北师大版数学八年级下册关于线段中点的解题策略

专题5：线段中点的解题策略一、学生知识状况分析线段的中点是一个常见且重要的几何对象，它在解决数学问题中有广泛的应用，本节专题课特意把中点作为专题研究对象，通过从轴对称、中心对称和三角形的中位线三个层次去寻找解题策略。这节课是学生学完八下平行四边形内容后所进行，刚好线段的垂直平分线、等腰三角形的三线合一和三角形的中位线等这些知识点中都的中点产生，学生具有一定的综合能力，老师可以在此基础是帮助学生提升，从而培养学生的解题策略。二、教学任务分析基于教科知识书①轴对称的性质：左右对称被对称轴垂直平分，而线段的垂直平分线和等腰三角形的三线合一都与轴对称有关；②中心对称的性质：图形关于对称中心旋转180度与原图形重合，而倍长中线正满足此特点；③三角形的中位线，是特殊图形中的中点性质。在解题时，我们往往发现的中点这个条件，但是不知道怎样使用，特别是需要作辅助线时，不知道如何出手。综上所述，本节的教学目标为：1.利用轴对称性质解题（线段垂直平分线和等腰三角形三线合一）。2.利用中心对称性质解题（倍长中线）。3.利用三角形中位线定理解题。三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：热身助学；第二环节：例题研学；第三环节：感悟促学；第四环节：课堂小结；第五环节：课堂检学；第六环节：家庭作业。第一环节热身助学教师：同学们，线段的中点是一个常见且重要的几何对象，它在解决数学问题中有着广泛的应用，今天我们一起来学习线段中点的解题策略，先请大家做热身助学4道题，时间4分钟。1、如图1，在∆ABC中，已知AC=27，点D为AB的中点，且DE⊥AB交AC于点E，∆BCE的周长等于50，则BC=。2、如图2，等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是cm.图1图2图3图43、（2020宝安）如图3，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接CD，若S△DEC=1，则△ABC的面积是（）A．4B.5C.6D.74、如图4，在∆ABC中，D为BC的中点，若AC=3,AD=4，则AB的长不可能是（）A．5 B．7 C．8 D．9设计意图：通过这4道题的热身练习，让学生从1、2题中领悟到线段的垂直平分线和等腰三角形的三线合一其实就是轴对称图形的性质应用，从而让学生明白此题的解题策略就是过线段中点作垂直平分线和过等腰三角形底边的中点作中线（或高或顶角平分线）。第3题要让学生明白看到三角形一边上的中点就要想到中位线，那就要找另一边的中点，然后画出中位线，再利用三角形中位线性质来计算和证明。第4题最难，很多同学想不到解题方向，我们要引导学生去思考，一边上的中点，实质上可以看成中心对称，我们把一个图形绕着中点旋转180º后，发现就出现中心对称图象，如果是三角形绕着中点旋转180º后，就会产生三角形全等。教师：请同学们回答你的答案？问1：请问第2题你是怎样想的？问2：请问第4题你是怎样想的？为什么要这样画辅助线？你的根据是什么？问3：第4题还能怎样画辅助线？你的根据是什么？与前面同学的解法有什么不一样吗？问4：以后遇到中点时，我们有哪些解题策略？第二环节例题研学【教学内容】例1：如图5，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长AC于点F，AF=EF。求证：AC=BE。图5图5教师：同学们，请认真读题，你能发现例1与刚才我们热身助学中哪题接近？大家先思考1分钟，再讨论交流1分钟后，老师再请一位同学来说题。请一位同学去黑板上板书解法，如果发现有不同的解法，也可以请第二种解法的同学上黑板板书解法。设计意图：通过此例题的研学，让学生明白此题中点的解题重点就是画出全等三角形，我们是把线段绕着中点旋转180º（中心对称）得出全等图形的，其本质就是中心对称。证法一：如图，延长AD到G，使得DG=AD．在△ADC和△GDB中，AD＝GD∠ADC＝∠GDBCD＝BD，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC=BG且∠CAD=∠G∵AE=EF，∴∠AEF=∠CAD，∵∠AEF=∠BEG，∴∠CAD=∠BEG，∴∠G=∠BEG，∴BG=BE，∵AC=BG，∴AC=BE．证法二：如图，延长ED到H，使得DH=ED．在△BDE和△CDH中，ED＝HD∠BDE＝∠CDHBD＝CD，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH且∠BED=∠H∵∠AEF=∠BED，∴∠G=∠AEF，∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF，∴∠G=∠EAF，∴AC=CH，∵BE=CH，∴AC=BE．把两种常见的解法板书出来，让学生对比后，更加理解解法的实质就是中心对称。例2：如图6，在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，E是AB中点，AC=15，BC=27，则DE=。解：如图，延长AD交BC于F，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC，在△ACD和△FCD中，∠ACD＝∠FCDCD＝CD∠ADC＝∠FDC∴△ACD≌△FCD（ASA）∴AC=CF，AD=DF，∵BC=27，AC=15，∴BF=27-15=12，∵E是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴DE=BF=×12=6．【教学目的】通过这个环节，培养了学生的观察和对比分析能力。上课时让学生观察图形，从热身助学中寻找解题策略，要让学生体会数学解题的关键点——中点，对比中点策略中哪种方式能解决问题，从而让学生体验解决数学问题的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣。第三环节感悟促学【教学内容】练习1.如图7，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，DG是△BCF的中位线，求证：AF＝FC．图7图7练习2．如图8，在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20．则DM=．图8图8【教学目的】通过感悟促学这个环节来巩固例题的解法，让学生进一步掌握中线倍长和三角形中位线的解法，实现了从感性认识到理性认识的升华。第四环节课堂小结本节课我们探讨了线段中点的解题策略，我们来共同总结一下：【教学目的】教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获；培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，培养学生的自我评价能力、反思意识及总结能力。【注意事项】学生们畅所欲言自己的收获，老师对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，及时引导学生归纳总结本节的知识。第五环节课堂检学【教学内容】1．（2019年宝安）如图9，在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，点E为BC中点，连接OE，OE＝，则▱ABCD的周长为。图9图10图112．（2019年宝安）如图10，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（）A．△ABD≌△ECD B．连接BE，四边形ABEC为平行四边形C．DA＝DE D．CE＝CA3．（2018年宝安）如图11，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N点，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，若AC＝3，BC＝4，则BE=。【教学目的】通过课堂检学了解本节课的学习效果，要注意有些同学第3题因为要使用三角形勾股定理的计算，可能计算能力差会算错，或者由于计算原因而影响正确答案。第六环节家庭作业:如图11，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为厘米．2、如图12，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB的中点，若△AED的面积为3，则△ABC的面积为。图11图12图133、如图13，等腰△ABC的底边长为5，面积是15．腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于