自动控制原理 第二章

自动控制原理第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型

2.1元件和系统微分方程的建立系统的数学模型是描述系统的输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。自动控制系统中描述系统内在规律的数学模型的形式很多，单输入单输出系统主要采用微分方程、传递函数、结构框图和信号流图来描述，最优控制或多变量系统主要采用传递矩阵、状态方程来描述。列写元件或系统微分方程的一般步骤：（1）确定元件或系统的输入、输出变量。（2）按信号传递的顺序依次列写个元件的微分方程。（3）消去中间变量求得系统的微分方程，并标准化。标准化：将与输入有关各项移至等式右侧，将与输出有关各项移至等式右侧，并按降幂排列。第二章自动控制系统的数学模型

2.1元件和系统微分方程的建立例：列写如图所示的质量、弹簧、阻尼器机械位移系统的运动微分方程。解：由牛顿力学第二定律有：其中：弹簧力阻尼力所以有：特点：为作用于各部件的诸力之和，而每一个部件变化了相同的位移。第二章自动控制系统的数学模型

2.1元件和系统微分方程的建立例：列写如图所示的机械位移系统的运动微分方程。解：根据力平衡原理，作用于各部件的为同一外力，而系统的总位移为各部件位移之和。（1）机械位移方程式（2）各部件的位移与作用力的关系为（3）所以系统运动微分方程为第二章自动控制系统的数学模型

2.1元件和系统微分方程的建立例：列写如图所示的RLC无源网络的运动微分方程。RLC解：根据基尔霍夫电压定律有：令有令有消去中间变量即可得运动微分方程第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程一、拉氏变换与拉式反变换拉氏变换时一种函数变换，它能把一个实数域（时间域）的实变函数变换为一个在复数域与它等价的复变函数。（一）定义拉氏变换象函数原函数原变量复变量拉氏反变换第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程（二）有关拉氏变换的几个常用定理1.线性性质2.微分定理3.积分定理在时刻的积分值第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程4.初值定理5.终值定理例：求的原函数的初始值和解：1）由初值定理有2）因可得所以由初值定理有第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程（三）常用函数的拉氏变换表象函数原函数象函数原函数第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程（四）部分分式展开法设可因式分解为1.只含有不同极点时的部分分式展开式式中为对应极点处的留数第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程例：已知求解：式中于是，将展开成部分分式第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程2.包含r个重极点时的部分分式展开式设则可展开成式中的计算方法与单极点情况下的待定系数求法相同所以第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程例：求解：展开成部分分式得所以第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程3.包含共轭复极点时的部分分式展开式设含有一对共轭复极点则式中可按下式求解因是一个复数，故等号两端都是复数，使等号两端的实数部分和虚数部分分别相等，可得两个方程式，联立求解即可得到和。第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程例：已知求解：三个极点分别为展开成部分分式可得因可得第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程解之得所以所以即使等号两端的实部和虚部分别相等有第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程例：已知求解：所以第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程二、用拉氏变换求解微分方程（系统的暂态过程）步骤：（1）对线性微分方程进行拉氏变换，使微分方程变为复变量s的代数方程（称为变换方程）。

（2）求解变换方程，写出系统输出量的象函数表达式。（3）将输出量的象函数表达式展开成部分分式。（4）对部分分式进行拉式反变换，即得微分方程的解。第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程例：已知设初始条件为求输出量解：将微分方程取拉氏变换代入初始条件整理有展开成部分分式式中稳态解为暂态解为第二章自动控制系统的数学模型

2.2用拉普拉斯变换方法解微分方程例：已知初始条件为求系统输出解：对方程取拉氏变换代入初值得所以第二章自动控制系统的数学模型

2.3非线性数学模型的线性化发电机励磁特性小偏差线性化，即工作点点附近的一段励磁曲线可用该点处的切线替代。对于一个自变量的非线性函数线性化在工作点附近展开泰勒级数忽略二阶以上各项，可写成或式中第二章自动控制系统的数学模型

2.3非线性数学模型的线性化对于具有两个自变量的非线性函数线性化在工作点附近展开成泰勒级数忽略二阶以上各项，可以写成或式中第二章自动控制系统的数学模型

2.4传递函数拉氏变换是求解微分方程的简捷方法，它把求解微分方程的问题化为代数方程和查表求解的问题，更重要的是把系统以线性微分方程描述的系统动态数学模型转换为在复数域的数学模型—传递函数。一、传递函数的定义线性微分方程的一般表达式初始条件为零时对上微分方程取拉氏变换第二章自动控制系统的数学模型

2.4传递函数输出量的拉氏变换为令或用方框图表示为称为传递函数，可以写成传递函数的定义：在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换式与输出量的拉氏变换式之比。有关的几个术语：特征方程、阶数、极点，零点。传递函数只和系统本身的特性参数有关，而与输入量无关。第二章自动控制系统的数学模型

2.4传递函数系统传递函数常常可以表达成如下形式：（1）典型环节形式（时间常数形式）（2）零、极点形式（根的形式）第二章自动控制系统的数学模型

2.4传递函数二、典型环节的传递函数1.比例环节2.惯性环节（具有一个储能元件）第二章自动控制系统的数学模型

2.4传递函数3.积分环节积分调节器例：第二章自动控制系统的数学模型

2.4传递函数4.微分环节测速发电机实用微分环节一阶微分环节理想微分环节第二章自动控制系统的数学模型

2.4传递函数5.二阶振荡环节（具有两个储能元件）自然振荡频率阻尼比振荡环节的阶跃响应第二章自动控制系统的数学模型

2.4传递函数6.时滞环节带钢厚度检测环节展开成泰勒级数，略去高次项得：第二章自动控制系统的数学模型

2.5动态结构图及其等效变换

动态结构图是将系统中所有的环节用方框图表示，图中表明其传递函数，并按系统中各环节之间的关系将各方框图连接起来。一、绘制动态结构图的步骤：（1）按系统的结构和工作原理分解出各环节，并写出各传递函数。（2）绘出个环节的动态方框图，在方框中表明它的传递函数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量。（3）按照信号的传递方向把各方框图依次连接起来。基本图示单元：单元方框图信号综合第二章自动控制系统的数学模型

2.5动态结构图及其等效变换例：系统的微分方程如下，试建立系统的结构图。第二章自动控制系统的数学模型

2.5动态结构图及其等效变换按信号传递方向将各环节方框图连接起来第二章自动控制系统的数学模型

2.5动态结构图及其等效变换二、结构图等效变换1.串联2.并联第二章自动控制系统的数学模型

2.5动态结构图及其等效变换3.反馈当正反馈时：当负反馈时：第二章自动控制系统的数学模型

2.5动态结构图及其等效变换4.相加点及分支点的变位运算（1）相加点后移（2）相加点前移第二章自动控制系统的数学模型

2.5动态结构图及其等效变换（3）分支点后移（4）分支点前移第二章自动控制系统的数学模型

2.5动态结构图及其等效变换（5）两分支点之间可以互相变位（6）相加点和分支点之间一般不能互相变位第二章自动控制系统的数学模型

2.5动态结构图及其等效变换三、利用结构图等效变换求传递函数步骤：（1）确定输入量与输出量。（2）利用变位等效变换消去交叉回路。（3）利用反馈等效变换由内至外消去回路，直至变换成一个元件方框。例：求传递函数第二章自动控制系统的数学模型

2.5动态结构图及其等效变换第二章自动控制系统的数学模型

2.5动态结构图及其等效变换第二章自动控制系统的数学模型

2.6信号流图（新增内容）信号流图是一种用图线表示线性方程组的方法。例：一简单系统的描述方程为：两个变量之间的传递函数输入变量输出变量该方程的信号流图可表示为：

节点：表示系统的变量或信号支路：连接节点的有向线段传递函数标在支路上第二章自动控制系统的数学模型

2.6信号流图（新增内容）例：一系统的描述方程组为方程组的信号他可表示为：第二章自动控制系统的数学模型

2.6信号流图（新增内容）1.信号流图中的术语源点、汇点、混合节点、通路、开通路、闭通路、回路传递函数、前向通路、不接触回路2.信号流图的绘制先按照节点的次序绘出各节点，再根据方程式绘制各支路。例：一系统的方程组为：第二章自动控制系统的数学模型

2.6信号流图（新增内容）3.信号流图的基本简化法则加法减法分配反馈回环第二章自动控制系统的数学模型

2.7梅逊公式系统总传递函数系统的输出量系统的输入量前向通路数特征式第k条前向通路传函第k条通路特征式的余子式第二章自动控制系统的数学模型

2.7梅逊公式特征式中：---所有不同回环的传递函数之和。---每两个互不接触回环的传递函数乘积之和。---每三个互不接触回环的传递函数乘积之和。---m个互不接触回环的传递函数乘积之和。---在中除去第k条前向通路相接触的各回环传递函数。例：一系统信号流图如图所示，求系统总的传递函数解：此系统有三个回环第二章自动控制系统的数学模型

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