数学-天一大联考2025届高三四省联考（陕晋青宁）试题和解析

2024—2025学年(下)高三第一次四省联考贴在答题卡上的指定位置.在本试卷上无效.1.已知集合A={1,2,3,4|,B={0,2,4,8|,则A∩B=A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.抛物线x²-2y=0的准线方程为A.B.C.x=-14.采用随机抽样抽到一个容量为100的样本，由样本数据得到如下的频数分布表：xA.42B.445.已知圆锥的高为4,侧面积是底面积的3倍，则圆锥的体积为人口数学试题第1页(共4页),则φ=D.人CD.9.若向量a=(0,-1),b=(-3,4),c=(4,4),A.|b|=√5C.若q>0,则数列[log₂aF的前n项和数学试题第2页(共4页)C.若对任意成递增等差数列的4个数x₁,x₂,x₃,x₄,都有则12.若,且,则14.设[x]表示不大于x的最大整数，如[2.5]=2,[1]=1,若正数a满足15.(13分)16.(15分)AC=2,A₁B₁=1,AA₁=√3,M为BB₁的中点.(Ⅱ)求平面A₁MC和平面AMC夹角的余弦值.数学试题第3页(共4页)17.(15分)(Ⅱ)若安排乙第二个射击，且PI>P₂>p₃,要使射击总次数的数学期望较小，应该安排哪一门火炮第一个射击?18.(17分)已知a≠0,函数f(x)=(ax+1)In(ax+1)在处取得极值.(Ⅲ)若存在实数x>0,使得(k-2)x-1>f(x)成立，求k的最小整数值.19.(17分)已知双曲线的离心率,且C经过点P(2,1).(Ⅱ)作C在点P处的切线l,设l与C的两条渐近线分别交于点Q,R,求|QR|;(Ⅲ)将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”,记C上的所有格点为P₁(x₁,y₁),数学试题第4页(共4页)2024—2025学年(下)高三第一次四省联考解析集合A和B的公共元素只有2和4,所以A∩B={2,4}.2.答案B解析,所以z在复平面内对应的点为,位于第二象限.解析抛物线的标准方程为x²=2y,焦点为,准线方程为4.答案C命题透析本题考查平均数的计算.解析由已知得x=100-10-15-25-20-10=20,估计总体的平均数为5.答案D解析设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,由题意,所以l=3r,又h=√P²-P²=2√2r=4,所以r=√2,所以圆锥的体积命题透析本题考查三角函数的图象与性质.7.答案D命题透析本题考查空间几何体的结构特征以及函数的表示.解析如图所示，设平面A₁BD和平面CB₁D,分别与AC₁点Q,R)时，截面是六边形EFGHMN,且EF//A,B,NE//B₁D₁,少,所以,所以EF+NE=A₁B,所以六边形EFCHMN的周长与△A₁BD的周长相等.综上可知y关于x的8.答案B命题透析本题考查直线与椭圆的位置关系.A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则.因为|AF|=3|BF|,所以y₁=-3y₂②.由①②可得,再结合b²=a²-c²9,解得得0分.9.答案CD命题透析本题考查平面向量的性质与坐标运算.对于B,a+c=(4,3),与b不平行，故B错误；对于C,a·(b-c)=(0,-1)·(-7,0)=0,对于D,设a在c上的投影向量为d=(x,x),则a·c=d·c=8x=-4,所以,故D正确.解析对于A,因为a₁=1,且-a₂,a₁,a₃成等差数列，所以a₃-a₂=2a₁=2,故A正确；对于C,若q>0,则q=2,a=2"-¹,所以log₂a=n-1,所以{log₂a}的前n项和为故C正确；呈指数增长，而2025+(n-1)In2呈线性增长，因此当n足够大时，必有a₀>2025+Ina,故D正确.11.答案ABD命题透析本题考查导数与函数的性质、逻辑推理.解析对于A,由题意得f'(x)=2*ln2,f"(x)=2*(In2)²>0,所以f(x)是T函数，故A正确；对于B,设g(x)=f(x+1)-f(x),则g'(x)=f'(x+1)-f'(x),因为f(x)是T函数，所以f'(x)在R上单调递对于C,因为x₁,x₂,x₃,x₄成递增的等差数列，故可设x₁=a-3m,x₂=a-m,x₃=a+m,x₄=a+3m,m>0,考虑对于D,因为f(x)是T函数，所以f'(x)在R上单调递增，任意选取x₀∈R,设函数F(x)=f(x)-f'(xo)x,则f(x)≥f'(xo)x+f(xo)-f'(x₀)xo,当x<0时，因为f(x)<0,所以f'(x₀)x+f(x₀)-f(x₀)xo<0,左边是关于x的一次函数，根据直线的性质知f'(x₀)≥0,这里的x。是任意选取的，所以Vx∈R,f'(x)≥0,所以f(x)在R上单调递增，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.命题透析本题考查同角三角函数的基本关系与二倍角公式.由题意得,所以命题透析本题考查计数原理与古典概型的应用.解析三个人任意选择景点，不同的选择方案有4³=64种，若三人选择的景点互不相同，则不同的选择方案有A³=24种，故所求的概率14.答案12命题透析本题考查不等式的性质、对数函数与指数函数的应用.解析因所以该式的前15项都为0,后4项都为1,所以,所以2.49<e,1.3⁴≈2.86>e,所以1.2<es≤a<e÷<1.3,所以12<10a<13,故[10a]=12.解析(I)因为acosB-bcosA=a-c,所以由正弦定理得sinAcosB-cosAsinB=sinA-sinC=sinA-(sinAcosB+cosAsinB),化简得2sinAcosB=sinA(3分)(Ⅱ)因为D为AC的中点，所以2BD=BA+BC,由余弦定理可得,所以AC=√a²+c²-ac.…………(9分)整理得2a²+2c²-5ac=0,即………………………(13分)………………………(13分)由题意知AA,⊥平面A₁B₁C₁,所以AA₁⊥A,B₁,又A₁B₁=1,AA,=√3,所以AB₁=2=AB,因为M是BB,的中点，所以BB₁⊥AM(2分)因为AA,⊥平面ABC,所以AA,⊥AC,又AB⊥AC,AB∩AA,=A,所以AC⊥平面AA,B,B,因为ACNAM=A,所以BB₁⊥平面AMC.…………………(6分)则B(2,0,0),B₁(1,0,3),A,(0,0,√3),C(0,2,0),i设平面A₁MC的法向量为n=(x,y,z),贝.……………(4分)(Ⅱ)设射击的总次数为X,则X的所有可能取值为1,2,3.则P(X=1)=pi,P(X=2)=(1-p₁)P₂,P(X=3)=(1-p₁)(1-p₂),(6分)所以E₁(X)=p₁+2(1-p₁)p₂+3(1-p₁)(1-p₂)=P₁P₂-2p₁-P₂+3.……………同理得E₂(X)=P₂P₃-2p₃-P₂+3(12分)又因为p₁>P₂>p₃,P₂<1<2,所以E₁(X)-E₂(X)<0,所以要使射击总次数的数学期望较小，应该让甲先射击.……………(15分)18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质.解析(I,……(1分)解得a=1(3分)由(I)知f'(x)=In(x+1)+(Ⅲ)存在实数x>0,使得(k-2)x-1>f(x)成立，即成立………………(9分),则0,…(10分)令h(x)=x-1-In(x+1),则在(0,+0)上恒成立，故h(x)在(0,+0)上单调递增.………………………(11分)又h(2)=1-In3<0,h(3)=2-I所以g(x)在(0,xo)上单调递减，在(x₀,+0)上单调递增，……………(14分)故k的最小整数值为5.……………………(17分)解析(I)由题意………………(2分)所以|…………(7分)(Ⅲ)在方程x²-3y²=1中，令x=1,得y=0,令x=2,得y=±1,则………(8分)所以(2+√3)²(2-√3)²=(7+4√3)(7-4√3)=7²-3×4²=1,得(7,4)是C上的一个格点，(2+√3)³(2-√3)³=(26+15√3)(26-15√3)=26²-3×15²=1,得(26,15)是C上的一个格点.按这种构造方式，由(2+√3)"=x₀+√3y。(n=1,2,3,…)可以得到一系列格点.…(10分