充分条件与必要条件之辩

充分条件与必要条件之辩这里，我稍稍做了一次标题党。这一篇附录主要是聊一聊“逻辑”，理一理思路。其实大家平时为什么会被“什么的必要条件是什么”，“什么是什么的充分条件”诸如此类的表示弄得晕头转向呢（包括我自己，大雾）。这其实不是大家的错，这最主要的原因是语言文字太博大精深了（笑错的是这个世界，全怪时辰U（正经）什么是逻辑？是一种思维的规律，但我更喜欢把它当做一种语言，他有自己一套语法和语义。不过她没有什么倒装句式，没有什么修辞手法之类的，所以它十分公正，明确。虽说这样听起来，一门语言没有这些乱七八糟的东西，会变得很容易理解和研究，其实不然，去掉繁杂的枝叶可以直指本质，而对本质的探索是最为困难的。这里，我要讲的是最浅显的内容。这篇文章，或许不会对你做题方法有直接影响，但是能剖析自己的思路总是好的。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃〃/〃〃〃//〃〃/〃//1、什么是命题命题是一个非真即假的陈述句。大家都懂我就不多说了。要注意的是类似％>5的不是命题，因为%是变量，%>5的真值由X的取值来决定。要这样：Vxe/?%>5才算是命题。（类似x>5,我们称之为命题变项）（严格来说a+b22倔也不算命题）因为我们处理命题和命题变项的方法是一毛一样的，因此除了在概念上区分以外，在推理过程中我们就不再区分他们了。后面我们也会淡化“命题”这个概念。（不要说有条件和结论的才叫命题这种错误的想法）〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃2、简单命题和复杂命题表达一个命题就像积木一样，一个复杂的命题由简单命题和逻辑联结词按规则所组成。简单命题，就是不含逻辑联结词的命题：“我是beauty"（beauty是我一个同学）复杂命题：“我是beauty且我爱飙车”，这里的“且”就是一个逻辑联结词了（接下来我们会用字母来表示一个命题）〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃〃〃/〃//〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃3、逻辑联结词逻辑联结词的作用相当于加减乘除，可把命题连接起来构成狂杂的命题。有几个常用的逻辑联结词：-1（非）、八（且）、V（或）、T（蕴含，也可读作如果…，那么…）、C（等价于）〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃或且非我就不说了。〃/〃/〃〃〃//〃/〃//〃〃//〃//〃/〃/〃〃〃/〃〃//〃//〃/〃〃〃〃//〃〃//〃//〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃〃〃//〃/〃/〃〃/〃//〃/〃姑且提一下“T”：有两个命题P,Q,用T构成可以一个命题PtQ。读作P蕴含于Q,也可以读作如果尸，那么Q。在这里P就称为条件，Q就称为结论。真值表（相当于对此联结词的定义）如下：PQPtQ〃//〃〃〃〃/〃//〃〃〃〃//〃〃〃/〃〃//〃//〃〃//〃〃〃〃//〃/〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃/〃〃/〃//〃〃〃〃//〃〃〃蕴涵词“T”与自然语言中“如果…，那么…”有一致的一面，但也有不同的地方：①自然语言中如果那么所连接的两个句子是有一般都是关联的。而逻辑上允许“T”前后放不同的东西。（“或、且”也一样：“2+2=5”且“雪是白的”。这样的句子是合理的）（吐槽一句，其实前后亳无关联的句子也很多啊一一如果我带着黑框眼镜，那么一分钟只有59s（笑）一一对吧，前后亳无关联）②自然语言中很少有条件为假，命题为真的说法，导致让人很难理解。其实我列几个句子就很好明白了：（1）如果我是beauty（学新），那么我就能考全级第一。（2）如果我能考全级第一了，那么母猪都会上树了（心酸）；（3）如果太阳从西边出来了，那么我的是穿女装。（这是薛定印的女装啊（笑））逻辑是自然思维的抽象，源于自然，高于自然。当你对逻辑进行演算的时候，大可不必时时刻刻想着它对应的意思，就好像数字运算一样；而自然语言仅仅是用来辅助理解的，就好像学算术时作为例子的“苹果”一样。把“t”抽象出来之后（不要再想着它的原本对应的意思了），我们发现「PVQ跟PtQ是完全等价的:这个有什么用呢，等下再说。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃那么如果PtQ为真，我们可以记为P=Q,这时称：①P蕴含于Q（这里的蕴含于的含义稍稍有点变化）②P是Q的充分条件，Q是尸的必要条件；（Q的充分条件是P，P的必要条件是Q）（如何理解等下再说）这有什么区别呢，这么说吧“t”相当于加减乘除，“=”相当于等于大于，也就是说是用来描述PQ之间的关系的，而是一个“运算符，同样我们可以定义我们当做用于命题之间的一个等号〃〃〃/〃/〃〃〃/〃//〃〃//〃/〃〃〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃//〃/〃//〃/〃/〃/〃〃〃〃/〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃3、逻辑演算我们平时做题时候，我们需要一些推理规则。比如说遇到难证明题目，我们可以先求其必要条件，缩小其范围；正面难证明的问题，我们可以用反证法。无不需要逻辑的演算。〃〃〃/〃/〃〃〃/〃//〃〃//〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃//〃/〃//〃/〃/〃〃〃/〃〃/〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃1、等价变形我们很多时候会遇到一些比较更杂的命题，我们需要对命题进行化简，这时候我们就要熟知一些逻辑联结词的运算规则（就像是我们对算式化简一般）一些等价公式：①双重否定：1Pop②八、V、一满足结合律（T不满足）③八、V、C满足交换律（T不满足）(P八(QVR)<=>(P/\Q)V(P/\R)④分配律：(P\/(QYR)0(PYQ)八(PYR)(一不满足)

t(QtR)<=>(PtQ)t(PtR)等累律:吸收律:(PVP<=>P等累律:吸收律:ptP0T

p—p0T⑦德摩根律:r-i(PAQ)<=>-1PV-1Q

l「(PVQ)<=>-iPA-iQ

⑦德摩根律:这里只是把公式列举出来而已，脑残的不用记，不常用的其实也不用记，这里最重要的是公式是德摩根律了（各种意义上）当然这些公式，都可以用真值表来证明（不过太困难了）。我们可以用韦恩图来理解这些公式（有点太过显然了）：-1PPYQ〃/〃/〃〃〃/〃/〃///〃〃/〃//〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃///〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃//〃/〃//〃/〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃///〃/〃/〃//〃我们可以稍稍作个拓展：高中老师为了我们更好理解“且”“或”，把“且”比作乘法，“或”比作加法，其实这样并不准确。③我们这样定义命题的“加法"：P+Q（就是并了之后去掉交的部分）：（意思是“或异”一”鱼和熊掌不可得兼”）⑤1定义为真，。定义为假除了尸2=2和2+2=。两个特殊的运算性质以外，其他的运算性质跟数的运算完全一样。形如这样的运算，我们称之为布尔运算。点到即止，大家可以试下用这个来推一推上面的那些等价公式。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃还有一个十分重要的等价公式，我们可以推一推：根据真值表可得（PtQ）=（「PVQ）由双重否定律、交换律得再根据真值表得V（-.P））=（（「Q）T（「P））综上得（pTQ）=（（-•Q）T（「P））这就是所谓的逆否命题跟原命题等价了。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃2、逻辑推理我们做证明题就是一个推理过程。我们怎么把这个过程抽象出来，再为己所用呢。例1、如果我是人，那么我会死因为我是人所以我会死这是自然语句给出的三个命题，有前提，有结论，表示了一种推理关系。引入符号P表示我是人，Q表示我会死，便可以将这推理关系表示为：((PtQ)/\P)=Q上面就是一个推理公式。一些推理公式：PAQ=>PP=P7Q-1P=PtQ④Q=PtQ⑤((PtQ)ap)=Q©(PTQ)八(QTR)今(PTR)我们一般用①②求一道题目的充分或者必要条件，缩小计算范围。⑤我们称为假言推理，是最常用的推理公式(例1),我们做证明题的时候就是反反更好用这条公式而己(好好体会下)。然后⑥就是著名的三段论：大前提，小前提，结论。〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃/〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃以上暂时没有引入量词，我们称之为命题逻辑，我们已将其公理化，公理的内容这里就不提了，无非就是将前面一些重要内容，基本的内容挑出来罢了。不过，有些数学家不承认一些公式，就有后来一些非标准逻辑了，故事我也不知道多少，这里我也不提了。大家有兴趣自己查一下。/〃/〃/〃/〃//〃/〃////〃//〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/〃//////////〃/〃/////〃/〃/〃//〃4、谓词(为了方便起见，后面用小写字母表示命题，大写字母表示谓词)没有量词的命题逻辑表达能力实在是太低，所以我们要引入量词。引入量词之前，我们还得先引入“谓词:例：beauty是学籍骆飞是学新在命题逻辑里面，这两个是不同的命题，只能用不同的符号p,q来表示了。但分析一下这两个命题的异同点，他们都有主词和谓词，不同的是主词“beauty”“骆飞”，而谓词“是学新”是相同的。若以P表示“是学籍”，那么这两个命题就可以表示为：P(beauty)P(骆飞)这样就可以明晰地表示这两个命题的异同点了。我们还可以引入变版来表示主词，于是符号P(x)就表示“工是学籍”。通常把P(x)称作谓词。(谓词不是命题，但是推理性质跟命题一样)其实谓词就是一个性质当然，还有多个变量的谓词，就不提了。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃5、量词量词常用的有两个：V(全称量词：恒成立)、3(特称量词：存在)〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃//〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃/〃〃//量词和谓词共同使用才能构成一个命题：①(Vx)P(x)：所有的x都满足性质P②存在x满足性质P一一用量词对谓词中变量进行约束。不过使用量词之前，先要默认"的取值范围，这个范围我们称之为论域，在不同的问题中，我们会用不同的论域。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃例1：有的实数是有理数换句话说：有些东西，它是实数也是有理数注意不是：有些东西，如果它是实数，那么它是有理数形式化：0x)(“是实数八”是有理数)不是0x)(%是实数tx是有理数)这个命题一般来说成立的(在这种情况默认论域是所有实数)，不过我们也可以取一些奇葩的论域，这个命题就不一定成立了：｛巴汗,桌子,beauty｝。〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃/〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃一般跟V搭配的是所以一般恒成立问题的形式为：”x)(P(x)tQ(x))(女)(P(x)八Q。))长这样的几乎没什么意义的，在一般的论域中(万物)，这样的命题通常都是假的。一般跟三搭配的是A,所以一般存在性问题的形式为：0x)(P(x)八Q(x))Gx)(P(x)tQ(x))长这样的也是几乎没什么意义的，在一般的论域中(万物)，这样的命题通常都是真的。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃还有，我们一般采取缩记法：(V%)(XE/tP(x))我们记为(Vxe/)P(x)0X)&e4-P(%))我们记为oea)PM这些缩记大大缩短了很多命题的长度，也减少了一环套一环的括号，有益的化简总是好的。

〃/〃//〃/〃/〃/〃///〃〃/〃//〃〃〃〃/〃〃/〃〃/〃//〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃/〃〃/〃/〃///〃〃〃〃//〃除了这两个量词，在这里我还拓展一个量词：卫一量词：唯一存在(有且仅有))这样定义：(卫x)P(x)=(3%)(P(x)A(Vy(P(y)-»x=y)))不说了。/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃//〃/〃//〃/〃/〃/〃〃〃〃/〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃6、谓词逻辑的推理演6、谓词逻辑的推理演谓词逻辑的推理演算规则大体上与命题逻辑相似，只需要加上几条就可以了:①否定式：尸以)尸⑺=皿)了？1-.皿)尸(乃=(以)(中。))②量词的分配律气1(3%)(P(x)V(2(%))=Gx)P(x)VGx)Q(x)③量词的分配律2：(Vx)(Pa)Tp)=(Vx)P(x)Tp(这个太多，只举一个例子，意思就是，没有被约束的命题可以被提出来)④｛湍篇:然湍:潞)⑤VxP(x)=>P(%o)=>3x0P(30)其中最重要的是①和⑤。这些公式仔细看一遍大概都能理解。①可以这样理解：“不存在”等价于“所有都不”；“不是所有”等价于“有的不是，①给出了全称量词和特称量词相互之间的关系⑤可以这样理解：特殊值成立是恒成立的必要条件，是存在的充分条件理解起来大概就是：我恒成立了，我当然对其中一个成立咯；我都找到一个符合条件的了，就肯定是存在的了。(所以说，恒成立是最强的命题，而存在是最弱的命题)〃//〃〃〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃/〃//〃〃/〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃前面我们提到了缩记法，缩记法不仅仅减少式子的好杂度，事实上还能减少我们对式子的运算难度。比如说：①命题1：所有的XE/都满足P(x)这个命题写为：(▼%)("€/tP(x))缩记为：这时我们求它的否命题:否定律得：-.(V%)(xE/-P(%))=(3%)-.(-iXE/VP(x))德摩根律得：(^(xe^AiPC%))可缩记为：GxEMiPG)也就是有(重要公式)：->(VxeA)P(x)=eA)-1P(x)采用缩记法的话，命题的否定形式更为直观，更加符合自然语言的用法:“不是所有的“64都满足P(x)”与“存在x6A不满足P(x)”等价。②同样有：->(3xeA)p(x)(VxeA)-.PM也就是：“不存在xr满足P(x)”等价于“所有的xr都不满足p(x)”不过唯一量词没有这样的性质，大家可以自己算一下。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃7、逻辑与集合的关系(这里只提朴素集合论)为了研究的方便，数学家引入了“集合”的概念，使得逻辑更加直观，简练。(具体有什么好处我就不说了)什么是集合呢？简单地说，就是一个“袋子”，这个袋子有两重含义：①满足某个性质的所有物体都被扔进了这个袋子里②这个袋子里的所有物体都满足同一个性质事实上，集合就是代替了一个谓词的作用，比如一个集合4={x|P(x)}的内在含义便是：Vx(xEA^P(x))(注意要有论域，不然就会出现悖论)我们可以根据性质去构造一个集合，当然也可以直接把集合的元素列举出来，这是集合的表示法，翻开必修一，有更详细的说明。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃(事实上有了集合的概念，逻辑的表达能力上升了一个等级，比如我要一个自然数的集合，我们可以这样去定义：N={n|n=0V(Bm6N)(n=m+1)}这个集合是由递归的方法去定义的：由oeN,得到1eN由1eN,得至1J2eN而这样的定义直接用谓词是不行的。)〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃我们去理解逻辑的时候，我们就可以直接用集合去思考了。前面对逻辑的演算，我们已经是用过集合的思维了(韦恩图)，所以我们不再说明。值得再一提的是“=”和“U”的关系先来看两个命题：①(