《全称量词与存在量词》同步练习5

《全称量词与存在量词》同步练习1．下列语句不是全称命题的是()A．模相等的向量是相等向量B．共线向量所在直线共线C．在平面向量中，有些向量是共线向量D．每一个向量都有大小解析：选C.根据全称命题的定义以及所含的量词可知，A、B、D为全称命题C，为特称命题．2．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3解析：选D.由特称命题的定义以及含有的量词可知A、B、C是全称命题，D是特称命题．3．下列命题是真命题的是()A．∀x∈R，(x－eq\r(2))2>0B．∀x∈Q，x2>0C．∃x0∈Z,3x0＝812D．∃x0∈R,3xeq\o\al(2,0)－4＝6x0解析：选中当x＝eq\r(2)时不等式不成立，故不是真命题．B中当x＝0时，不等式不成立，故不是真命题．C中x0＝eq\f(812,3)∉Z，故也不是真命题．D中3xeq\o\al(2,0)－6x0－4＝0中Δ＝(－6)2＋12×4>0，方程有解，故是真命题．4．“∀x∈R，使3x>2”的否定是()A．∀x∈R，使3x<2B．∀x∈R，使3x≤2C．∃x0∈R，使3x0<2D．∃x0∈R，使3x0≤2解析：选D.由全称命题的否定是特称命题知选D.5．(2012·高考安徽卷)命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：选C.特称命题的否定是全称命题，故选C.6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________．答案：∃x0<0，使得(1＋x0)(1－9x0)>07．用符号语言写出命题“∀a∈R，ax>0”的否定为________．解析：全称命题的否定写成特称命题．答案：∃a0∈R，aeq\o\al(x,0)≤08．命题“∃x∈R，x2＋ax＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是________．解析：若∃x∈R，x2＋ax＋1<0，则a2－4>0，即a<－2或a>2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)9．判断下列命题的真假．(1)∀x∈R，都有x2－x＋1>eq\f(1,2).(2)∃α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N.(4)∃x0，y0∈Z，使得eq\r(2)x0＋y0＝3.解：(1)真命题．∵x2－x＋1－eq\f(1,2)＝x2－x＋eq\f(1,2)＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)≥eq\f(1,4)>0.∴x2－x＋1>eq\f(1,2)恒成立．(2)真命题．例如α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,2)，符合题意．(3)假命题．例如x＝1，y＝5，x－y＝－4∉N.(4)真命题．例如x0＝0，y0＝3符合题意．10．分别写出下列含有一个量词的命题的否定，并判断它们的真假：(1)所有矩形的对角线都相等；(2)有些实数的绝对值不是正数．解：(1)“所有矩形的对角线都相等”是全称命题，它是真命题．命题的否定为“有的矩形的对角线不相等”，这是特称命题，且是假命题．(2)“有些实数的绝对值不是正数”是特称命题，它是真命题．命题的否定为“任意实数的绝对值都是正数”，这是全称命题，且是假命题．1．(2012·高考辽宁卷)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是()A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析：选C.全称命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0的否定为：綈p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)<0.2．f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使f(x0)＝g(x1)，则a的取值范围是________．解析：由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤eq\f(1,2)，又a>0，故a的取值范围是(0，eq\f(1,2)]．答案：(0，eq\f(1,2)]3．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：一切分数都是有理数；(2)q：直线l垂直于平面α，则对任意l′⊂α，l⊥l′；(3)r：若an＝－2n＋10，则存在n∈N，使Sn<0.(Sn是{an}的前n项和)解：(1)綈p：存在一个分数不是有理数，假命题．(2)綈q：直线l垂直于平面α，则∃l′⊂α，l与l′不垂直，假命题．(3)綈r：若an＝－2n＋10，则∀n∈N，有Sn≥0，假命题．4．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1,1]的值都有y>0，求实数x解：设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1,1]，∵a∈[－1,1]时，y＝f(a)>0恒成立，则(1)当x＝2时，f(a)＝2>0显然成立；(2)当x≠2时，由f(a)>0在a∈[－1,1]上恒成立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\