2023届山东德州市武城县数学九上期末考试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．关于x的方程ax2+bx+c＝0是一元二次方程，则满足（）A．a≠0 B．a＞0 C．a≥0 D．全体实数2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC＝∠PCA，则线段AP长的最小值为（）A．0.5 B．﹣1 C．2﹣ D．3．如图，矩形的面积为4，反比例函数（）的图象的一支经过矩形对角线的交点，则该反比例函数的解析式是（）A． B． C． D．4．不等式的解为（）A． B． C． D．5．如图，为的直径，为上一点，弦平分，交于点，，，则的长为（）A．2.2 B．2.5 C．2 D．1.86．已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣27．如图图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．8．点P(6，-8)关于原点的对称点的坐标为()A．(-6，8) B．(–6，-8) C．(8，-6) D．(–8，-6)9．若关于x的一元二次方程kx2+2x–1=0有实数根，则实数k的取值范围是A．k≥–1 B．k>–1C．k≥–1且k≠0 D．k>–1且k≠010．在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F，那么下列选项正确的是（）①BP=BF；②如图1，若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD=25，且AE＜DE时，则DE=16；④在③的条件下，可得sin∠PCB=；⑤当BP=9时，BE∙EF=108.A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤11．如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A．10米 B．15米 C．25米 D．30米12．已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（）A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n二、填空题（每题4分，共24分）13．将边长分别为，，的三个正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为______.14．在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=3，那么正方形ABCD的面积是__________．15．代数式中的取值范围是__________．16．为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是______小时．睡眠时间（小时）6789学生人数864217．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为_____．18．若一个正多边形的每一个外角都等于36°，那么这个正多边形的中心角为__________度．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上.（1）在方格纸中画出以为一边的锐角等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为；（2）在方格纸中画出以为一边的直角三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为5；（3）连接，请直接写出线段的长.20．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分别交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．21．（8分）一个不透明的口袋中装有4张卡片，卡片上分别标有数字1、﹣2、3、﹣4，这些卡片除数字外都相同．王兴从口袋中随机抽取一张卡片，钟华从剩余的三张卡片中随机抽取一张，求两张卡片上数字之积．（1）请你用画树状图或列表的方法，列出两人抽到的数字之积所有可能的结果．（2）求两人抽到的数字之积为正数的概率．22．（10分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？23．（10分）如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于，两点，其中点的坐标为，点在轴上．是轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别与直线和二次函数的图象交于，两点．（1）求的值及这个二次函数的解析式；（2）若点的横坐标，求的面积；（3）当时，求线段的最大值；（4）若直线与二次函数图象的对称轴交点为，问是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．24．（10分）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A,B,C,D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）25．（12分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？26．若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，﹣2），求此二次函数解析式．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．【详解】由于关于x的方程ax2+bx+c＝1是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即a≠1．故选：A．【点睛】此题考查一元二次方程的定义，熟记一元二次方程满足的条件即可正确解题.2、C【分析】先计算出∠PBC+∠PCB＝45°，则∠BPC＝135°，利用圆周角定理可判断点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，作所对的圆周角∠BQC，利用圆周角定理计算出∠BOC＝90°，从而得到△OBC为等腰直角三角形，四边形ABOC为正方形，所以OA＝BC＝2，OB=，根据三角形三边关系得到AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），于是得到AP的最小值.【详解】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，即∠PCB+∠PCA＝45°，∵∠PBC＝∠PCA，∴∠PBC+∠PCB＝45°，∴∠BPC＝135°，∴点P在以BC为弦的⊙O上，如图，连接OA交于P′，作所对的圆周角∠BQC，则∠BCQ＝180°﹣∠BPC＝45°，∴∠BOC＝2∠BQC＝90°，∴△OBC为等腰直角三角形，∴四边形ABOC为正方形，∴OA＝BC＝2，∴OB＝BC＝，∵AP≥OA﹣OP（当且仅当A、P、O共线时取等号，即P点在P′位置），∴AP的最小值为2﹣．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理及等腰直角三角形的性质.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.3、D【分析】过P点作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，根据矩形的性质得S矩形OEPF=S矩形OACB=1，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解．【详解】过P点作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，如图所示：

∵四边形OACB为矩形，点P为对角线的交点，

∴S矩形OEPF=S矩形OACB=×4=1．

∴k=-1，

所以反比例函数的解析式是：.故选：D【点睛】考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．4、B【分析】根据一元一次不等式的解法进行求解即可．【详解】解：移项得，，合并得，，系数化为1得，．故选：B．【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，属于基础题型，明确解法是关键．5、A【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出，可解得DE的长．【详解】连接BD、CD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴，∵弦AD平分∠BAC，∴CD=BD=，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，∠BAD=∠EBD，∠ADB=∠BDE，∴△ABD∽△BED，∴，即，解得DE=1.1．故选：A．【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED．6、D【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【详解】解：∵y＝x2−4x＋2＝（x−2）2−2，∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值−2，当x＝−1时，有最大值为y＝9−2＝1．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键．7、D【分析】根据中心对称图形的概念和识别．【详解】根据中心对称图形的概念和识别，可知D是中心对称图形，A、C是轴对称图形，D既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．故选D．【点睛】本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念，会判断一个图形是否是中心对称图形．8、A【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），可以直接选出答案．【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点可得：点P（6，-8）关于原点过对称的点的坐标是（-6，8）．故选：A.【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，关键是熟记关于原点对称的点的坐标的特点：它们的坐标符号相反．9、C【解析】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=1有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=4+4k≥1，且k≠1，解得：k≥﹣1且k≠1．故选C．点睛：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于1，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于1，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于1，方程没有实数根．10、C【分析】易证BE∥PG可得∠FPG=∠PFB，再由折叠的性质得∠FPB=∠FPG，所以∠FPB=∠PFB，根据等边对等角即可判断①；由矩形的性质得∠A=∠D=90°，AB=CD，用SAS即可判定全等，从而判断②；证明△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求出DE，从而判断③；证明△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得到sin∠PCB的值，从而判断④；证明△GEF∽△EAB，利用对应边成比例可得出结论，从而判断⑤.【详解】①∵四边形ABCD为矩形，顶点B的对应点是G，∴∠G=90°，即PG⊥CG，∵BE⊥CG∴BE∥PG∴∠FPG=∠PFB由折叠的性质可得∠FPB=∠FPG，∴∠FPB=∠PFB∴BP=BF，故①正确；②∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC又∵点E是AD的中点，∴AE=DE在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（SAS），故②正确；③当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，即，解得AE=9或16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，故③正确；④在Rt△ABE中，在Rt△CDE中，由①可知BE∥PG，∴△ECF∽△GCP∴设BP=BF=PG=a，则EF=BE-BF=15-a，由折叠性质可得CG=BC=25，∴，解得，在Rt△PBC中，∴sin∠PCB=，故④错误.⑤如图，连接FG，

∵∠GEF=∠PGC=90°，

∴∠GEF+∠PGC=180°，

∴BF∥PG

∵BF=PG，

∴四边形BPGF是菱形，

∴BP∥GF，GF=BP=9

∴∠GFE=∠ABE，

∴△GEF∽△EAB，

∴

∴BE•EF=AB•GF=12×9=108，故⑤正确；①②③⑤正确，故选C.【点睛】本题考查四边形综合问题，难度较大，需要熟练掌握全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理和三角函数，综合运用所学几何知识是关键.11、B【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，由此即可得到AB=2AC，而根据题意找到CA=5米，由此即可求出AB，也就求出了大树在折断前的高度．【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，∴AB=2AC，而CA=5米，∴AB=10米，∴AB+AC=15米．所以这棵大树在折断前的高度为15米．故选B．【点睛】本题主要利用定理--在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．12、D【解析】根据反比例函数的性质，可得答案．【详解】∵y=−的k=-2＜1，图象位于二四象限，a＜1，∴P（a，m）在第二象限，∴m＞1；∵b＞1，∴Q（b，n）在第四象限，∴n＜1．∴n＜1＜m，即m＞n，故D正确；故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k＜1时，图象位于二四象限是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL的面积减去梯形BENK的面积，再利用相似三角形的性质求出BK、EN的长从而求出梯形的面积即可得出答案.【详解】解：如图所示，∵四边形MEGH为正方形，∴∴△AEN△AHG∴NE:GH=AE:AG∵AE=2+3=5，AG=2+3+4=9,GH=4∴NE:4=5:9∴NE=同理可求BK=梯形BENK的面积：∴阴影部分的面积：故答案为：.【点睛】本题主要考查的知识点是图形面积的计算以及相似三角形判定及其性质，根据相似的性质求出相应的边长是解答本题的关键.14、1【分析】由正方形的面积公式可求解．【详解】解：∵AC=3，

∴正方形ABCD的面积=3×3×=1，

故答案为：1．【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练运用正方形的性质是解题的关键．15、；【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，列出不等式即可求出取值范围.【详解】∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0∴解得故答案为：.【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数大于等于0是解题的关键.16、1【解析】根据中位数的定义进行求解即可．【详解】∵共有20名学生，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10和11个数的平均数，∴这些测试数据的中位数是=1小时；故答案为：1．【点睛】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．17、．【分析】由图可知，三角板和量角器重叠部分的面积为扇形OAB的面积与△OBC面积的和，由此其解【详解】解：∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°．在Rt△OBC中，OC=2cm，∠BOC=60°，∴．∴．故答案为：18、1【分析】根据题意首先由多边形外角和定理求出正多边形的边数n，再由正多边形的中心角=，即可得出答案．【详解】解：∵正多边形的每一个外角都等于1°，∴正多边形的边数为：，∴这个正多边形的中心角为：.故答案为：1．【点睛】本题考查正多边形的性质和多边形外角和定理以及正多边形的中心角的计算方法，熟练掌握正多边形的性质并根据题意求出正多边形的边数是解决问题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）作图见解析（2）作图见解析（3）【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．【详解】（1）如图所示：△ABC即为所求；（2）如图所示：△DFE，即为所求；（3）CF=．【点睛】本题考查了应用设计与作图以及等腰三角形的性质和勾股定理等知识，根据题意得出对应点位置是解题的关键．20、（1）抛物线的对称轴x＝1，A（6，0）；（1）△ACD的面积为11；（3）点P的坐标为（1，1）或（1，6）或（1，3）．【分析】（1）令y=0，求出x，即可求出点A、B的坐标，令x＝0，求出y即可求出点C的坐标，再根据对称轴公式即可求出抛物线的对称轴；（1）先将二次函数的一般式化成顶点式，即可求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点F的坐标，根据“铅垂高，水平宽”求面积即可；（3）根据等腰三角形的底分类讨论，①过点O作OM⊥AC交DE于点P，交AC于点M，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质即可得出此时AC为等腰三角形ACP的底边，且△OEP为等腰直角三角形，从而求出点P坐标；②过点C作CP⊥DE于点P，求出PD，可得此时△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，从而求出点P坐标；③作AD的垂直平分线交DE于点P，根据垂直平分线的性质可得PD＝PA，设PD＝x，根据勾股定理列出方程即可求出x，从而求出点P的坐标.【详解】（1）对于抛物线y＝﹣x1+1x+6令y＝0，得到﹣x1+1x+6＝0，解得x＝﹣1或6，∴B（﹣1，0），A（6，0），令x＝0，得到y＝6，∴C（0，6），∴抛物线的对称轴x＝﹣＝1，A（6，0）．（1）∵y＝﹣x1+1x+6＝，∴抛物线的顶点坐标D（1，8），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（6，0）和C（0，6）代入解析式，得解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，将x=1代入y＝﹣x+6中，解得y=4∴F（1，4），∴DF＝4，∴＝＝11；（3）①如图1，过点O作OM⊥AC交DE于点P，交AC于点M，∵A（6，0），C（0，6），∴OA＝OC＝6，∴CM＝AM，∠MOA=∠COA=45°∴CP＝AP，△OEP为等腰直角三角形，∴此时AC为等腰三角形ACP的底边，OE＝PE＝1．∴P（1，1），②如图1，过点C作CP⊥DE于点P，∵OC＝6，DE＝8，∴PD＝DE﹣PE＝1，∴PD＝PC，此时△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴P（1，6），③如图3，作AD的垂直平分线交DE于点P，则PD＝PA，设PD＝x，则PE＝8﹣x，在Rt△PAE中，PE1+AE1＝PA1，∴（8﹣x）1+41＝x1，解得x＝5，∴PE＝8﹣5=3，∴P（1，3），综上所述：点P的坐标为（1，1）或（1，6）或（1，3）．【点睛】此题考查的是二次函数与图形的综合大题，掌握将二次函数的一般式化为顶点式、二次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法、利用“铅垂高，水平宽”求三角形的面积和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.21、（1）详见解析；（2）．【分析】（1）根据题意可以画出树状图，即可列出两人抽到的数字之积所有可能的结果；（2）根据概率公式，结合（1）中的结果即可求得两人抽到的数字之积为正数的概率．【详解】解：（1）如下图所示，；（2）由（1）可知，一共有12种可能性，两人抽到的数字之积为正数的可能性有4种，∴两人抽到的数字之积为正数的概率是：=，即两人抽到的数字之积为正数的概率是．【点睛】本题考查了用列表法（或树状图法）求概率：当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率.22、（20+17）cm．【分析】过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，在Rt△BCM和Rt△ABF中，通过解直角三角形可求出CM、BF的长，再由CE=CM+BF+ED即可求出CE的长．【详解】过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，如图所示．在Rt△BCM中，BC=30cm，∠CBM=30°，∴CM=BC•sin∠CBM=15cm．在Rt△ABF中，AB=40cm，∠BAD=60°，∴BF=AB•sin∠BAD=20cm．∵∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2=20+17（cm）．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是（20+17）cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形求出CM、BF的长是解题的关键．23、(1)，；(2)；(3)DE的最大值为；(4)存在，点的坐标为或()或(，0)【分析】(1)根据直线经过点A(3，4)求得m=1，根据二次函数图象的顶点坐标为M(1，0)，且经过点A(3，4)即可求解；

(2)先求得点的坐标，点D的坐标，根据三角形面积公式即可求解；(3)由题意得，则根据二次函数的性质即可求解；(4)分两种情况：D点在E点的上方、D点在E点的下方，分别求解即可．【详解】(1)∵直线经过点，

∴，∴，

∵二次函数图象的顶点坐标为，

∴设二次函数的解析式为：

∵抛物线经过，∴，解得：，

∴二次函数的解析式为：；

(2)把代入得，

∴点的坐标为，

把代入得，

∴点D的坐标为(2，3)，

∴，

∴；

(3)由题意得，

∴∴当(属于范围)时，DE的最大值为；

(4)满足题意的点P是存在的，理由如下：∵直线AB：，当时，，∴点N的坐标为(1，2)，∴，

∵要使四边形为平行四边形只要，

∴分两种情况：

①D点在E点的上方，则

，

∴，

解得：(舍去)或；

②D点在E点的下方，则

，∴，解得：或综上所述，满足题意的点P是存在的，点P的坐标为或()或(，0)．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意