《几个三角恒等式》设计2

《几个三角恒等式》教学设计●教学目标1．知识与技能(1)能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解．(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题．(3)揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识．2．过程与方法让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题．通过例题讲解，总结方法．通过做练习，巩固所学知识．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力，●重点难点重点：积化和差公式、和差化积公式、万能公式及半角公式的推导．难点：综合运用公式进行三角恒等变换．●课时安排2课时●教学建议1．关于积化和差公式的教学建议教师首先让学生复习两角和与差的正、余弦公式，观察公式左边的结构形式，如：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.引导学生自己导出三角函数的积化和差公式及sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α－β)＋sin(α＋β)]等等．2．关于和差化积问题的教学建议教师要强调把两个三角函数式的和差化为积的形式，最后结果应是几个三角函数式的积的最简形式．●教学流程eq\x(创设问题情境，引导学生结合公式Sα±β、Cα±β推导出三角函数的积化和差与和差化积公式.)⇒eq\x(结合倍角公式，引导学生推导出万能代换公式并探究公式的特征及用途.)⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用三角函数的积化和差与和差化积公式进行三角函数式的求值计算的方法.⇒eq\x(通过例2及其变式训练，使学生掌握解决三角函数式化简问题中的化简技巧及化简要求.)⇒eq\x(通过例3及其变式训练，使学生掌握三角恒等式证明的基本思路和方法.)⇒eq\x(归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.)⇒eq\x(完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.)课标解读1.能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能公式．2.能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点)积化和差与和差化积公式【问题导思】利用两角和与差的正弦公式能否用sin(α＋β)与sin(α－β)表示sinαcosβ和cosα·sinβ？【提示】∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ,sinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ))，∴sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，即sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．同理得cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．eq\x(积化和差公式)sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]eq\x(和差化积公式)sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2)万能代换公式【问题导思】结合前面所学倍角公式，能否用taneq\f(α,2)表示sinα？【提示】sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),cos2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))，即sinα＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)).设taneq\f(α,2)＝t，则sinα＝eq\f(2t,1＋t2)，cosα＝eq\f(1－t2,1＋t2)，tanα＝eq\f(2t,1－t2).三角函数式求值问题求值：sin20°sin40°sin60°sin80°.【思路探究】首先将三角函数化为余弦形式，代入特殊值后进行积化和差．【自主解答】原式＝cos10°cos30°cos50°cos70°＝eq\f(\r(3),2)cos10°cos50°cos70°＝eq\f(\r(3),2)[eq\f(1,2)(cos60°＋cos40°)·cos70°]＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),4)cos40°cos70°＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),8)(cos110°＋cos30°)＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),8)cos110°＋eq\f(3,16)＝eq\f(3,16).1．三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角．(1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．(2)给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角运算及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用．同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性，从而达到解题的目的．2．求值主要方法有：①消去法；②方程法；③比例性质法等．求sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°的值．【解】法一原式＝eq\f(1－cos40°,2)＋eq\f(1＋cos100°,2)＋eq\f(1,2)(sin70°－sin30°)＝1＋eq\f(1,2)(cos100°－cos40°)＋eq\f(1,2)sin70°－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)(－2sin70°sin30°)＋eq\f(1,2)sin70°＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)sin70°＋eq\f(1,2)sin70°＝eq\f(3,4).法二令x＝sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°，y＝cos220°＋sin250°＋cos20°sin50°，则x＋y＝2＋sin70°，①x－y＝－cos40°＋cos100°＋sin(－30°)＝－2sin70°sin30°－eq\f(1,2)，即x－y＝－eq\f(1,2)－sin70°，②①＋②得2x＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，∴x＝eq\f(3,4).即sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝eq\f(3,4).三角函数式化简问题化简(eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2))(1＋tanα·taneq\f(α,2))．【思路探究】题目中有角eq\f(α,2)，也有角α，利用正切的半角公式的有理表达式可以把eq\f(α,2)的三角函数转化为α的三角函数，然后将角α的正切转化为α的正、余弦函数，化简即得．【自主解答】(eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2))(1＋tanαtaneq\f(α,2))＝(eq\f(1＋cosα,sinα)－eq\f(1－cosα,sinα))(1＋eq\f(sinα,cosα)·eq\f(1－cosα,sinα))＝eq\f(2cosα,sinα)(1＋eq\f(1－cosα,cosα))＝eq\f(2cosα,sinα)·eq\f(1,cosα)＝eq\f(2,sinα).1．三角恒等变换常用技巧：(1)常值代换；(2)切化弦，弦化切；(3)降幂变倍角，升幂变半角；(4)角的变换；(5)公式的正用、逆用和变形用．2．对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．化简：cos2A＋cos2(eq\f(2π,3)＋A)＋cos2(eq\f(4π,3)＋A)．【解】原式＝eq\f(1－cos2A,2)＋eq\f(1－cos\f(4π,3)＋2A,2)＋eq\f(1－cos\f(8π,3)＋2A,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2A＋cos(eq\f(4π,3)＋2A)＋cos(eq\f(8π,3)＋2A)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2A＋2cos(2π＋2A)coseq\f(2π,3)]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2A－cos(2π＋2A)]＝eq\f(3,2).三角恒等式的证明求证：sinαsin(60°＋α)sin(60°－α)＝eq\f(1,4)sin3α.【思路探究】恒等式的左边是函数积的形式且各三角函数的角不一样，应根据积化和差公式对左边变形整理，进行角的统一．【自主解答】左边＝sinα[－eq\f(1,2)(cos120°－cos2α)]＝eq\f(1,4)sinα＋eq\f(1,2)sinαcos2α＝eq\f(1,4)sinα＋eq\f(1,4)[sin3α＋sin(－α)]＝eq\f(1,4)sin3α＝右边，∴原等式成立．1．当对三个或三个以上的正弦或余弦函数因式的积通过积化和差公式进行化简时，选择因式的依据是使两因式的和或差是特殊角或与其他因式的角相同或相关．2．证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证．在△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＝4coseq\f(A,2)·coseq\f(B,2)coseq\f(C,2).【证明】由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，即eq\f(C,2)＝90°－eq\f(A＋B,2).∴coseq\f(C,2)＝sineq\f(A＋B,2).∴sinA＋sinB＋sinC＝2sineq\f(A＋B,2)·coseq\f(A－B,2)＋sin(A＋B)＝2sineq\f(A＋B,2)·coseq\f(A－B,2)＋2sineq\f(A＋B,2)·coseq\f(A＋B,2)＝2sineq\f(A＋B,2)(coseq\f(A－B,2)＋coseq\f(A＋B,2))＝2coseq\f(C,2)·2coseq\f(A,2)·cos(－eq\f(B,2))＝4coseq\f(A,2)coseq\f(B,2)coseq\f(C,2).∴原等式成立.进行三角恒等变换时忽略角的取值范围致误已知α为第三象限角，且coseq\f(α,2)＞0，tanα＝3，求taneq\f(α,2)的值．【错解】∵tanα＝3，∴eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝3，∴3tan2eq\f(α,2)＋2taneq\f(α,2)－3＝0，∴taneq\f(α,2)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(10),3)或taneq\f(α,2)＝－eq\f(1,3)－eq\f(\r(10),3).【错因分析】本题由于忽略角的取值范围而导致错误，应对eq\f(α,2)的范围进行讨论．【防范措施】在进行三角恒等变换时，忽略了角的取值范围，出现前、后取值范围不一致的情况．【正解】∵tanα＝3，所以eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝3，∴3tan2eq\f(α,2)＋2taneq\f(α,2)－3＝0，∴taneq\f(α,2)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(10),3)或taneq\f(α,2)＝－eq\f(1,3)－eq\f(\r(10),3).∵coseq\f(α,2)＞0，α为第三象限角，∴eq\f(α,2)为第四象限角，所以taneq\f(α,2)＜0，∴taneq\f(α,2)＝－eq\f(1,3)－eq\f(\r(10),3).1．三角函数式化简结果的三大要求(1)能求值的求值；(2)不能求值的要保证三角函数的种类最少、项数最少、次数最低；(3)分式的分母中尽量不含根号．2．三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“eq\f(左边,右边)＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，一直到探求出已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．1．sin105°＋sin15°＝________.【解析】原式＝2sineq\f(105°＋15°,2)·coseq\f(105°－15°,2)＝2sin60°cos45°＝eq\f(\r(6),2).【答案】eq\f(\r(6),2)2．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值是________．【解析】原式＝eq\f(1,2)[sin90°＋sin(－50°)]－eq\f(1,2)[cos60°－cos(－40°)]＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)sin50°－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)cos40°＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f(1,2)sin50°＝eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)3．化简cosα＋cos(120°－α)＋cos(120°＋α)＝________.【解析】cosα＋cos(120°－α)＋cos(120°＋α)＝cosα＋2cosαcos120°＝cosα－cosα＝0.【答案】04．求证：(1)sin(α＋β)·sin(α－β)＝cos2β－cos2α；(2)eq\f(cosα－cosβ,sinα＋sinβ)＝taneq\f(β－α,2).【证明】(1)∵左边＝－eq\f(1,2)[cos2α－cos2β]＝－eq\f(1,2)[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝cos2β－cos2α＝右边，∴原等式成立．(2)∵左边＝eq\f(－2sin\f(α＋β,2)sin\f(α－β,2),2sin\f(α＋β,2)cos\f(α－β,2))＝－eq\f(sin\f(α－β,2),cos\f(α－β,2))＝－taneq\f(α－β,2)＝taneq\f(β－α,2)＝右边，∴原等式成立.一、填空题1．sin°cos°＝________.【解析】原式＝eq\f(1,2)[sin°＋°)＋sin°－°)]＝eq\f(1,2)(sin45°＋sin30°)＝eq\f(1,2)×(eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2))＝eq\f(\r(2)＋1,4).【答案】eq\f(\r(2)＋1,4)2．化简：eq\f(sin15°＋cos65°,cos15°＋sin65°)＝________.【解析】原式＝eq\f(sin15°＋sin25°,cos15°＋cos25°)＝eq\f(2sin20°cos5°,2cos20°cos5°)＝tan20°.【答案】tan20°3．函数f(x)＝sin(2x－eq\f(π,3))cos(2x＋eq\f(π,3))的周期是________．【解析】∵f(x)＝eq\f(1,2)[sin4x＋sin(－eq\f(2π,3))]＝eq\f(1,2)sin4x－eq\f(\r(3),4)，∴T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2).【答案】eq\f(π,2)4．(2013·临沂高一检测)求值：sin20°＋sin40°＋sin60°－sin80°＝________.【解析】sin20°＋sin40°＋sin60°－sin80°＝2sin30°cos(－10°)＋sin60°－sin80°＝2×eq\f(1,2)×sin80°＋eq\f(\r(3),2)－sin80°＝eq\f(\r(3),2).【答案】eq\f(\r(3),2)5．已知α－β＝eq\f(2π,3)，且cosα＋cosβ＝eq\f(1,3)，则cos(α＋β)等于________．【解析】∵cosα＋cosβ＝eq\f(1,3)，∴2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＝eq\f(1,3)，∵α－β＝eq\f(2,3)π，∴coseq\f(α－β,2)＝eq\f(1,2).∴coseq\f(α＋β,2)＝eq\f(1,3)则cos(α＋β)＝2cos2(eq\f(α＋β,2))－1＝－eq\f(7,9).【答案】－eq\f(7,9)6．已知等腰三角形顶角的余弦值等于eq\f(4,5)，则这个三角形底角的正弦值为________．【解析】设该等腰三角形顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝eq\f(π,2)－eq\f(α,2)，∴sinβ＝sin(eq\f(π,2)－eq\f(α,2))＝coseq\f(α,2).∵2cos2eq\f(α,2)－1＝cosα，∴coseq\f(α,2)＝eq\r(\f(cosα＋1,2))＝eq\f(3\r(10),10).【答案】eq\f(3\r(10),10)7．直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB的最大值为________．【解析】∵A＋B＝eq\f(π,2)，sinAsinB＝eq\f(1,2)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝eq\f(1,2)cos(A－B)，又－eq\f(π,2)＜A－B＜eq\f(π,2)，∴0＜cos(A－B)≤1，∴sinAsinB有最大值eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)\f(1,sin40°)＋eq\f(cos80°,sin80°)＝________.【解析】原式＝eq\f(2cos40°＋cos80°,sin80°)＝eq\f(cos40°＋2cos60°cos20°,sin80°)＝eq\f(cos40°＋cos20°,sin80°)＝eq\f(2cos30°cos10°,sin80°)＝2cos30°＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)二、解答题9．已知θ∈(π，eq\f(3,2)π)且sineq\f(θ,2)＝eq\f(3,5)，求：(1)eq\f(sinθ,1＋cosθ)；(2)sinθ＋2cosθ.【解】∵sineq\f(θ,2)＝eq\f(3,5)，θ∈(π，eq\f(3,2)π)，∴eq\f(θ,2)∈(eq\f(π,2)，eq\f(3,4)π)．∴coseq\f(θ,2)＝－eq\r(1－sin2\f(θ,2))＝－eq\r(1－\f(3,5)2)＝－eq\f(4,5).设t＝taneq\f(θ,2)＝eq\f(sin\f(θ,2),cos\f(θ,2))＝eq\f(\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq\f(3,4).(1)eq\f(sinθ,1＋cosθ)＝eq\f(\f(2t,1＋t2),1＋\f(1－t2,1＋t2))＝eq\f(2t,2)＝t＝－eq\f(3,4).(2)sinθ＋2cosθ＝eq\f(2t,1＋t2)＋2·eq\f(1－t2,1＋t2)＝eq\f(2t＋2－2t2,1＋t2)＝eq\f(2×－\f(3,4)＋2－2×－\f(3,4)2,1＋－\f(3,4)2)＝－eq\f(2,5).10．求函数f(x)＝sinx[sinx－sin(x＋eq\f(π,3))]的最小正周期与最值．【解】f(x)＝sinx[sinx－sin(x＋eq\f(π,3))]＝sinx·2cos(x＋eq\f(π,6))sin(－eq\f(π,6))＝－sinxcos(x＋eq\f(π,6))＝－eq\f(1,2)[sin(2x＋eq\f(π,6))＋sin(－eq\f(π,6))]＝－eq\f(1,2)sin(2x＋eq\f(π,6))＋eq\f(1,4).∴最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.∵sin(2x＋eq\f(π,6))∈[－1,1]，∴f(x)max＝eq\f(3,4)，f(x)min＝－eq\f(1,4).11．已知3tan(α－eq\f(π,12))＝tan(α＋eq\f(π,12))，求证：sin2α＝1.【证明】∵3tan(α－eq\f(π,12))＝tan(α＋eq\f(π,12))，∴eq\f(3sinα－\f(π,12),cosα－\f(π,12))＝eq\f(sinα＋\f(π,12),cosα＋\f(π,12)).∴3sin(α－eq\f(π,12))cos(α＋eq\f(π,12))＝sin(α＋eq\f(π,12))cos(α－eq\f(π,12))．∴eq\f(3,2)(sin2α－sineq\f(π,6))＝eq\f(1,2)(sin2α＋sineq\f(π,6))．∴3sin2α－eq\f(3,2)＝sin2α＋eq\f(1,2)，∴sin2α＝1.求函数f(x)＝eq\f(sin\f(5,2)x,2sin\f(x,2))－eq\f(1,2)的值域．【思路探究】先通分，再将sineq\f(5,2)x－sineq\f(x,2)和差化积，约去分母sineq\f(x,2)，再变形为只含一个三角函数符号的形式．然后在函数f(x)的定义域内求值域．【自主解答】