三角函数的图象与性质

人教A版（2019）数学必修第一册三角函数的图象与性质一、单选题1.函数的图像（

）A.

关于轴对称

B.

关于直线对称

C.

关于点对称

D.

关于点对称2.若函数是偶函数，则的一个值可能是（

）A.

0

B.

C.

D.

3.函数的最小正周期是（

）A.

B.

C.

D.

4.在上的值域为

A.

B.

C.

D.

5.的一个单调递增区间是(

)

A.

[，]

B.

[－，]

C.

[－，]

D.

[，]6.函数的值域为（

）

A.

B.

C.

D.

7.已知函数的图像关于直线对称，且，则的最小值是(

)A.

B.

C.

D.

8.定义在区间的函数的值域是，则的最大值与最小值之和为（

）A.

B.

C.

D.

9.将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数的一条对称轴为（

）A.

B.

C.

D.

10.函数，则（

）A.

函数的最小正周期为，且在上是增函数

B.

函数的最小正周期为，且在上是减函数C.

函数的最小正周期为，且在上是减函数

D.

函数的最小正周期为，且在上是增函数二、填空题11.函数的定义域为________．12.函数的单调递增区间为________．13.设函数，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．14.关于函数，有以下命题：①函数的定义域是；

②函数是奇函数；

③函数的图象关于点对称；

④函数的一个单调递增区间为．其中，正确的命题序号是________．三、解答题15.作出函数y=3sin（x+）在长度为一个周期的闭区间上的简图.16.已知.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值.17.设函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3（Ⅰ）当x∈（0，π）时，求f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）若f（x）在[0，θ]上的值域为[0，2+1]，求cos2θ的值．18.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；（2）已知△ABC的内角分别是A，B，C，A为锐角，且f，求cosA的值．

答案解析部分一、单选题1.答案：D解：当时，，函数值不为0，且无法取到最值，A,C不符合题意；当时，，函数值不为0，且无法取到最值，B不符合题意；当时，，函数值为0，关于点中心对称；故答案为：D.【分析】由已知利用正弦函数的对称性，分别判断各选项即可得结果.2.答案：B解：函数是偶函数，，即，或，，当时，可得，不满足偶函数定义中的任意性；当时，，，当时，.故答案为：B.【分析】由函数的奇偶性的定义可得需满足的条件为，，结合选项可得答案．3.答案：B解：，，

故答案为：B【分析】由三角函数的最小正周期，即可求解。4.答案：C解：，，，即，故答案为：C．【分析】根据x的取值范围，结合不等式的性质及余弦函数的单调性，即可求出相应函数的值域.5.答案：A解：因为，所以由得因此一个单调递增区间是[，]，故答案为：A.【分析】先将x的系数根据诱导公式化为正数，再由正弦函数的单调性进行求单调增减区间．6.答案：C解：，当时，当时，.所以值域为

.故答案为：C【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式转化为关于sinx的一元二次函数，因为sinx故而转化为一元二次函数在指定区间上的最值情况，利用二次函数的单调性即可求出最小值和最大值。7.答案：B解：因为函数的图像关于直线对称，所以（1），由，可知（2），⑴-⑵得，，又因为

所以的最小值是2，故答案为：B。【分析】因为函数的图像关于直线对称，所以（1），由，可知（2），再将（1）和（2）联立求出和k的关系式，再利用得出的最小值。8.答案：D解：，因为，所以，由函数在区间上的值域为，不妨令，则，所以的最大值为；最小值为，所以故答案为：D【分析】利用辅助角公式化简函数解析式为三角型函数，再利用三角型函数的图象，借助函数单调性和值域的条件求出b－a的最值，从而求出最值之和。9.答案：D解：函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为：，再向右平移个单位得到函数为：=，所得函数的图象的一条对称轴为：．故答案为：D．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求出所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴．10.答案：D解：对于函数，因为，所以它的最小正周期为，当时，，函数单调递增，

故答案为：D.【分析】根据题意结合正切函数的周期性和单调性逐一判断得出结论即可。二、填空题11.答案：解：根据题意有,有,解得，故定义域为.【分析】本题主要考查复合函数的定义域，由题中条件可得，结合正弦函数的图像即可求出x的范围。12.答案：解：函数=2sin（x+），令，k∈Z，

得：，

∴函数f（x）的单调递增区为：．

故答案为：．

【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得单调递增区间．13.答案：解：因为对任意的实数x都成立，所以，当时函数取最大值，所以因为，所以当时，ω取最小值为.故答案为.【分析】本题主要考查余弦函数的定义域和最值，由题中条件可得当时函数取最大值，从而可得，再结合，即可求出ω的最小值。14.答案：①③解：函数应满足，，即，，故①正确；由于，故②错；将代入，得到，故③正确；由，，知函数的单调增区间为，，故④错.【分析】结合正切函数的图像以及性质逐一判断即可得出结论。三、解答题15.答案：解：对于函数y=3sin（x+），列表：x+

0

π

2π

x﹣

y

0

3

0﹣3

0作图：

【分析】用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图．16.答案：（1）解：由条件得，

，所以的最小正周期为.（2）解：因为，所以.当时，的最大值为2；当时，的最小值为-1.【分析】（1）用辅助角公式对函数进行化简，再用T=求解。

（2）根据正弦函数求最值方法进行求解。17.答案：解：（Ⅰ）函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3=4sinxcosx﹣4sin2x+3=2sin2x﹣4×+3

=2sin2x+2cos2x+1=2sin（2x+）+1，

令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，又x∈（0，π），

所以f（x）的单调递减区间是[，]；

（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+）+1在[0，θ]上的值域为[0，2+1]，

令x=0，得f（0）=2sin+1=3；

令f（x）=2+1，得sin（2x+）=1，解得x=，∴θ＞；

令f（x）=0，得sin（2x+）=﹣，

∴2x+＜，解得x＜，即θ＜；

∴θ∈（，），∴2θ+∈（，）；

由2sin（2θ+）+1=0，得sin（2θ+）=﹣，

所以cos（2θ+）=﹣=﹣，

所以cos2θ=cos[（2θ+）﹣]

=cos（2θ+）cos+sin（2θ+）sin

=﹣×+（﹣）×=﹣．【分析】（Ⅰ）化简函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）根据题意，求出sin（2θ+）的值，再根据同角的三角函数关系和三角恒等变换求出cos2