夹角为30度，平板末端为铰点。若忽略水流、空气和平板的摩阻，且流动在同一水平面上，求：（1）流量分配Q1和Q2；（2）设射流冲击点位于平板形心，若平板自重可忽略，A端应施加多大的垂直力P，才能保持平板的平衡；解：1.选0-0、1-1、2-2断面间水体为控制体，如图所示取x，y直角坐标。设平板作用在水股上的力为R（在y方向，因忽略摩阻，故无平板切力）沿y轴方向写动量方程：写0-0、1-1断面的能量方程（沿流线）：同理：由连续性方程：由（1）、（2）（2）沿x轴方向写动量方程：水对平板在X方向的冲击力为8100N，方向与R的方向相反，现对B点取矩：即：例3图为一滚水坝，上游水位因坝的阻挡而抬高，测得断面1-1的水深为1.5m，下游断面2-2水深为0.6m。略去水头损失，求水流对1m坝宽（垂直纸面方向）的水平作用力F。解：在坝前一段距离处，取渐变流断面1-1；在坝下游水流较平直处，取断面2-2。以断面1-2之间的液体作为隔离体。写出总流动量方程利用连续方程取宽度为1m，得代入总流能量方程以坝基底面为基准面写出总流能量方程得1m坝宽的单宽流量作用在断面1-1上的水压力得则水流对1m坝宽的作用力作用在断面2-2上的水压力带入动量方程：1、在应用恒定流总流动量方程时，为什么不必考虑水头损失？实际上已考虑了水头损失。因为在动量方程中的外力F，包含切力，而切应力与水头损失直接相关。2、由动量方程求得的力若为负值时说明什么问题？待求未知力的大小与脱离体的大小有无关系？应用中如何选取脱离体？方向反；无关；计算断面和固体壁面3、“渐变流断面上各点的测压管高度等于常数”，此说法对否？为什么？不对，测压管水头，由于z不同，所以测压管高度一、恒定总流能量方程1能量方程本章小结各项物理意义和几何意义（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流；（5）总流的流量沿程不变；（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（7）式中各项均为单位重量液体的能量，对液体总重的能量方程应各项乘以

2能量方程的应用条件3应用能量方程时的注意事项（1