奥赛天天练(填三阶幻方)

《奥赛天天练》第讲《巧填幻方》。概念：如果一个n×n矩阵（教材中表现为方格图）的每行，每列及两条对角线的元素之和都相等，且这些元素都是从到n×n的自然数，这样的矩阵就称为n幻方有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年这是一类形式独特的填数字问题。本讲主要介绍比较简单的三阶幻方的填写，三阶幻方就n=3时的幻方。三阶幻的填法：三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，在北周的甄弯注《数术记遗》一书中记有三阶幻方的填法九宫者，二为肩，八为足，左右三，戴九一，五中央。三阶幻的构造方法我国南宋时期杰出的数学家辉是最早系统研究幻方的数学家。他曾将幻方命名为“纵横图”(阶幻方也叫络书或九宫图)给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明阶以上幻方辉只画出图形而未留下作法但他所画的五阶六阶乃至十阶幻方全都准确无误辉在《续古摘奇算法》中，总结出了三阶幻方构造的方法“九子斜，上下对易左右相，四维挺出。”思是：先把l九个数依次斜排（如下图一），再把上l9数对调（如下图二），左73数对调（如下图三），最后把四面的2、4、6向外面挺出（如下图四），这样就构造了一个三阶幻方。199424249757357868681911图一

图二

图三

图四三阶幻方的填法不是唯一的矩阵的第一行与第三行对调或第一列与第三列对调，可以得出4种填法，将其中的任意一种填法旋90°，又可以得到另外的4填法例如，将上面图四的第一列与第三列对调，就可以得出前面口诀中的填法。三阶幻方的构造原理：通常我们把幻方中每行个数的和称为幻方的幻和，幻方正中心的那个数叫做中心数中心数也就是这个数的中位数从到这9数的和为：…8+9=45；则三阶幻方每个数字之和即幻和为：=15。到这9个数中，和的3数，只能是、9+4+2、8+6+1、、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每条对角线上个数只能是其中某个算式中的3个数。仔细分析九宫格经过中心数的有一行、一列和两条对角线，即这个数必须在4不同的算式中出现在上面的算式中只有符合要求。同理经过九宫格四个角上的数字都有一行、一列和一条对角线，即四个角上的数字必须同时个不同的算式中出现，只有2、6、8符合要求。先填好中心数和四个角上数字，再完成其它填空，就完成幻方填写了。在教学时可引导孩子发现三阶幻方中数字有趣的排列顺序如四个偶数在四角从某个方向看奇偶数的是按大小有序排列的等等让孩子在了解构造方法的基础上熟记简单三阶幻方的填法口诀写三阶幻方的个数论如何变化，只要将它们按大小的顺序排列编号，均可按口诀“对号入座”完成填空；理解并掌握幻方中的两个公式：幻和＝中心数；幻和＝总数可以在已知幻和的情况下，先求出中心数，或在已知中心数的情况下，先求出幻和，以便继续求出其它的数让孩子初步了解幻方的构造原理这种推理方法在学习其它问题时可以迁移使用。《奥赛天练》第讲，模训练，习【题目：将下面左边方格中的9个填入右边幻方中，使每一行、每一列条对角线中的三个数相加的和相等。【解析：解法一把这九个数按从小到大的顺序依次编号，1、3号为“6”，4、5、6号为8”、8、9号为10”。按口诀：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。对号入座，如下图可以填好表格。解法二这个三阶幻方的幻和为10+8+6=24；中心数为24÷3=8。如上图：首先可以填好中心数8。因为幻和为，任意行列如果有个，3个数的和必定小于24所以任意行列不可能有个6，根据这点，第二步可以确定个6位置，保证任26不同行不同列，不在同一条对角线上三步根据已填好的四个数，及幻和为，可以完成余下的填空。《奥赛天练》第讲，巩训练，题【题目：将9连续自然数填入的方格使每一横行每一竖行及两条对角线的3数之和都等于60。【解析：由已知条件可知，这个幻方，幻和为中心数为：所以这9个连续的自然数为：、17、19、20、21、22、23、24。把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。如下图：《奥赛天练》第讲，巩训练，题【题目：下图中，要使每一行，每一列，两条对角线上三个数的和都是27，B，，E，F，G应各是多少？【解析：由题意可知幻和为中心数为27÷3=9所以等于填好中心数后，根据幻和，可以用蚕食的方法依次求出其它方格里的数：；G=27-5-12=10；A=27-10-9=8；B=27-8-5=14；F=27-9-14=4。答案略。《奥赛天练》第讲，拓提高，题【题目：在下面一个三阶幻方中已填入了一个数，请在其它个空格填上适当的数，使得9方格是9个连续自然数。【解析：由已知条件可知这个幻方的中心数为所以这个连续的自然数为8、9、10、11、12、13、14、15、16。把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。如下图：《奥赛天练》第讲，拓提高，题【题目：在下面两个图形中的空格填入不大于互不相同的自然数（其中已各填好一个数），使每一横行、每一竖行及两条对角线的个数之和都等于。【解析：由题意可知，幻和为，中心数为：如下图，可以分别填好两个方格图中的一条对角线。因为中心数是，经过中心数每一组另外两个数必须一个大于10个小于所以两个方格图中剩下个数中有个数大于且不大于15题目左图中，大于的数可能是、13、14、15，数字如果和同行列，，8重复出现与题意不符；如果数1412行列，14+12+4=30，而必须出现，与题意不符。所以，左图于的三个数只能是11、13，剩下的3个数是：9、7、5通过尝试检验、或“对号入座”可以完成表格，如上图一。同理，题目右图于的数可能是、12、13、15，数字如果和同行列，12+6+12=30，12重复出现与题意不符；如果数字12与14行列，12+14+4=30，而4+10+16=30，必须出现16，与题意不符。所以，右图于三个数只能是11、13