2022年四川省凉山州中考数学试卷

第16页（共16页）2022年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．（4分）﹣2022的相反数是（A）A．2022 B．﹣2022 C． D．2．（4分）如图所示的几何体的主视图是（C）A． B． C． D．3．（4分）我州今年报名参加初中学业水平暨高中阶段学校招生考试的总人数为80917人，将这个数用科学记数法表示为（C）A．8.0917×106 B．8.0917×105 C．8.0917×104 D．8.0917×1034．（4分）如图，直线a∥b，c是截线，若∠1＝50°，则∠2＝（C）A．40° B．45° C．50° D．55°5．（4分）化简：＝（D）A．±2 B．﹣2 C．4 D．26．（4分）分式有意义的条件是（B）A．x＝﹣3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≠07．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（C）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．5，5，108．（4分）一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，则a、b的平均数为（B）A．4 B．5 C．8 D．109．（4分）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（C）A．米2 B．米2 C．米2 D．米210．（4分）一次函数y＝3x+b（b≥0）的图象一定不经过（D）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（C）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm12．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（C）A．a＞0 B．a+b＝3 C．抛物线经过点（﹣1，0） D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根12.C【解析】由题意作图如下：由图知，a＞0，故A选项说法正确，不符合题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），∴a+b+c＝0，c＝﹣3，∴a+b＝3，故B选项说法正确，不符合题意，∵对称轴在y轴的左侧，∴抛物线不经过（﹣1，0），故C选项说法错误，符合题意，由图知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故D选项说法正确，不符合题意，故选：C．二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）计算：﹣12+|﹣2023|＝2022．14．（4分）分解因式：ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）．15．（4分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝6．16．（4分）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为．17．（4分）如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝，BD＝5，则⊙O的半径为．17.【解析】连接OD，如图所示∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AB⊥CD，∴∠OHD＝∠BHD＝90°，∵cos∠CDB＝＝，BD＝5，∴DH＝4，∴BH＝3，设OH＝x，则OD＝OB＝x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42＝（x+3）2，解得：x＝，∴OB＝OH+BH＝3+＝；故答案为：．三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．解：（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0，x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．19．（5分）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m为满足﹣1＜m＜4的整数．解：（m+2+）•＝•＝•＝•＝﹣2（m+3）＝﹣2m﹣6，∵m≠2，m≠3，∴当m＝1时，原式＝﹣2×1﹣6＝﹣2﹣6＝﹣8．20．（7分）为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：（1）该班的总人数为50人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．解：（1）该班总人数为12÷24%＝50（人），则选择“演讲”人数为50×16%＝8（人），补全图形如下：故答案为：50；（2）设美术社团为A，演讲社团为B，声乐社团为C．画树状图如图所示.由树状图知，共有12种等可能的结果数，其中选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的有4种结果，所以选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率为＝．21．（7分）去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．解：由已知可得，BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，∴∠E＝∠DBA＝30°，∴AD＝8米，∴BD＝＝＝8（米），∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，∴∠C＝∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝8米，∴BC＝＝＝8（米），∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+8+8）米，答：压折前该输电铁塔的高度是（8+8+8）米．22．（8分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE（AAS），∴AF＝CD，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴四边形ADBF是菱形；（2）解：∵四边形ADBF是菱形，∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，∵点D是BC的中点，∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，∴AB•AC＝40，∴×8•AC＝40，∴AC＝10，∴AC的长为10．四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）23．（5分）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是6．解：∵a﹣b2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．24．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是．解：连接AD，BD，AD和BD相交于点D，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵AB＝6，BD＝4，∴AD＝＝＝2，∴cos∠ADB＝＝＝，∵∠ACB＝∠ADB，∴cos∠ACB的值是，故答案为：．五、解答题（共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（8分）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．（1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价．（2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．解：（1）设A种球拍每副x元，B种球拍每副y元，，解得，答：A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；（2）设购买B型球拍a副，总费用w元，依题意得30﹣a≥2a，解得a≤10，w＝40（30﹣a）+32a＝﹣8a+1200，∵﹣8＜0，∴w随a的增大而减小，∴当a＝10时，w最小，w最小＝﹣8×10+1200＝1120（元），此时30﹣10＝20（副），答：费用最少的方案是购买A种球拍20副，B种球拍10副，所需费用1120元．26．（10分）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝．x1x2＝﹣．（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，故答案为：，﹣；（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，∴m+n＝，mn＝﹣，∴＝＝＝＝；（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，∴s，与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，∴s+t＝，st＝﹣，∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），（s﹣t）2＝，∴s﹣t＝，∴＝＝＝＝．27．（10分）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝6．（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；（2）求AB的长；（3）连接BM并延长交⊙M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．解：（1）猜测⊙M与x轴相切，理由如下：如图，连接OM，∵AC平分∠OAM，∴∠OAC＝∠CAM，又∵MC＝AM，∴∠CAM＝∠ACM，∴∠OAC＝∠ACM，∴OA∥MC，∵OA⊥x轴，∴MC⊥x轴，∵CM是半径，∴⊙M与x轴相切．（2）如图，过点M作MN⊥y轴于点N，∴AN＝BN＝AB，∵∠MCO＝∠AOC＝∠MNA＝90°，∴四边形MNOC是矩形，∴NM＝OC，MC＝ON＝5，设AO＝m，则OC＝6﹣m，∴AN＝5﹣m，在Rt△ANM中，由勾股定理可知，AM2＝AN2+MN2，∴52＝（5﹣m）2+（6﹣m）2，解得m＝2或m＝9（舍去），∴AN＝3，∴AB＝6．（3）如图，连接AD与CM交于点E，∵BD是直径，∴∠BAD＝90°，∴AD∥x轴，∴AD⊥MC，由勾股定理可得AD＝8，∴D（8，﹣2）．由（2）可得C（4，0），设直线CD的解析式为：y＝kx+b，∴，解得．∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+2．28．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点