湖南省岳阳县一中2023届高三第四次阶段考试理科数学试卷

湖南省岳阳县一中2023届高三第四次阶段考试理科数学试卷时量：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设集合P={－1，0，1}，集合Q={0，1，2，3}，定义P*Q=，则P*Q的元素的个数为（） A．4个 B．7个 C．10个 D．12个2、已知平面上三个点A、B、C满足，则的值等于 （） A．25 B．24 C．-25 D．-243、一个算法的程序框图如下图所示，若执行该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）A.B.C.D.4、在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 （） A．-5 B．1 C．2 D．35、如果直线与圆C：有2个不同的交点，那么点P(a，b)与圆C的位置关系是（）A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不确定6、当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7、已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（）（）（A）（B）（C）（D）8、定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”．有下列关于“—伴随函数”的结论：①是常数函数中唯一一个“—伴随函数”；②“—伴随函数”至少有一个零点．；③是一个“—伴随函数”；其中正确结论的个数是（）A．1个；B．2个；C．3个；D．0个；二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9、已知是方程的两根，，则10、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为11、设是公差为正数的等差数列，若等于12、若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围13、已知点M是抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点A在圆上，则|AM|+|MF|的最小值为14、设是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若，则中数字0的个数为．15、将正整数1，2，3，4，…，n2（n≥2）任意排成n行n列的数表，对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a>b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”，记为f（n）．若表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足则（1）f（3）=；（2）f（2023）=。三、解答题（16、17、18题各12分，19、20、21题各13分）16、（满分12分）△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足．（1）求角A的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．17、（满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．PABCDQPABCDQ（2）线段BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值。18、（满分12分）已知等差数列的首项，公差．且分别是等比数的．（1）求数列与的通项公式；（2）设数列对任意自然数均有：成立．求的值．19、（满分13分）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC．（1）设AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(第21题图）CAB(第21题图）CABDl20、（满分13分）已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足；（1）求椭圆的标准方程；（2）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l:y=kx+m与⊙O两点A、B.当，且满足时，求△AOB面积S的取值范围.21、（满分13分）设函数在上的最大值为.（1）求数列的通项公式；（2）证明：对任何正整数，都有成立；（3）若数列的前之和为，证明：对任意正整数都有成立.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={－1，0，1}，集合Q={0，1，2，3}，定义P*Q=，则P*Q的元素的个数为（C） A．4个 B．7个 C．10个 D．12个2、已知平面上三个点A、B、C满足，则的值等于 （C） A．25 B．24 C．-25 D．-243、一个算法的程序框图如下图所示，若执行该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（B）A.B.C.D.4、在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 （D） A．-5 B．1 C．2 D．35、如果直线与圆C：有2个不同的交点，那么点P(a，b)与圆C的位置关系是（C）A．在圆内B．在圆上C．在圆外D．不确定6、当时，恒成立，则实数的取值范围是（A）A．B．C．D．7、已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（）（A）（A）（B）（C）（D）[解析]：由得，即，∴∴，∴切线方程为，即选A(也可以不求解析式直接做出来,会更容易些!)8、定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”．有下列关于“—伴随函数”的结论：①是常数函数中唯一一个“—伴随函数”；②“—伴随函数”至少有一个零点．；③是一个“—伴随函数”；其中正确结论的个数是（A）A．1个；B．2个；C．3个；D．0个；二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分．9、已知是方程的两根，，则10、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为.【解析】该几何体是如图所示的三棱锥ABCD，可将其补形成一个长方体，半径为，体积为.（也可直接找到球心，求出半径解决问题）11、设是公差为正数的等差数列，若等于10512、若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围（5，7）13、已知点M是抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点A在圆上，则|AM|+|MF|的最小值为414、设是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若，则中数字0的个数为11．15、将正整数1，2，3，4，…，n2（n≥2）任意排成n行n列的数表，对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a>b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”，记为f（n）．若表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足则（1）f（3）=；（2）f（2023）=。16、（满分12分）△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．解答（Ⅰ）由已知， 2分由余弦定理得，∴， 4分∵，∴． 6分（Ⅱ）∵，∴，.． 8分∵，∴，∴当，取最大值，解得． 12分17、（满分12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，又PA⊥平面ABCD，PA＝4．PABCDQPABCDQ（2）线段BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求二面角A－PD－Q的余弦值。解法1：（Ⅰ）如图，连，由于PA⊥平面ABCD，则由PQ⊥QD，必有．设，则，NMPABCNMPABCDQ在中，有．在中，有．即，即．∴故的取值范围为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，边BC上存在唯一点Q（Q为BC边的中点），使PQ⊥QD，过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM．∴QM⊥平面PAD．xyzPABCDxyzPABCDQ在等腰直角三角形中，可求得，又，进而．∴．故二面角A－PD－Q的余弦值为．解法2：（Ⅰ）以为x．y．z轴建立如图的空间直角坐标系，则B（0，2，0），C（a，2，0），D（a，0，0），P（0，0，4），设Q（t，2，0）（），则＝（t，2，－4），＝（t－a，2，0）．∵PQ⊥QD，∴＝0．即．

∴．故的取值范围为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当，时，边BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD．此时Q（2，2，0），D（4，0，0）．设是平面的法向量，由，得．取，则是平面的一个法向量．而是平面的一个法向量，．∴二面角A－PD－Q的余弦值为．18、（满分12分）已知等差数列的首项，公差．且分别是等比数的．（1）求数列与的通项公式；（2）设数列对任意自然数均有：成立．求的值．解：（1）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d且a2、a5、a14成等比数列∴∴…3分又∵.∴……6分（2）∵①∴即又②①－②：∴∴…10分∴…12分19、（满分13分）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB＝BC．（1）设AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围；(第21题图）CAB(第21题图）CABDl解：（1）在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA．同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC．因为∠A和∠C互补，所以AB2+AD2－2AB·AD·cosA＝CB2+CD2－2CB·CD·cosC＝CB2+CD2＋2CB·CD·cosA．…………3分即x2+(9－x)2－2x(9－x)cosA＝x2+(5－x)2＋2x(5－x)cosA．解得cosA＝eq\f(2,x)，即f(x)＝eq\f(2,x)．其中x∈(2，5)．………6分（2）四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)(AB·AD+CB·CD)sinA＝eq\f(1,2)[x(5－x)+x(9－x)]eq\r(,1－cos2A)．＝x(7－x)eq\r(,1－(eq\f(2,x))2)＝eq\r(,(x2－4)(7－x)2)＝eq\r(,(x2－4)(x2－14x＋49))．…………9分记g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2，5)．由g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14)＝2(x－7)(2x2－7x－4)＝0，解得x＝4(x＝7和x＝－eq\f(1,2)舍)．………11分所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108．所以S的最大值为EQ\r(,108)＝6eq\R(,3)．答：所求四边形ABCD面积的最大值为6eq\R(,3)m2．………13分20、（满分13分）已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）⊙O是以F1F2为直径的圆，一直线l:y=kx+m与⊙O两点A、B.当，且满足时，求△AOB面积S的取值范围.解：（Ⅰ）∴点M是线段PF2的中点∴OM是△PF1F2的中位线又OM⊥F1F2∴PF1⊥F1∴椭圆的标准方程为=15分（Ⅱ）∵圆O与直线l相切由∵直线l与椭圆交于两个不同点，,设，则，解得：8分13分21、（满分13分）设函数在上的最大值为.（1）求数列的通项公式；（2）证明：对任何正整数，都有成立；（3）若数列的前之和为，证明：对任意正整数都有成立.【解析】（1）由