北师大版九年级数学下册第2章检测题

九年级数学下册第二章检测题(BSD)(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．已知抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴的交点坐标为(－1，0)和(－3，0)，则方程x2＋ax＋b＝0的解是(B)A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝－3C．x＝－3 D．x＝32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝6cm，动点P从点C开始沿CA以1cm/s的速度向A点运动，同时动点Q从点C开始沿CB以2cm/s的速度向B点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则运动过程中所构成的△CPQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是(C)3．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是(D)A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过原点和第一、二、三象限，则(A)A．a>0，b>0，c＝0B．a>0，b<0，c＝0C．a<0，b>0，c＝0D．a<0，b<0，c＝05．(2019·烟台)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的y与x的部分对应值如下表，下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2;③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，则x1<x2，其中正确的个数是(B)x－10234y50－4－30A.2 B．3 C．4 D．56．(2019·巴中)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论①b2>4ac，②abc<0，③2a＋b－c>0，④a＋b＋c<0.其中正确的是(A)A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知一条抛物线的开口大小与y＝x2相同但方向相反，且顶点坐标是(2，3)，则该抛物线的表达式是y＝－x2＋4x－1.8．飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数表达式是y＝60t－eq\f(3,2)t2，在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是24m.9．若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)的值为－4.10．如图，已知△OBC是等腰直角三角形，∠OCB＝90°，若点B的坐标为(4，0)，点C在第一象限，则经过O，B，C三点的抛物线的表达式是y＝－eq\f(1,2)x2＋2x.11．已知二次函数y＝ax2＋2ax＋3a2＋3(a≠0)(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且－2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值是__1__．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a>0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是－2.三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．已知当x＝2时，抛物线y＝a(x－h)2有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的表达式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小．解：当x＝2时，有最大值，所以h＝2.此抛物线过(1，－3)，所以－3＝a(1－2)2，解得a＝－3.此抛物线的表达式为y＝－3(x－2)2.当x＞2时，y随x的增大而减小．14．已知抛物线y＝－3x2经过平移经过点(0，0)和(1，9)，求出平移后抛物线的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．解：设平移后抛物线的表达式为y＝－3x2＋bx＋c，将点(0，0)和(1，9)的坐标代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝0，,－3＋b＋c＝9，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝12，,c＝0.))∴平移后抛物线的表达式为y＝－3x2＋12x.∵y＝－3x2＋12x＝－3(x－2)2＋12，∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，12)．

15.已知抛物线y＝－a(x－2)2＋3经过点(1，2)．(1)求a的值；(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＞n＞2)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．解：(1)把(1，2)代入y＝－a(x－2)2＋3，得2＝－a(1－2)2＋3，解得a＝1；(2)由(1)知原抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋3，其开口向下，对称轴为直线x＝2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小．∵m＞n＞2，∴y1＜y2.16．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－eq\f(2,3)x2＋bx＋c的图象经过B，C两点．(1)求该二次函数的表达式；(2)结合函数的图象探索，当y＞0时，x的取值范围．解：(1)由题意可得B(2，2)，C(0，2)，将B，C坐标代入y＝－eq\f(2,3)x2＋bx＋c，解得c＝2，b＝eq\f(4,3)，所以二次函数的表达式是y＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(4,3)x＋2.(2)令y＝0，解－eq\f(2,3)x2＋eq\f(4,3)x＋2＝0，得x1＝3，x2＝－1，由图象可知：y＞0时，x的取值范围是－1＜x＜3.17．如图，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求该抛物线的表达式；(2)若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标．解：(1)∵抛物线经过A，B两点，∴把A(－5，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－5，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25a－5b－5＝0，,9a＋3b－5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(2,3)，))∴该抛物线的表达式为y＝eq\f(1,3)x2＋eq\f(2,3)x－5.(2)∵y＝eq\f(1,3)x2＋eq\f(2,3)x－5，∴令x＝0，则y＝－5.∴C点的坐标为(0，－5)，∵S△ABE＝S△ABC，∴点E的纵坐标与点C的纵坐标相等，即点E的纵坐标为－5，令eq\f(1,3)x2＋eq\f(2,3)x－5＝－5，解得x1＝－2，x2＝0(舍去)，∴点E的坐标为(－2，－5)．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．已知二次函数y＝x2－(2m－1)x＋m2－m.(1)求证：此二次函数图象与x轴必有两个不同的交点；(2)若此二次函数图象与直线y＝x－3m＋4的一个交点在y轴上，求m的值．(1)证明：令y＝0，有x2－(2m－1)x＋m2－m＝0，Δ＝b2－4ac＝(2m－1)2－4(m2－m)＝1＞0，∴结论成立；(2)解：令x＝0，代入y＝x2－(2m－1)x＋m2－m与y＝x－3m＋4，得m2－m＝－3m＋4，∴m＝－1＋eq\r(5)或－1－eq\r(5).19．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看作一点)的路线是抛物线y＝－eq\f(3,5)x2＋3x＋1的一部分，如图．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC＝3.4m，在一次表演中人梯到起点A的水平距离为4m，问这次表演是否成功？请说明理由．解：(1)∵y＝－eq\f(3,5)x2＋3x＋1＝－eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(19,4)，∴该演员弹跳高度的最大值为eq\f(19,4)m；(2)当x＝4时，y＝－eq\f(3,5)×42＋3×4＋1＝3.4，∴这次表演是成功的．20．如图，已知抛物线y＝ax2－4x＋c经过点A(0，－6)和B(3，－9)．(1)求出抛物线的表达式；(2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)点P(m，m)(其中m＞0)与点Q均在抛物线上，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标．解：(1)依题意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a×02－4×0＋c＝－6，,a×32－4×3＋c＝－9，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝－6，,9a－12＋c＝－3，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,c＝－6.))∴抛物线的表达式为y＝x2－4x－6.(2)把y＝x2－4x－6配方得y＝(x－2)2－10，∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标(2，－10)．(3)由点P(m，m)在抛物线上，有m＝m2－4m－6，即m2－5m－6＝0.∴m1＝6或m2＝－1(舍去)，∴m＝6，∴P点的坐标为(6，6)．∵点P，Q均在抛物线上，且关于对称轴x＝2对称，∴Q点的坐标为(－2，6)．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．把抛物线y＝eq\f(1,2)x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝eq\f(1,2)x2交于点Q.(1)求顶点P的坐标；(2)写出平移过程；(3)求图中阴影部分的面积．解：(1)设抛物线m的表达式为y＝eq\f(1,2)x2＋bx＋c，把点A(－6，0)，原点O(0，0)代入，得b＝3，c＝0，∴抛物线m的表达式为y＝eq\f(1,2)x2＋3x＝eq\f(1,2)(x＋3)2－eq\f(9,2)，所以顶点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(9,2))).(2)把抛物线y＝eq\f(1,2)x2先向左平移3个单位长度，再向下平移eq\f(9,2)个单位长度即可得到抛物线y＝eq\f(1,2)(x＋3)2－eq\f(9,2).(3)Q点横坐标为－3，代入y＝eq\f(1,2)x2，可得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(9,2)))，图中阴影部分的面积＝S△OPQ＝eq\f(1,2)×3×9＝eq\f(27,2).22．(2019·南充)在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元？(2)经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？解：(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x，y元，根据题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝38，,4x＋5y＝70，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝6.))答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；(2)设钢笔的单价为a元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本的总金额为w元，①当30≤b≤50时，a＝10－0.1(b－30)＝－0.1b＋13，w＝b(－0.1b＋13)＋6(100－b)＝－0.1b2＋7b＋600＝－0.1(b－35)2＋722.5，∵当b＝30时，w＝720，当b＝50时，w＝700，∴当30≤b≤50时，700≤w≤722.5；②当50<b≤60时，a＝8，w＝8b＋6(100－b)＝2b＋600，700<w≤720，∴当30≤b≤60时，w的最小值为700元．答：这次奖励一等奖学生50人时，购买的奖品总金额最少，最少为700元．六、(本大题共12分)23．(2019·新疆)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，4)三点．(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)将(1)中的抛物线向下平移eq\f(15,4)个单位长度，再向左平移h(h>0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；(3)点P为线段BC上一动点(点P不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．题图答图解：(1)函数表达式为y＝a(x＋1)(x－4)＝a(x2－3x－4)，即－4a＝4，解得a＝－1，故抛物线的表达式为y＝－x2＋3x＋4，顶点D(eq\f(3,2)，eq\f(25,4))；(2)抛物线向下平移eq\f(15,4)个单位长度，再向左平移h(h>0)个单位长度，得到新抛物线