期权基础和期权定价

金融工程有很多人因研究证券而名闻天下，但没有一个人因此而富甲天下。第七章期权基础和期权定价符号说明

C：欧式看涨期权价格

p：欧式看跌期权价格

S0

：当前股价

X、K:执行价格

T

: 到期期限

: 股价波动率St

：t时的股价

C: 美式看涨期权价格

P: 美式看跌期权价格

ST

:期权存续期内股价

D: 期权存续期内红利现值

r

: T时刻到期的无风险收益率（复利）多头（买方）空头（卖方）亏损有限亏损无限权利买的权利卖的权利支付期权费基本术语：基础资产期权的执行价格期权费到期日看涨期权：预期标的资产价格上升看跌期权：预期标的资产价格下降第一节期权基础一、基本术语：美式期权欧式期权二、期权到期时的损益：期权交易者期末的损益1.看涨期权多头的损益损益STK看涨期权多头看涨期权空头多头时间股价0损益空头K2.看跌期权的损益损益STK看跌期权多头看跌期权空头多头0损益空头K三、期权的价值（期权费）：期权的价值＝内在价值+时间价值1.内在价值：指期权立即按执行价格执行时所具有的价值和零之间的最大值。价内期权（期权处于实值状态）平价期权价外期权（期权处于虚值状态）价内期权（期权处于实值状态）价外期权（期权处于虚值状态）平价期权看涨期权看跌期权At-the-moneyoption：两平期权In-the-moneyoption：实值期权Out-of-the-moneyoption：虚值期权例如某股票的现价为42元，其看涨期权的执行价格为38元，则内在价值为4元。理解：当前的价值内在价值特征的几个概念内在价值不可能为负。2.期权的时间价值：期权费-内在价值原因：期权的权利和义务不对称，看涨期权的空头具有亏损无限而盈利有限的特征，时间价值是多头给予空头的风险补偿。时间价值的特征：执行价格既定时，期权距到期日越远，期权的价值越大，期权越接近到期日，时间价值就越小（时间价值衰减），并且距到期日的时间很长时，期权价值的衰减几乎是线性的，在距到期日还剩几周时，时间价值就开始急剧下降，到到期日时，期权的时间价值为0到期日时间时间价值期权有效期内随其标的资产价格波动可为持有者带来收益的可能性所隐含的价值。股价期权价值内在价值时间价值看涨期权价格期权的时间衰减特征对期权的出售方是有利的，水平价差组合的构造者就是希望通过出售期权来获取这种衰减的时间价值，因为他们希望到期时期权已无价值或价值大大减少。斜率小于1四、期权的特征杠杆性期权多头损失有限性和期权空头损失的无限性；权利和义务的不对称；期权的价值（或者说期权交易者的损益）与到期日基础资产的价格之间的关系是非线性的，这一点与期货不同；非线性特征使得求期权价格时，必须对基础资产建模，本章中的二叉树模型和B-S模型是典型的例子；无论基础资产市场是多头、空头还是盘整的，期权交易者都可获益。一、单期模型10090120第二节二叉树模型(binomialmodel)无风险利率股票X＝100的买权1.举例期初期末上升-180-180240180-60000下降（1）（2）（3）163.64-2003C0资产组合现金流（1）以10％的利率借入资金163.64，即到期还本付息180，（2）以价格100买入2股股票（3）以价格C卖出3份期权构建套利组合：2.一般化（1）以r的利率借入资金B，即到期还本付息BR（）；（2）以价格S买入h股股票；（3）以价格C卖出1份期权。SdSuS无风险利率股票X＝S的买权令风险中性概率期初期末上升-BR-BRhushds-Cu-Cd00下降（1）（2）（3）B-hSC0资产组合现金流风险险中中性性定定价价与与风风险险中中性性概概率率风险险中中性性世世界界：：通通过过数数学学变变换换（（概概率率测测度度变变换换）），，把把原原来来实实际际的的概概率率空空间间变变为为一一个个新新的的概概率率空空间间，，在在这这个个新新概概率率空空间间下下，，股股价价的的收收益益率率是是无无风风险险利利率率，，同同时时，，方方差差不不变变，，因因此此称称为为风风险险中中性性定定价价。。这时时，，股股票票的的期期望望收收益益改改为为无无风风险险收收益益，，而而方方差差不不变变。。h：：称称为为套套头头比比，，有有时时也也称称Delta()，，是是股票票期期权权价格格变变化化与与标的的股股票票价格格变变化化之之比比，，即即对对一一单单位位现现货货头头寸寸进进行行套套期期保保值值所所需需的的套套期期工工具具单单位位数数。。解决决上上例例：：时间间为为T（（以以年年为为单单位位）），，将将R改改为为：：10090120无风险资产股票X＝100的买权股价价=$18股价价=$22股价价=$20例题题：：看涨涨期期权权，当当前前股股票票价价格格为为$20，，三三个个月月末末其其价价格格将将为为$22或或$18，，该该股股票票相相应应3个个月月期期的的看看涨涨期期权权执执行行价价为为$21，假假设设无无风风险险收收益益率率（（连连续续复复利利））为为12%。。解决决：：1.画画出出二二叉叉树树；；2.求求出出u和和d；；3.求求出出套套头头比比；；4.求求出出风风险险中中性性概概率率；；5.给给该该买买权权定定价价。。股价价=$22期权权价价格格=$1股价价=$18期权权价价格格=$0股价价=$20期权权价价格格=?风险险中中性性概概率率：：期权权的的价价值值为为1001209014410881ABCDEF二、、两两期期模模型型C值值随随时时间间节节点点的的变变化化而而变变化化，，即即随随时时间间变变化化而而变变化化。。倒推推算算法法：：风险险中中性性概概率率不不变变三、、参参数数的的确确定定1.确定的收益的方差White算法：固定求u、d1CRR模模型型：：确确定定u、、d，，再再求求取注：：该该概概率率并并非非风风险险中中性性概概率率，，而而是是期期望望收收益益为为μ的概概率。。无套利利要求求：当标准准差远远远小小于无无风险险收益益率时时，可可能会会产生生套利利，所所以时时间间间隔的的选择择很重重要，，因为为u、、d是是它的的函数数。2.单期期限的确定3.标标准差差与期期望收收益的的计算算：统统计学学则：例题第三节节Black-Scholes期期权定定价一、预预备知知识：：正态分分布与与对数数正态态分布布如果随机变量为正态分布，即，则称X服从对数正态分布好处：：若X、Y均服服从对对数正正态分分布，，则也服从从对数数正态态分布布二、预预备知知识：：股票价价格模模型的的演绎绎1900年年Bachelier：：股价价服从从正态态分布布缺陷：有限限负债债，即即股价价不可可能为为负.简单净净收益益率（（单利利R））服从从正态态分布布：缺陷：多期期问题题：多多期收收益是是单期期收益益的乘乘积，，单期期是正正态分分布则则多期期不是是正态态分布布。对数收收益率率服从从正态态分布布股价服服从几几何布布朗运运动：：和对对数收收益率率服从从正态态分布布一致致0t1t2T单期多期单期多期好处：解决决有限限负债债和多多期问问题。。股价股价若对数数收益益服从从正态态分布布，则则相对对收益益（短短期收收益））服从从对数数正态态分布布，由由于S0为常数数，故故股价价服从从对数数正态态分布布。三、对对数收收益：：连续续复合合收益益率，，即连连续复复利率率允许股价以递增的比率增长，同时它的复合增长率保持为常数。取值范围为，而短期收益为，符合有限负债。价格的对数分布是向右偏斜的，这与经验数据相容。1.t时刻刻的瞬瞬时收收益：：为常数a为可导函数为随机变量四、标标准布布朗运运动：：维纳纳过程程一个随机过程，它在一个微小时间间隔之间变化为，如果：（1）（2）（3）对于任意两个不同时间间隔，相互独立，即独立增量2.性性质：：称为标准的布朗运动维纳过过程处处处连连续但但处处处不可可导：：独立增量意味着不能由预测，过程（曲线）是不光滑的。有关增量是随机变量：这意味着：可取任意值1.定定义：：维纳过程的一阶变差和在任意区间内都非有界维纳过程的二阶变差和收敛，且当它以概率1收敛t这意味着：可能是无穷大T：为为任意意长的的时间间，可可能很很短。。随机微微分：：沿用用微分分的符符号：：乘积000随机微微分规规则是随机微积分的基本元素，也是连续时间金融的基本元素不存在在当h趋向无穷小的时间间隔dt时，布朗运动的无限小增量：仍记为，它是一个随机变量。五、一一般维维纳过过程：：白噪声声：用用于模模拟不不可预预料的的世界界状态态对金金融产产品价价格带带来的的冲击击被放大大或缩缩小b倍现实的的应用用：离离散化化六、扩扩散过过程：：伊藤藤过程程乘积000泰勒展展开：：伊藤过过程：：只与与S和和t有有关的的过程程七、ITO伊藤藤定理理：设表示漂移率，表示波动率，是S和t的函数则有：：例题：：设解：解：例题：：设证券价格的自然对数所遵循的随机过程解：伊藤过过程是是一个个维纳纳过程程驱动动的过过程，，即基基本元元素是是标准准的维维纳过过程伊藤定定理是是实现现随机机过程程之间间的变变量代代换的的方法法随机微微积分分的基基本公公式是是证券价格的自然对数所遵循的随机过程如果：：八、几几何布布朗运运动描描述股股价金融学学中，，对股股票价价格作作如下下假定定：股股票价价格呈呈对数数正态态分布布，股股票的的对数数收益益率服服从正正态发发布；；股票票价格格遵循循几何何布朗朗运动动；三三者等等价。。：称为为漂移移率，，其金金融意意义是是股价价瞬间间变化化的期期望收收益。。称为白白噪声声，用用于模模拟不不可预预料的的世界界状态态对金金融产产品价价格带带来的的冲击击。是瞬间间方差差或扩扩散系系数，，金融融上是是测量量变量量的易易变性性。乘积表表示股股价收收益变变化中中由不不确定定性因因素造造成的的部分分，即即随机机冲击击，通通过波波动率率放大大或缩缩小后后传导导给股股票价价格。。此时，，随机机过程程中的的随机机变量量的数数字特特征不不再是是确定定的数数，而而是时时间的的函数数其他表表示：：是什么离散化将年化统计学学：是简单收益在期间的期望收益（平均收益），故称预期收益率。由于是以年为单位，是单位时间内经年化后的年收益率。目的与与步骤骤：为为了给给期权权定价价，为为了方方便，，需要要知道道S的的绝对对量的的分布布，以以便直直接由由S计计算。。为此此，需需要下下面的的两个个步骤骤：1.使使用随随机微微积分分，作作变化化：说明几几何布布朗运运动与与正态态分布布的等等价性性说明随随机微微分不不同于于一般般意义义上的的微分分。是什么是股票连续复利的收益率，是随机变量是什么是对数收益（连续复利）的期望收益，故称预期收益率。由于是以年为单位，是单位时间内经年化后的年连续复利收益率。年化统计学学：是什么是连续复利的标准差，也是经年化后的年标准差假设随随后五五年的的年收收益率率分别别为：：10%,12%,8%,9%,和和11%则算术术平均均值为为：几何平平均值值为：：算术平平均值值要略略大于于几何何平均均值，，而后后者也也是我我们事事实上上可能能获得得的实实际收收益率率。连续复复利是是无限限的几几何平平均，，二者者存在在的数数量关关系：：因为：：2.用用统计计学知知识，，获得得以下下变换换也服从正态分布服从对数正态分布总结：：伊藤定定理对数正正态分分布1.逻逻辑起起点：：萨缪缪尔森森于1965年年的几几何布布朗运运动模模型：：2.模模型起起点：：对数数正态态分布布3.运运用统统计学学的知知识，，估计计模型型参数数：服从对数正态分布4.得得出ST的模型型和参参数离散化模型，恰当的选择，估计出：十、Black-Scholes微分分方程程：二二阶线线性偏偏微分分方程程1）股股价符符合以以和和为为常数数的布布朗运运动（（随机机过程程）；；2）没没有卖卖空限限制；；3）没没有交交易费费用或或税收收；4）证证券高高度可可分；；5）期期权有有效期期内没没有红红利支支付；；6）没没有无无风险险套利利机会会；7）证证券交交易连连续；；8）无无风险险利率率r为常数数并对对全部部到期期日都都相同同1.假假设2.股股价S遵循循以和为常常数的的几何何布朗朗运动动，即即3.设f为依赖S的衍生证证券的价价格，即即f是S和t的函数，，由伊藤藤定理：：市场无摩摩擦（完完美市场场）或设组合包包含x份份股票和和y份看看涨期权权，则组组合的初初始价值值为其中，买买权价格格c的运运动遵循循伊藤定定理，则则有：在一个无无限小的的间隔内内，组合合的变化化为：令：这样组合合就复制制了无风风险证券券（与S无关）），组合合的收益益应是无无风险收收益4.构造造组合去去复制无无风险证证券，即即组合是是收益是是确定的的复制组合衍生证券：1单位衍生证券空头标的证券（股票）：份股票多头则：在时间后组合价值的变化5.组合价值在时间下是无风险的，无套利假设下，则有：6.Black-Scholes微微分方程程任何依赖赖于基础础证券价价格S的的衍生证证券的价价格都满满足该微微分方程程（物理理学中的的热传导导偏微分分方程，，也称线线性抛物物线偏微微分方程程，）。。针对具体体问题，，加上一一些必要要的边界界条件和和初始条条件，就就形成了了解决一一般衍生生产品定定价问题题的通用用模式。。解方程的的方法：：解析方方法和数数字方法法（二叉叉树模型型和蒙特特卡罗模模拟）注意：该方程中已没有验证远期期合约是是否满足足B-S偏微分分方程假设股价价服从几几何布朗朗运动求期货所遵循的扩散过程7、Black-Scholesd的边界界条件(boundaryconditions)Black-Scholesd的边边界条件件（终端端条件））当t=T时，根据边界界条件可可以倒向向解出微微分方程程的解十一、Black-Scholes定价公公式（欧欧式期权权）N(x)为均值为为0标准准差为1的正态态分布变变量的累累计概率率分布函函数。其中：看涨期权权与看跌跌期权的的平价关关系：•Black-Scholes定价公式式的案例例一个欧式式看涨期期权，S0=105，K=100,r=10%，D=0，，T=0.25年年，=30%。计计算c：N(d1)=0.7123+0.73××0.7157-0.7123)=0.7148N(d2)=0.6618其次：最后：得得到c值值为：首先：计计算d1和d2u0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.72241.60.94520.94630.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.95451.70.95540.95640.95730.95820.95910.95990.96080.96160.96250.96331.80.96410.96490.96560.96640.96710.96780.96860.96930.96990.97061.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.98572.20.98610.98640.98680.98710.98740.98780.98810.98840.98870.98902.30.98930.98960.98980.99010.99040.99060.99090.99110.99130.99162.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99320.99340.9936十二、影影响期权权价值的的因素影响因素欧式看涨期权欧式看跌期权美式看涨期权美式看跌期权标的资产价格（+）+-+-执行价格（+）-+-+到期期限（+）？？++波动率（+）++++无风险利率（+）-+-+cpCP变量S0KTrD++–+??+++++++–+––––+–+–+十三、隐隐含波动动率（波波动率微微笑）B—S公公式期权价值值向前期权价格格向后历史波动动率：根根据历史史数据估估计的波波动率。。隐含波动动率：根根据期权权价格倒倒算出的的波动率率。波动率微微笑：相相同标的的资产的的不同期期权应该该有相同同的波动动率，但但现实中中却不同同的现象象称为波波动率微微笑。股价期权价值值内在价值值时间价值值期权的上上限：期权的下下限：B-S公公式平价期权权实值期权权虚值期权权股价期权价值值内在价值值时间价值值期权的上上限：期权的下下限：B-S公公式期权交易易的实际际做法中中，并不不是将买买权执行行,而是是将随股股票价格格上涨而而上涨的的买权卖卖掉而获获利了解解。随着时间间的推移移，期权权的价值值会随着着标的资资产价格格的变化化而变化化，买权权多头的的损益应应是一条条曲线，，该曲线线上任何何一点处处的斜率率都小于于单位1，这也也说明了了期权的的价值与与标的资资产的价价格之间间是非线线性的（（从BS公式也也可知道道）。几点说明明：该曲线的的斜率称称为“套套头率””，它表表示每份份标的资资产的空空头所对对应的买买权份数数而进行行的对冲冲。它在在套期保保值中起起着重要要的作用用。损益STK当时，买权的多头是亏损的，但这个亏损是缓慢增加的，最多只能达到买权的买价，这意味着：在股票价格下跌时，买权多头将该期权卖掉，多少都能卖出一个价格，而非像折线那样将原有的价格赔光。一、期权权交易所所的术语语：报价单位交易单位期权形式执行价格设置最小4.分红红&股股票分分割假设你拥拥有N单位的期期权，执行价格格为K:现金红利利并不调调整场内内交易的的期权（（当然是是否考虑虑红利对对期权估估价方式式有很大大的影响响）当存在n对m的股票分分割时，，执行价格格变动为为mK/n期权数量量增加为为nN/m股票红利利的处理理与股票票分割的的处理相相类似一个看涨涨期权：：以$20每股股的价格格买入100股股股票在下列情情况下，，期权合合约如何何进行调调整:2对1的的股票分分割?25%的的股票红红利?20221824.219.816.2两步二叉叉树案例例二叉树图图如下，，单个步步长为3个月，，r仍为为12%.二叉树图图如右,X=21B节点的的估值=e-0.12*0.25(0.6523*3.2+0.3477*0)=2.0257A节点的的估值=e-0.12*0.25(0.6523*2.0257+0.3477*0)=1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF两步二叉叉树案例例：一般般结论二叉树图图如下S0fS0ufuS0dfdS0u2fuuS0d2fddS0udfud7204843220601.4147409.4636504.1923ABCDFE•看跌期权权的例子子二叉树图图如下,其中中X=52,u=1.2,d=0.8,r=5%,T=212>9.46376美式期权权7204843220601.41474012505.0894ABCDFE6282.08.02.18.0ee1.0*0.05=--=--=DdudpTr•原则:最后节点点的期权权价值与与欧式期期权相同同较早节点点期权价价值取如如下两者者中的较较大值：：--由由之前方方程计算算出的值值--提提前执执行所得得收益二叉树如如下,X=52,u=1.2,d=0.8,r=5%,T=2DeltaDelta()是是股票期权权价格变化化与标的股票票价格变化化之比值随随时间节节点的变变化而变变化2.做市商大多数交易所所采用做市商商制度来进行行交易做市商对期权权的买入价(bidprice)和卖出价(askprice)进行报价做市商报出期期权的买入价价和卖出价时时并不知道询询价的人是要要买入(buy)还是要要卖出(sell)该期期权3.保证金(Margin)投资者出售期期权时要求一一定数量的保保证金出售无保护期期权（nakedoption））时初始保证证金是以下两两个计算结果果中取大的那那一个结果：：出售期权的所所有收入加上上期权的标的的股票价值的的20%减去去期权处于虚虚值状态的数数额(如果果有的话)出售期权的所所有收入加上上期权的标的的股票价值的的10%其他的期权交交易策略还有有其他的特殊殊条款，比如如指数期权，，应该将以上上计算过程中中的20%改改为5%。主主要的原因是是通常情况下下指数的波动动性要小于单单个股票的波波动性。五、期权场内内交易机制1.参与者5.认股权证证（Warrants）认股权证是由由公司或金融融机构发行或或出售的期权权流通在外的认认股权证的数数量取决于初初始发行的数数量，只有当当期权执行或或到期时其数数量才会发生生变化执行时，初始始发行者只需需与当前认股股权证的持有有者进行结算算公司如果发行行本公司股票票的看涨认股股权证，执行行认股权证时时将导致公司司向认股权证证持有者发放放新的库存股股票6.可转债（（ConvertibleBonds）可转债是公司司发行的、在在一般债券上上附加期权的的一种债务工工具，持有者者有权在将来来的特定时期期内根据某个个确定的比例例将可转债转转换为该公司司的股权一般来说可转转债是可赎回回（callable））性质的可赎回条款赋赋予发行可转转债的公司具具有强迫债券券提前转换成成股权的权利利，而持有者者别无选择谢谢1月-2301:28:5001:2801:281月-231月-2301:2801:2801:28:501月-231月-2301:28:502023/1/61:28:509、静夜四四无邻，，荒居旧旧业贫。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黄叶树树，灯下白头头人。。01:28:5101:28:5101:281/6/20231:28:51AM11、以我独独沈久，，愧君相相见频。。。1月-2301:28:5101:28Jan-2306-Jan-2312、故人江海海别，几度度隔山川。。。01:28:5101:28:5101:28Friday,January6,202313、乍见见翻疑疑梦，，相悲悲各问问年。。。1月-231月-2301:28:5101:28:51January6,202314、他乡生白发发，旧国见青青山。。06一月20231:28:51上午01:28:511月-2315、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。一月231:28上上午午1月-2301:28January6,202316、行动出成成果，工作作出财富。。。2023/1/61:28:5101:28:5106January202317、做前，能够够环视四周；；做时，你只只能或者最好好沿着以脚为为起点的射线线向前。。1:28:51上午1:28上上午01:28:511月-239、没有有失败败，只只有暂暂时停停止成成功！！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事事情努力力了未必必有结果果，但是是不努力力却什么么改变也也没有。。。