2023年九年级中考数学频考点突破 圆的切线证明（含解析）

2023年中考数学频考点突破--圆的切线证明1．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若tanC=12，AC=8，求⊙O2．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4，AC=6，求⊙O的半径．3．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，BC于D、E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）当点E是BC的中点时，①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若ACBC=34，且AB＝4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）⊙O的半径为3，CD=4，求BD5．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，BC.OE∥BC交AC于E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点F.（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，直接写出线段CF的长.6．如图所示，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，CD＝32，求劣弧BD的长；（3）若AC＝2，BD＝3，求AE的长．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交边AC于点E，点D在边AB上，以BD为直径作⊙O经过点E，交BC边于点F.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD＝8，∠A＝30°，求阴影部分的面积.8．如图，点M在矩形ABCD的边AD延长线上，以AM为直径作⊙O交AC于点F，点E在CD边上，且EC=EF.（1）求证∶EF是⊙O的切线;（2）若cos∠CAD=35，AF=6，MD=2，求FC的长9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：DE⊥AB；（2）若tan∠BDE=12，CF=3，求DF10．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长.12．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠A＝∠BCD.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝10，tan∠BCE＝12，求BD的长13．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC于点F，点E是BF的中点，连接BE并延长交AC于点D，若∠CBD（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，cos∠BAC=2514．如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．（1）请写出两个不同类型的正确结论；（2）若CD=12，tan∠CPO=12，求PO15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．16．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=43，求线段AB的长，sin∠ADB

答案解析部分1．【答案】（1）解：如图：连接OE，BE∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A∴∠C=∠A∴BC=AB，∵BC是直径∴∠CEB=90°，且AB=BC∴CE=AE，且CO=OB∴OE∥AB∵GE⊥AB∴EG⊥OE，且OE是半径∴EG是⊙O的切线（2）解：∵AC=8，∴CE=AE=4∵tanC=BECE=∴BE=2∴BC=CE2∴CO=5即⊙O半径为5【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形【解析】【分析】（1）连接OE，BE，由题意易证∠C=∠A；由直径所对的圆周角是直角可得∠CEB=90°，在根据等腰三角形的三线合一可得AE=CE，于是由三角形的中位线定理可得OE∥AB，结合已知可得EG⊥OE，由切线的判定可得EG是⊙O的切线；

（2）由题意根据tanC=BECE可求得BE的长，再由勾股定理可求得BC的长，则半径CO=122．【答案】（1）解：证明：连接OM，则∠OMB=∠OBM=∠MBE又∵AB=AC，AE是角平分线，∴AE⊥BC，∴∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°，∴∠AMO=90°，∴AE与⊙O相切（2）解：由AE与⊙O相切，AE⊥BC∴OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴OMBE=AOAB∵BC=4∴BE=2，AB=6，即r【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）连接OM，根据角平分线的定义及等边对等角得出∠OMB=∠OBM=∠MBE，根据等腰三角形的三线合一得出AE⊥BC，根据三角形的内角和及等量代换得出∠AMO=90°，从而得出结论AE与⊙O相切；

（2）根据切线的性质定理及平行线的判定方法得出OM∥BC，根据平行于三角形一边的直线截其它两边所截得的三角形与原三角形相似得△AOM∽△ABE；根据相似三角形对应边成比例得出OM∶BE=AO∶AB;从而得出关于圆的半径的方程，求解即可。3．【答案】（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵PF⊥AB，∴∠BPD＝90°，∴∠OBC+∠BDP＝90°，∵FC＝FD∴∠FCD＝∠FDC∵∠FDC＝∠BDP∴∠OCB+∠FCD＝90°∴OC⊥FC∴FC是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OC，OE，BE，CE，①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵点E是BC的中点，∴∠BOE＝∠COE＝60°，∵OB＝OE＝OC，∴△BOE，△OCE均为等边三角形，∴OB＝BE＝CE＝OC，∴四边形BOCE是菱形；②∵ACBC=34，设AC＝3k，BC＝4k（由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，∴AC＝12，BC＝16，∵点E是BC的中点，∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，∴12OE×BH＝12OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝由勾股定理得OP＝OE2-P【知识点】切线的判定；四边形的综合【解析】【分析】（1）先求出∠OBC+∠BDP＝90°，再求出∠OCB+∠FCD＝90°，最后求解即可；

（2）①先求出△BOE，△OCE均为等边三角形，再证明求解即可；

②先求出（3k）2+（4k）2＝202，再求出OE⊥BC，BH＝CH＝8，最后利用勾股定理计算求解即可。4．【答案】（1）证明：连接OC．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，∴OD=OC2+∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定【解析】【分析】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，进而可得出BD的长．5．【答案】（1）证明：连接OC，∵OE∥BC，∴∠OEA＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠OEA＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC，由垂径定理得OD垂直平分AC，∴DA＝DC，∵DO＝DO，OC＝OA，∴△ADO≌△CDO（SSS），∴∠DAO＝∠OCD，∵DA为⊙O的切线，OA是半径，∴∠DAO＝90°，∴∠OCD＝∠DAO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠FOC＝60°，又∵AB＝4，∴OB＝OC＝OA＝2，在Rt△COF中，tan∠FOC＝CFOC=∴CF＝23.【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形【解析】【分析】（1）连接OC，根据平行线的性质得到∠OEA＝∠ACB，由圆周角定理得到∠OEA＝∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，证明△ADO≌△CDO（SSS），得出∠DAO＝∠OCD，根据切线的性质得到∠DAO＝90°，求得OC⊥DC，于是得到结论；

（2）证明△BOC是等边三角形，得出∠BOC＝60°，解直角三角形即可得到结论.6．【答案】（1）证明：如图1，连接OD，∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＝∠ODB，∴∠ODB+∠ADC＝90°，∴∠ADO＝90°，又∵OD是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴AD＝2CD＝3，∠DAB＝30°，∴AD＝3OD，∴OD＝3，∵OD＝OB，∠B＝30°，∴∠B＝∠ODB＝30°，∴∠DOB＝120°，∴劣弧BD的长＝120π×3180＝（3）解：如图2，连接DE，∵BE是直径，∴∠BDE＝90°，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∵∠B＝∠CAD，∠ACD＝∠EDB，∴△ACD∽△BDE，∴ACBD=∴设CD＝2x，DE＝3x，∵AC∥DE，∴DEAC=∴3x2∴x＝12∴CD＝1，BC＝BD+CD＝4，∴AB＝AC2+BC2∵DE∥AC，∴AEAB=∴AE＝52【知识点】切线的判定；弧长的计算；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）如图1，连接OD，由等腰三角形的性质可证∠B＝∠ODB＝∠CAD，由直角三角形的性质可求∠ADO＝90°，可得结论；

（2）分别求出OD的长度和∠DOB的度数，再由弧长公式可求解；

（3）通过证明△ACD∽△BDE，可得ACBD=CDDE=23，设CD＝2x，DE＝3x，由平行线的性质可求x7．【答案】（1）证明：连接OE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠OEB＝∠EBC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OF.∵BD是⊙O的直径，BD＝8，∴OE＝4，∵∠AEO＝90°，∠A＝30°，∴AO＝2OE＝8，∴AE＝AO2-OE2＝43，∠AOE＝60°，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝12AB＝6，AC＝AB2-BC∴CE＝AC﹣AE＝23.∵OB＝OF，∠ABC＝60°，∴△OBF是等边三角形.∴∠FOB＝60°，BF＝OF＝4，∴CF＝6﹣4＝2，∠EOF＝180°－60°－60°＝60°.∴S梯形OECF＝12（2＋4）×23＝63∴S扇形EOF＝60π×∴S阴影部分＝S梯形OECF﹣S扇形EOF＝63﹣83【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）连接OE.利用等腰三角形的性质与角平分线的性质证明OE∥BC，可得∠AEO＝∠C，证明OE⊥AC，从而可得结论；（2）连接OF.由BD是⊙O的直径，BD＝8，分别求解AO＝2OE＝8，AE＝AO2-OE2＝43，∠AOE＝60°，AB＝12，再求解BC＝12AB＝6，AC＝63，CE＝23.再证明△OBF是等边三角形.可得∠FOB＝60°，BF＝OF＝4，求解CF＝2，∠EOF＝60°.再利用S阴影部分＝S梯形8．【答案】（1）解：证明：连接OF，∵在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°∵EC=EF，∴∠EFC=∠DCA，∵OF=OA，∴∠OFA=∠CAD，∴∠EFC+∠OFA=90°，∴∠OFE=90°，即EF⊥OF，又OF是⊙O半径，∴EF是⊙O的切线；（2）连接MF，∵AM是直径，∴∠AFM=90°，在Rt△AMF中，cos∠CAD=AF∴AF=6，6AM=35∵MD=2，∴AD=8，在Rt△ACD中，cos∠CAD=ADAC=∴8AC=35，∴AC=∴FC=403-6=【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）连接OF，根据矩形的性质和等腰三角形的性质得出∠EFC+∠OFA=90°，从而得出∠OFE=90°，即可证出EF是⊙O的切线；

（2）连接MF，根据圆周角定理得出∠AFM=90°，再根据锐角三角函数定义求出AC的长，利用FC=AC-AF，即可求出FC的长.9．【答案】（1）证明：连接OD．∵EF切⊙O于点D，∴OD⊥EF．又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠OCD，∴∠ABC=∠ODC，∴AB∥OD，∴DE⊥AB；（2）解：连接AD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BDE=90°，∠B+∠1=90°，∴∠BDE=∠1，∵AB=AC，∴∠1=∠2，又∵∠BDE=∠3，∴∠2=∠3，∴△FCD∽△FDA，∴FCFD=∵tan∠BDE=12，∴tan∠2=12∴CDDA=12，∵CF=3，∴FD=6．【知识点】余角、补角及其性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得出OD⊥EF，再根据已知证明AB∥OD，就可证得DE⊥AB。

（2）根据直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，再根据同角的余角相等得出∠BDE=∠1=∠2，再根据相似三角形的判定证明△FCD∽△FDA，得出两三角形对应边成比例，再根据tan∠BDE=tan∠2=12，代入计算即可得出DF10．【答案】（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线（2）解：在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=13AD=4，DO=8∴CD=DO2-OC2∴S△OCD=OC⋅OC2=43∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=16×π×OC2=8π∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC∴S阴影=83﹣8π3∴阴影部分的面积为83﹣8π3【知识点】切线的判定；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．11．【答案】（1）证明：如图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°.∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线（2）解：在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，∴OD=OC2∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定【解析】【分析】（1）连接OC，利用直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，可推出∠ACO+∠OCB=90°；再利用等腰三角形的性质及已知得∠ACO=∠A=∠BCD，由此可推出∠OCD=90°；然后利用切线的判定定理，可证得结论；（2）利用勾股定理求出OD的长，然后根据BD=OD-OB，可求出BD的长.12．【答案】（1）证明：如图，连接OC，则OC=OA.∴∠DCB=∠A=∠ACO，∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，∴∠DCB+∠OCB=90°，∴∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切线；（2）解：∵∠A+∠ACE=90°，∠BCE+∠ACE=90°，∴∠BCE=∠A，∴tan∠BCE＝tan∠A＝BCAC＝1∵∠DCB=∠A，∠D=∠D，∴△DBC∽△DCA，∴DBDC=DCDA＝BCAC∵AD=10，解得：DB＝52答：BD的长为52【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）连接OC，利用等边对等角可证得∠DCB=∠A=∠ACO，利用直径所对的圆周角是直角，可证得∠ACB=90°，由此可推出∠OCD=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论；

（2）利用余角的性质可证得∠BCE=∠A，利用锐角三角函数的定义可得到BC与AC的比值；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DBC∽△DCA，利用相似三角形的对应边成比例可求出BD的长.13．【答案】（1）证明：连接AE，如图所示：∵AB是⊙O∴∠AEB=90°∴∠BAE+∠∵点E为弧BF的中点，∴EF=EB∴∠BAE=∠又∵∠CBD=∴∠BAE=∠∴∠CBD+∠∴AB⊥CB∴BC是⊙O（2）解：∵∠BAE=∠DAE，∠∴∠ADE=∠∴AD=AB∵cos∠BAC∴在Rt△ABC中，AB即4AC=25，得∴CD=AC【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）连接AE，根据圆周角定理和余角的性质可证AB⊥CB，即BC是⊙O的切线；

（2）根据∠BAE=∠DAE，∠AED=∠AEB=90°，∠ADE=∠ABE，AD=AB=2×2=4。由cos∠BAC=2514．【答案】（1）解：不同类型的正确结论有：①PC=PD，②∠CPO=∠DP，③CD⊥BA，④∠CEP=90°，⑤PC2=PA•PB（2）解：连接OC∵PC、PD分别切⊙O于点C、D∴PC=PD，∠CPO=∠DPA∴CD⊥AB∵CD=12∴DE=CE=12CD=6∵tan∠CPO=12∴在Rt△EPC中，PE=12∴由勾股定理得CP=65∵PC切⊙O于点C∴∠OCP=90°在Rt△OPC中，∵tan∠CPO=12∴OC∴OC=35，∴OP=OC【知识点】等腰三角形的