平面向量基本定理及坐标表示

人教A版（2019）数学必修第二册平面向量基本定理及坐标表示一、单选题1.已知向量满足，则（

）A.

4

B.

3

C.

D.

2.已知向量，则＝（

）A.

B.

C.

4

D.

53.已知向量，且，则实数（

）A.

B.

C.

D.

4.已知向量，满足，则向量与的夹角的余弦值为（

）A.

B.

C.

D.

5.已知向量，若，则的值为(

)．A.

B.

C.

D.

6.设向量，，则（

）A.

B.

C.

D.

7.已知锐角的外接圆的圆心为，半径为，且，则等于（

）A.

B.

C.

D.

8.在中，的中点为，的中点为，则（

）A.

B.

C.

D.

9.已知向量，的夹角为，且，，，则（

）A.

B.

C.

D.

10.如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（

）A.

B.

C.

D.

11.如图，四边形ABCD中，，E为线段AC上的一点，若，则实数的值等于（

）A.

B.

C.

D.

12.已知向量满足，点在内，且，设，若，则（

）A.

B.

4

C.

D.

13.在中，，，点满足，点为的外心，则的值为（

）A.

17

B.

10

C.

D.

14.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（

）A.

B.

C.

D.

二、填空题15.已知向量，，与的夹角为，则实数________.16.已知向量（1，1），（﹣1，3），（2，1），且（）∥，则λ＝________.17.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2＝________．18.已知向量，若向量与共线，则向量在向量放向上的投影为________．19.已知两个单位向量满足，则的夹角为________．20.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为________．三、解答题21.如图，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,A=60°，D为线段BC中点，E为线段AD中点.（1）求的值；（2）求的值.22.设两个向量、，满足，，、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.23.已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R）．（1）若∥，求||（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．（3）若||=2，求与垂直的单位向量的坐标．24.已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．（1）求证：；（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

答案解析部分一、单选题1.答案：A解：由题,则,故选:A【分析】由题,进而代入求解即可.2.答案：D解：因为，故可得，故.故选：D.【分析】先计算的坐标，再根据坐标求解模长即可.3.答案：A解：由得，。故答案为：A.【分析】先求出向量的坐标，由得，代入坐标求出k的值．4.答案：B解：设向量与的夹角为，所以.故答案为：B.【分析】直接根据向量的夹角公式求得余弦值.5.答案：C解：由于，故，解得.故答案为：:C.

【分析】由已知，利用向量共线的坐标表示列式，即可求出x的值.6.答案：B解：由，，可得：.故答案为：B.【分析】直接利用向量的坐标进行运算即可.7.答案：A解：由题,因为,所以,所以,所以,故选:A【分析】由题可分析,再利用数量积求得,进而由三角形性质求解即可.8.答案：B解：.故选：B【分析】根据平面向量的运算法则即可求解.9.答案：A解：因为，所以，所以，解得：或，由，所以，故答案为：A.【分析】对两边平方，转化成关于的二次方程，根据，得到．10.答案：D解：设，则，，，所以，所以.因为，所以.故答案为：D【分析】设出等腰直角三角形的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得，由此得到，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将表示为以为基底来表示的形式.11.答案：A解：因为三点共线,设,因为,所以,解得.故答案为：A【分析】由三点共线,设,用,作基底表示出,利用平面向量的基本定理列方程组,解方程组求得的值.12.答案：C解：由得，建立如图所示的直角坐标系，，不妨设，，由得，

故答案为：C【分析】根据题意由得，建立如图所示的直角坐标系，由，不妨设，，则，再利用正切的定义结合建立关于的等式，即可解出的值。13.答案：D解：取的中点，连接，因为为的外心，，，，，同理可得，故答案为：D.【分析】将用向量和表示出来，再代入得，，求出代入即可得出答案.14.答案：C解：由题意及图，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故答案为：C．【分析】由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.二、填空题15.答案：1解：∵向量，，与的夹角为，∴，，根据数量积定义，解得.故答案为：1.【分析】根据向量的夹角公式可得关于m的方程，计算求解即可．16.答案：解：向量（1，1），（﹣1，3），（2，1），所以（1+λ，1﹣3λ），又（）∥，所以，2×（1﹣3λ）﹣1×（1+λ）＝0，解得λ.故答案为：.【分析】先利用向量的坐标运算求出，再根据向量平行的坐标表示即可求出．17.答案：解：由题,因为,所以,所以,,则,故答案为:【分析】由题可得,进而利用平面向量分解定理求解即可.18.答案：0解：向量，，向量，∵向量与共线，∴，即，∴向量，∴向量在向量方向上的投影为，故答案为0.【分析】根据向量共线的坐标运算代入数值求出λ的值，进而得出向量a的坐标从而求出向量a在向量b方向上的投影的值。19.答案：解：因为,是单位向量,所以,因为,所以,所以,所以,因为,所以,又,所以.故答案为:【分析】将已知等式两边平方后,利用向量的夹角公式可解得.20.答案：解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则E（，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．

设P（cosθ，sinθ），∴=（1，1）．

再由向量=λ（，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（，﹣λ+μsinθ）=（1，1），

∴，∴，

∴λ+μ===﹣1+．

由题意得0≤θ≤，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．

求得（λ+μ）′==＞0，

故λ+μ在[0，]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为=，

故答案为：．

【分析】建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量=（，﹣λ+μsinθ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示λ和μ，根据cosθ，sinθ的取值范围，再结合λ+μ的单调性，求出λ+μ=的最小值．三、解答题21.答案：（1）解：由题意得,,

（2）解：【分析】(1)以,为基底分别表示出,直接求两向量的内积即可;(2)以,为基底分别表示出,直接求两向量的数量积即可.22.答案：解：由已知得,，.∴()

()

欲使夹角为钝角，需.得

设

()()

∴，此时.即时，向量与的夹角为.∴夹角为钝角时，的取值范围是【分析】利用数量积公式结合已知条件向量与向量的夹角为钝角，变形求出t的取值范围。23.答案：（1）解：若，则﹣x﹣（2x+3）x=0，解得x=0或x=﹣2，当x=0时，=（﹣2，0），∴||=2，当x=﹣2时，=（2，﹣4），∴||=2

（2）解：若与夹角为锐角，则＞0，即2x+3﹣x2＞0，∴﹣1＜x＜3，由（1）可知当x=0时，，此时，的夹角为0，不符合题意，舍去，∴x的取值范围是（﹣1，0）∪（0，3）

（3）解：∵||=2，∴1+x2=4，解得x=±，设=（m，n），则m+nx=0，且m2+n2=1，∴当x=时，，解得或；当x=﹣时，，解得或，所以当x=时，的坐标为（，﹣）或（﹣，），当x=﹣时，的坐标为（，）或（﹣，﹣）【分析】（1）根据向量平面列方程解出x，求出的坐标即可得出||；（2）令cos＜＞＞0，解出x，再去掉共线的情况即可；（3）根据||=2计算x，设=（m，n），列方程组解出即可．24.答案：（1）证明：A（2，1），B（3，