结构动力学-总复习

动力学的研究内容及分析步骤研究内容：研究结构的动力特性及其动荷载作用下动力反应规律。动力学分析步骤：1）建立运动方程——描述结构中力与变形关系的数学表达式（也称动力方程）。2）确定初边值条件——初始条件和边界条件3）对运动方程求解——利用初边值条件求解微分方程（偏微分方程）4）结果分析及相关工程应用一、结构动力计算（问题）的特点1、动荷载定义：荷载（大小、方向和作用位置）随时间变化；在其作用下，结构上的惯性力与外荷载相比不可忽视。2、动力计算特点（1）所考虑的力系中要包含惯性力。惯性力是导致结构产生动力反应的根本原因（内因，外因是动力荷载作用）。（2）动力平衡方程是瞬时平衡。荷载，内力，变形等都是时间的函数。10-1动力计算特点和动力自由度二、动力计算中体系的自由度1、动力自由度：确定体系（运动时）质量位置所需的独立坐标（参数）数目。动力自由度与质点（集中质量）个数无关！静力自由度：确定体系（运动时）几何位置所需的独立坐标（参数）数目。2、结构离散化：把无限自由度问题转化为有限自由度的过程。常用简化方法有： 1）集中质量法； 2）广义坐标法； 3）有限单元法。

自由振动：结构受到干扰离开平衡位置以后，不再受到任何外力影响的振动过程。yykmc弹簧-质点模型mk简化模型mEIhEI实际模型yykm无阻尼时，c=0一、自由振动微分方程建立基本方法：动静法；

刚度法；

柔度法

10.2单自由度体系的自由振动1）动静法/刚度法——基于体系的动态平衡条件mEIlyykmm动静法步骤：1.在振动的任意时刻，求质点的惯性力和所受的弹性力；2.考虑t时刻的瞬时平衡。刚度法步骤：1.在任意时刻，求质点的惯性力和所受的弹性力；2.考虑该时刻的瞬时平衡力系沿动位移方向虚位移所作虚功=0。mk：弹簧刚度系数，使弹簧单位长度所施加的力（对立柱，使柱顶产生单位水平位移时所施加的水平力）1l柔度法步骤：1.求质点沿振动方向惯性力；2.虚设单位荷载下体系质点处沿振动方向静位移；3.求惯性力作用引起的动位移mEIl柔度法-基于体系的位移协调条件δ为弹簧柔度系数：单位力作用下产生的位移，它与弹簧刚度系数互为倒数。体系振动任意时刻t的动位移，是由惯性力作用引起yykmδ二、自由振动微分方程的解yykm二阶线性齐次常微分方程初始条件三、自由振动解的分析自振周期自振圆频率(自振频率)初相位角振幅频率单位时间内的振动次数2π个单位时间内的振动次数完成一次振动循环所需时间四、自振频率和自振周期计算（重点）1）T和ω只与结构质量和刚度有关，与外界干扰因素无关；2）T与质量平方根成正比，与刚度平方根成反比，要改变结构自振周期，只有从改变结构质量和刚度入手；3）T和ω是结构动力性能的一个重要数量标志。

Δst表示在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的静位移。自振周期和自振频率计算举例——例1l/2l/2mEI1l/4求δ，作单位荷载作用下弯矩图，如图示例2判断下列结构频率大小关系，不计梁自重l/2l/2mEIl/2l/2mEIl/2l/2mEI定性判断定量判断1l/4一、强迫振动的力学模型及运动方程mEIlFp(t)yykmm非齐次常系数微分方程求解时，标准化微分方程10.3单自由度体系的强迫振动1、简谐荷载作用常微分方程求解全部解=通解+特解F:荷载幅值,θ:荷载圆频率yykm二、微分方程求解初始条件：稳态反应瞬态反应稳态反应：按荷载频率振动的部分，起主要作用瞬态反应：按自振频率振动的部分，在实际振动中，由于阻尼存在，这部分将会逐渐消失。最大静位移，是指把荷载幅值F当做静荷载作用时，结构沿振动方向产生的静位移2、简谐荷载下稳态阶段的振动解分析显然，动力系数是关于频率比的函数，见下图动力系数曲线（图）动力系数的讨论动内力幅值分析上述分析表明：简谐荷载作用下，在平稳阶段，体系的动位移、动内力和惯性力与动荷载同步，同时达到幅值。动位移和动内力幅值（如弯矩和剪力）在动荷载幅值作用下可以按静力方法计算，再乘以动力系数即可。

该结论只适用于单自由度体系！mEIlFp(t)Fp(t)x简谐振动计算举例例10-3l/2l/2mEI1l/4解：（1）求自振频率已知：l=4m，I28b工字钢，E=2.1×105MPa，电机G=35kN,转速n=500r/min，离心力FP=10kN，竖向分量FPsinθt，求动力系数、最大弯矩、最大正应力和最大挠度。为避免单位弄错，建议都采用国际单位！（2）求荷载频率l/2l/2mEI电机重量引起的静挠度转子偏心力引起的动挠度平衡位置（3）求动力系数（4）求最大弯矩（5）求最大正应力（6）求最大挠度Fp(t)dτdS=Fpdττtt-τtFp(t)对于任意动力荷载的反应，整个加载过程相当于一系列瞬时冲量所组成。在任意时间t结构的反应，等于t以前所有瞬时冲量作用下动反应之和。3、一般动力荷载作用下的微分方程解上式也称J.M.C.Duhamel（杜哈梅/杜哈美/杜哈曼）积分，给出的解是一个由动力荷载引起的相应于零初始条件的特解。如果初始条件不为零，则需要再叠加上由非零初始条件引起的自由振动。杜哈梅积分的几点说明：1）杜哈梅积分法只适用于线弹性体系；2）若荷载Fp(t)是简单函数，积分相对简单，若Fp(t)是一个很复杂的函数，精确积分会遇到困难；3）杜哈梅积分法是一种直接积分法，其计算效率不高。因为对于计算任一个时间点t的反应，积分都要从0积到t，计算相当耗时。这时可采用效率更高的数值解法，如逐步积分法。1）突加荷载Fp(t)Fp0t0几种动荷载的杜哈梅公式2）短时荷载Fp(t)Fp0t0u（短时荷载）动力系数反应谱1、阻尼定义：引起结构能量的耗散，结构振幅逐渐变小的一种作用。2、阻尼来源（物理机制）： 1）固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； 2）结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； 3）结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。

一、阻尼概述10.4阻尼对振动的影响阻尼力对质点运动起阻碍作用，其方向总与质点速度/位移方向相反，数值上，有以下几种假设：1）粘滞阻尼：阻尼力大小与质点速度成正比；2）摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数；3）滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)；4）流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。

上述几种阻尼力中，粘滞阻尼力的分析比较简单，表达式为：FD=-cv，其中c为阻尼系数

，它是反映了多种耗能因素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。3、阻尼（阻尼力）基本假设二、有阻尼体系力学模型和运动方程yy(t)kmcmkm三、有阻尼体系运动方程求解1、有阻尼的自由振动运动方程标准常微分方程有阻尼自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，受阻尼影响的振动过程。运动方程（微分方程）解的形式解的讨论（1）当ξ>1，大阻尼，指数衰减，无振动（2）当ξ=1，临界阻尼，指数衰减，无振动（3）当ξ<1，低阻尼，有振动——重点（1）低阻尼解的形式初始条件低阻尼体系的自振频率与自振周期1）自振频率2）自振周期（1）阻尼使结构自振频率变小，自振周期变大；（2）现场实测考虑阻尼作用，因而得到的是有阻尼的自振频率和自振周期；在理论计算时，往往给出的是无阻尼的自振频率和自振周期。（3）工程结构阻尼比ζ在1%—5%之间，一般不超过20%，因此可以用有阻尼体系的结果代替无阻尼结果。方法一（基本原理）：任意两个相邻振动峰值的比值运动衰减及阻尼比测量阻尼比很小时，自由振动衰减较慢。为提高精度，采用相隔几周的振动峰值比来计算结构阻尼比。设相隔n个周期（2）临界阻尼-无振动（3）大阻尼-无振动算例:用自由振动法研究一单层框架结构的性质，用一钢索给结构的屋面施加Fp=73kN的水平力，使框架结构产生Δst=5.0cm的水平位移，突然切断钢索，让结构自由振动，经过2.0s，结构振动完成了4周循环，振幅变为2.5cm。从以上数据计算：①阻尼比ξ；②无阻尼自振周期T；③等效刚度k；④等效质量m。解：（1）阻尼比（3）等效刚度k（4）等效质量m（2）自振周期2、有阻尼（低阻尼）的强迫振动运动方程标准常微分方程运动方程解——杜哈曼积分公式瞬态响应稳态响应Fp(t)Fp0t0（1）突加荷载两种动荷载作用下的杜哈曼积分ysty(t)0ωtπ2π3π4π5π通解特解运动方程：方程全解：（2）简谐荷载——重点初始条件：利用特解条件和初始条件确定各系数瞬态响应稳态响应可得运动方程的全解为最大静位移，是指把荷载幅值F当做静荷载作用时，结构沿振动方向产生的静位移有阻尼体系的稳态振动稳态振幅相位角动力系数有阻尼动力系数动力系数分析动力荷载作用下，阻尼体系动反应滞后动力荷载的时间通过相位角α来反映。如果时间滞后t0，则相位角

α=θt0相位角分析动荷载主要由恢复力来平衡同步（同相位）同步（同相位）动荷载主要由阻尼力来平衡滞后π/2同步动荷载主要由惯性力来平衡反相，滞后π算例分析重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上，梁长4m，梁的惯性矩I=8.8×10-5m4,E=210GPa,发电机转动时其离心力的垂直分力为Fpsinθt，且Fp=10kN，不计梁的自重。若阻尼比ξ=0.02，试求（1）发电机每分钟的转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度。（2）共振时最大位移。解：1）求结构自振频率及荷载频率2）有阻尼的动力放大系数3）有阻尼的最大弯矩和最大挠度4）共振时最大挠度刚度法：基于体系平衡（瞬时平衡）条件，建立其微分方程。适用于剪切型刚架的运动方程。柔度法：基于体系位移协调条件，建立其微分方程。适用于梁和简单刚架的运动方程。l/3l/3mEIl/3m§10.4多自由度体系的自由振动m1m2y2y1m1m2r2r1y1r2r1y21k12k221k11k21r1：使质点单独产生位移y1所施加的力；r2：使质点单独产生位移y2所施加的力。1、运动方程（一）刚度法——两个自由度1k12k221k11k21k2k1k12:质点2产生单位位移时（质点1保持不动），在质点1上所需施加的力第二下标：引起力的原因第一下标：引起力的方向2、自由振动方程解及其分析构造解的两个特点：1）振动中，两个质点具有相同的频率ω和相位角α，只是位移幅值不同；2）振动中，两个质点位移在数值上随时间变化，但二者的比值保持不变振型方程显然，ω1和ω2与引起振动的原因无关，仅取决于体系的质量分布和刚度分布，是体系固有的，所以常称他们为体系的固有圆频率或特征圆频率。频率方程/特征方程3、振型（主振型，固有振型）显然，振型也与引起振动的原因无关，仅取决于体系的质量分布和刚度分布，也是体系固有的，故又称固有振型。k2k1P1=P2=04、算例计算ki层间侧移刚度：层间产生单位相对侧移时所需施加的力kij:质点j产生单位位移时（质点i保持不动），在质点i上所需施加的力层间侧移刚度mEIlEIl对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架),当两层之间发生相对单位水平位移时,两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度。mEIlFp(t)1EIllEIEIEI层间侧移刚度EIEI1EIhlEIEIEIEIEI解：1）求固有频率和固有振型m1m22）假设m1=m2=m，k1=k2=km1m23）假设m1=nm2,k1=nk2该算例表明，顶部质量和刚度突然变小，导致顶部位移反应过大。振动中这种引起巨大反响的现象，称为鞭梢效应。女儿墙，小阁楼开裂破坏问题。（一）刚度法——多自由度体系m1mnmim1mnmim1mnyny1miyi1niy1yiynm1mnmi1、运动方程以矩阵形式表示刚度矩阵K为对称方阵，质量矩阵M为对角矩阵2、运动方程的解及其分析将行列式展开，可得到一个关于频率参数ω2的n次代数方程（n是体系自由度的次数），求该方程可得到n个根：ω12，ω22，…，ωn2，即可得出体系的n个自振频率：ω1，ω2

，…，ωn

。把全部自振频率由小到大排列而成的向量称为频率向量，其中最小的频率称为基本频率或第一频率，其他频率依次称为第二，…，第n频率。主振型显然，主振型向量Y与频率ω有关。令Y(i)表示与频率ωi

相应的主振型向量，Y(i)=[Y1i,Y2i,…,Yni]T,代入振型方程，可得令i=1,2，……，n，可得到n个向量方程，由此可求出n个主振型向量

Y(1)，Y(2)，…,Y(n)，对于每一个主振型向量Y(i)可由代数方程组直接求出，其中Y1i,Y2i,…,Yni为未知数。上述代数方程组为齐次方程，如果Y1i,Y2i,…,Yni为方程组的解，则CY1i,CY2i,…,CYni也是方程组的解。即主振型Y(i)的形状可以唯一确定，但不能唯一的确定它的振幅。为了使主振型Y(i)的振幅有确定值，需要另外补充条件——标准化主振型。作法有：1）特定坐标的归一化方法。

做法一：令振型向量中的第一元素为1。

做法二：令振型向量中的最大元素为1。

2）正交归一化。Y(i)TMY(i)=11、运动方程（二）柔度法—两个自由度体系m1m2y2y1m1m2y21y11m1m2y22y12m1m2y2y1m1m2δ21δ11m1m2δ22δ122、自由振动方程解代入得消元频率方程/特征方程要使线性方程组有解，要求系数行列式=0振型方程频率方程（特征值方程）展开并求解自振频率振型3、柔度法算例l/3l/3mEIl/3m2l/912l/91解：先求柔度系数主振型mm11mm-11第一主振型第二主振型第一主振型为正对称第二主振型为反对称习题10-20l/2mEIm解：1）求柔度系数l/2l/2l/2超静定结构，采用力矩分配法11/21/23l/16-3l/32-3l/3203l/32-3l/32013l/3213l/6413l/3213l/6413l/3213l/6413l/3213l/641l/41l/4（二）柔度法——多自由度体系m1mnynny1nmiyinm1mnyny1miyim1mnyn1y11miyi1m1mnyniy1imiyii1、运动方程整理为或简写为柔度矩阵δ为对称方阵，质量矩阵M为对角矩阵2、运动方程的解及其分析行列式展开得到一个关于频率参数1/ω2的n次代数方程，求该方程可得到n个自振频率：ω1，ω2

，…，ωn

。非零解的条件主振型令Y(i)表示与频率ωi

相应的主振型向量，Y(i)=[Y1i,Y2i,…,Yni]T，代入振型方程可得主振型向量令i=1，2，……，n，可得到n个向量方程，由此可求出n个主振型向量

Y(1)，Y(2)，…,Y(n)。一、主振型的正交性1、两个自由度体系mmmm§10.5主振型正交性第一正交关系第二正交关系设ωl和ωk为两个不同的自振频率，相应的主振型向量分别为2、n个自由度体系二、主振型矩阵

n个多自由度体系n个自振频率对应的振型（或主振型）向量Y(i)=[Y1i,Y2i,…,Yni]T（i=1,2,……,n）。将n个振型向量组成矩阵，则该矩阵称为主振型矩阵。显然，主振型矩阵为一个方阵，它的转置矩阵为三、广义刚度和广义质量定义广义质量矩阵广义刚度矩阵四、正交性的应用1）利用正交关系来判断主振型的形状特点对剪切模型，振型特点为：一阶振型不变符号，二阶振型变一次符号，三阶振型变二次符号。推而广之，对应ωj的第j阶振型向量的各元素有（j-1）次变号，即振型曲线有（j-1）个节点（原点除外！）。——课本三个自由度例题2）利用正交关系来确定位移展开公式中的系数在多自