变化率与导数 课件

变化率与导数导数的概念

在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。

Newton1642—1727

英国物理学家和数学家．他在物理学上最主要的成就是发现了万有引力定律.数学上，他与德国莱布尼兹创建了“微积分学”费尔马阿基米德

Archimedes

前287—前212

古希腊数学家和物理学家．在数学上，他利用穷竭法解决了许多复杂的曲线或曲面围成的平面图形或立方体的求积问题．牛顿PierredeFermat1601—1665

法国数学家．律师．业余研究数学．解析几何的创始人．有著名的“费尔马大定理”．1638年发现求极值的方法，是微积分学的先驱．引例：汽车早上9:00从距离A地10公里的B地出发，11:00到达距A地130公里的C地，求汽车的平均速度ABC定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义，当自变量x在点x0处有改变量Dx时，函数y相应的增量

Dy=f(x0+Dx)－f(x0)平均变化率瞬时速度

一小球做自由落体运动，考察小球在研究其运动方程为秒时的.引例…[1.5,2]

[1.99,2][1.9999,2]0.50.01

0.0001

…17.15019.55119.6002019.6[2,2.001]0.00119.605[2,2.01]0.0119.64922.0500.5[2,2.5]其变化情况见下表：定义：如果当Dx0

时，的极限存在这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数（或瞬时变化率）作即导数的定义其它形式:什么叫做极限呢？男孩喜欢上了女孩，他向她表白，女孩拒绝了，她说：我整整比你大一岁。男孩说：我1个月时，你13个月。你是我的13倍。我2个月时，你14个月。你是我的7倍。我一岁时，你两岁，你是我的两倍。只要你愿意和我永远在一起，我们总在慢慢无限接近……如果存在，处导数为无穷大在处不可导则称可导与不可导如果不存在，在处可导则称如果则称在求函数y=f(x)的导数可分为以下三个步骤：

(1)求函数的增量:(2)算比值,(3)取极限，得y=f(x)导数例1:已知y=x2，求(1)函数在区间的平均变化率(2)函数在x=2处的导数；课堂练习

导数与导函数的区别与联系区别：

是一常数。

是一函数。

联系：

注：通常，导函数也简称为导数．

曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy

如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.

当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.

设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:

应用:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:(1)利用切线斜率的定义求出切线的斜率.(2)利用点斜式求切线方程.1、函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；2、函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导。如函数在x=0处有切线，但不可导。注意练习巩固1、已知曲线y=x2上一点A（1，1），则点A处的切线的斜率为

。2、过曲线y=x2上一点P的切线的倾斜角为45°，则P点的坐标为

.导数的几何意义

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是

.故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:在点P附近,曲线可以用过点P的切线近似代替以直代曲的思想例:在三米板跳水中某一运动员距离水面的高度随时间变化的函数为h(t)=-t2+2t+3,试求该函数在(1)t=0,(2)t=1,(3)t=2时的导数结合图象,描述,比较曲线在上述三种情况附近的变化情况30143th归纳:1、f’(x0)>0,f(x)