选修1-1 232 抛物线的几何性质

2.3抛物线的简单几何性质.FM.－－抛物线标准方程1、抛物线的定义：一、温故知新标准方程

图形

焦点

准线xyoF..xyFo.yxoF.xoyF2、抛物线的标准方程：范围1、由抛物线y2=2px（p>0）有所以抛物线的范围为抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。二、探索新知如何研究抛物线y2=2px（p>0）的几何性质?对称性2、关于x轴对称即点(x,-y)

也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，顶点3、

定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p>0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p>0)的顶点（0，0）.注:这与椭圆有四个顶点不同。4、开口方向P(x,y)抛物线y2=2px（p>0）的开口方向向右。+X，x轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下离心率5、P(x,y)

抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。

由定义知，抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.|AB|=2p通径6、2p越大，抛物线张口越大.思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径7、xyOFP方程图形范围对称性顶点焦半径

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称

关于x轴对称

关于y轴对称

关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）分析:直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；另一种是直线与抛物线相切．例1已知抛物线的方程为y2=4x

,直线l过定点P(-2,1),斜率为k

,k为何值时,直线与抛物线y2=4x:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?分析:直线与抛物线有两个公共点时△>0分析:直线与抛物线没有公共点时△<0注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点P转动的情形132过点且与抛物线只有一个公共点的直线的条数过点1过点2过点33条2条1条xyOFABB’A’例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1xyOFABB’A’例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解法二:由题意可知,ABFA1B1H

ABFA1B1H同理

lFAxyBB1pp1A1通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为的最小值AxyOBF2F1AxyOBF2F1(2)过抛物线的焦点做倾斜角为的直线L,设L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.例2、(1)过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为

.思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？FAxyBFFyOxBA例6、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.1、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.3、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线于抛物线交于A、B，求AB中点的轨迹方程.探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyO(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=故所求抛物线的标准方程为:y2=x,焦点为(,0)24l例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽多少？xoAy若在水面上有一宽为2米,高为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？思考题2BA（2,－2）x2=－2yB（1，y）y=－0.5B到水面的距离为1.5米不能安全通过y=－3代入得例题3归纳:

(1)抛物线只位于半个坐标平面内,它也可以无限延伸

(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线；

(4)抛物线的离心率e是确定的为１,⑸抛物线的通径为2P,2p越大,抛物线的张口越大.

因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），解:所以设方程为：又因为点M在抛物线上：所以：因此所求抛物线标准方程为：

例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.三、典例精析

（1）已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P

=

。

（2）抛物线的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为

。42（3）已知直线x-y=2与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是

。

四、课堂练习5.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为()(A)3(B)4(C)5(D)6

4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线x-2y-4=0上.(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为6、已知Q(4,0)，P为抛物线上任一点，则|PQ|的最小值为()A.B.