《高考调研》高三数学第一轮复习 第六章《平面向量和复数》课件63

1．数量积的有关概念①两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则

.叫做向量a与b的夹角；范围是

°.②a与b的夹角为

度时，叫a⊥b③若a与b的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|cosθ.④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝

.⑤a在b的方向上的投影为|a|cosθ.∠AOB＝θ0°≤θ≤180x1x2＋y1y23．注意①两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0(实数)而0·a＝0②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)③a·b中的“·”不能省略．1．(08·陕西卷)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c.②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b.③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.⑤非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为______．(写出所有真命题的序号)．答案

②解析

①由数量积定义a·b＝|a|·|b|·cosθ，若a·b＝a·c则|a|·|b|cosθ＝|a|·|c|cosφ，∴|b|·cosθ＝|c|cosφ即只要b和c在a上的投影相等，则a·b＝a·c②中∵a·b＝|a|·|b|·cosθ，∴由|a·b|＝|a|·|b|及a、b为非零向量可得|cosθ|＝1，∴θ＝0或π，∴a∥b且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③中当a⊥b时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等．即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此命题③是真命题．④中当|a|＝|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故命题④是假命题．失分警警示解决向向量问问题常常常要要数形形结合合，a·b等于a乘以b在a方向上上的投投影，，或等等于b乘以a在b方向上上的投投影．．答案B3．若(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求非非零向向量a，b的夹角角的正正弦值值．4．(2010·江西卷卷)已知向向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角角为60°°，则b在a上的投投影是是________．答案1解析b在a上的投投影是是|b|cos〈〈a，b〉＝2cos60°°＝1.5．(2010·湖南)若非零向量量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C题型一平面向量数数量积的运运算例1(1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.【思路分析】根据非零向向量数量积积的定义直直接求解即即可，只需需确定其夹夹角θ.【解析】①当a∥b时，若a与b同向，则则它们的的夹角为为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5××1＝10；若a与b反向，则则它们的的夹角为为180°°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②当a⊥b时，它们们的夹角角为90°，∴a·b＝|a||b|cos90°°＝2×5×0＝0.探究1(1)求平面向向量数量量积的步步骤是：：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积积，即a·b＝|a||b|cosθ，若知道道向量的的坐标a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则求数数量积时时用公式式a·b＝x1x2＋y1y2计算．(2)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°，三种特殊情情况．思考题1(1)(2010··广东卷，文)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3【解析】由题意可得8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30⇒x＝4.【答案】C题型二向量的夹角思考题2已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，求向量a＋2b与a－b的夹角的余弦弦值．【解析】a·b＝|a||b|cos<a，b>＝1.|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝12；|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3；(a＋2b)·(a－b)＝a2－2b2＋a·b＝3.∴向量a＋2b与a－b的夹角的余弦值题型型三三向量量的的模模例3已知知向向量量a、b满足足|a|＝6，|b|＝4，且且a与b的夹夹角角为为60°°，求求|a＋b|和|a－3b|.【分析析】本例例题题介介绍绍两两种种求求向向量量模模的的方方法法：：(1)利用用|a＋b|2＝(a＋b)··(a＋b)；(2)构造造模模型型，，利利用用向向量量的的加加法法和和减减法法求求模模．．【答案案】B题型型四四垂直直问问题题例4(1)设向向量量a，b，c满足足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b.若|a|＝1，则则|a|2＋|b|2＋|c|2的值值是是________．【分析析】由垂垂直直的的充充要要条条件件，，寻寻找找|a|，|b|，|c|之间间的的关关系系．．【解析】∵a⊥b，b＝－a－c，∴a·b＝a·(－a－c)＝－|a|2－a·c＝0，∴a·c＝－|a|2＝－1.又∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·c＝0，∴a·c＝b·c＝－1.∵a＝－b－c，∴|a|2＝|b|2＋|c|2＋2b·c，∴|b|2＋|c|2＝|a|2－2b·c＝3，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.探究4垂直问题题是一个个重要的的知识点点，在高高考题中中常常出出现，常常与向量量的模、、向量的的坐标表表示等联联系在一一起，要要特别注注意垂直直与平行行的区别别．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔a1a2＋b1b2＝0，a∥b⇔a1b2－a2b1＝0.(2)如图，在在等腰直直角三角角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，，E是AB上的一点点，且AE＝2EB，求证：：AD⊥CE.思考题4(2011·上海春季季高考)若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列列结论正正确的是是()A．a·b＝1B．|a|＝|b|C．(a－b)⊥bD．a∥b1．记忆忆向量量的数数量积积公式式应从从两个个方面面：①定义，，②向量积积的坐坐标公公式．．2．向量量的数数量积积应用用广泛泛，可可用于于求角角、求求长度度、证证垂直直等问问题．．3．注意意数形形结合合思想想的应应用，，如加加、减减运算算的几几何意意义，，数量量积的的几何何意义义——投影．．1．已知知a，b是平面面内两两个互互相垂垂直的的单位位向量量，若若向量量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大大值是是________．答案－2解析解法一一如图所所示，，由题题易得得3．(08·浙江)已知a是平面面内的的单位位向量量，若若b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值值范围围是________．答案[0,1]课时作作业（（二十十九））1．(2010·山东卷卷，理理)定义平平面向向量之之间的的一种种运算算“⊙”如下下：对对任意意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错错误的是()A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2答案B解析根据题意可可知若a，b共线，可得得mq＝np，所以a⊙b＝mq－np＝0，所所以以A正确确．．因因为为a⊙b＝mq－np，则则b⊙a＝