2024-2025学年新教材高中数学第9章平面向量9.3向量基本定理及坐标表示9.3.3向量平行的坐标表示课时素养评价含解析苏教版必修第二册

PAGE课时素养评价八向量平行的坐标表示(20分钟35分)1.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.(3,2) D.(1,3)【解析】选A.设点D(m,n),则由题意得(4,3)=2(m,n-2)=(2m,2n-4),故QUOTE解得QUOTE即点DQUOTE.2.已知向量a=(1-sinθ,1),b=QUOTE,且a∥b,则锐角θ等于 ()A.30° B.45° C.60° D.75°【解析】选B.由a∥b,可得(1-sinθ)(1+sinθ)-QUOTE=0,即cosθ=±QUOTE,而θ是锐角,故θ=45°.3.已知向量a=QUOTE与向量b=(x2,2x)共线,则实数x的值为 ()A.-3 B.-3或0C.3 D.3或0【解析】选B.向量a=QUOTE与向量b=(x2,2x)共线,则2xQUOTE-x2=0,即x2+3x=0,解得x=0或x=-3,所以实数x的值为-3或0.4.已知A,B,C三点共线,且A(-3,6),B(-5,2),若C点的纵坐标为6,则C点的横坐标为 ()A.-3 B.9 C.-9 D.3【解析】选A.设C(x,6),因为A,B,C三点共线,所以∥,又=(-2,-4),=(x+3,0),所以-2×0+4(x+3)=0.所以x=-3.5.(2024·嘉定高一检测)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,-2),点P满意=-3,则点P的坐标为________.

【解析】设P(x,y),因为=-3,所以(x,y)=-3(4-x,-2-y),(x,y)=(-12+3x,6+3y),QUOTE解得QUOTE所以P(6,-3).答案:(6,-3)6.已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).与是否共线?假如共线,它们的方向相同还是相反?【解析】=(0,4)-(2,1)=(-2,3),=(5,-3)-(1,3)=(4,-6),因为(-2)×(-6)-3×4=0,所以,共线.又=-2,所以,方向相反.综上,与共线且方向相反.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分.多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=QUOTE,=QUOTE,则等于 ()A.(-2,7) B.(-6,21)C.(2,-7) D.(6,-21)【解析】选B.因为点Q是AC的中点,所以=QUOTE,所以=2-,因为=QUOTE,=QUOTE,所以=QUOTE,又=2,所以=3=QUOTE.【补偿训练】在▱ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对称中心为O,则等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.=-QUOTE=-QUOTE(+)=-QUOTE(1,10)=QUOTE.2.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中,正确的个数是 ()①存在实数x,使a∥b;②存在实数x,使(a+b)∥a;③存在实数x,m,使(ma+b)∥a;④存在实数x,m,使(ma+b)∥b.A.0 B.1 C.2 【解析】选B.由a∥b得x2=-9,无实数解,①不对;又a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9,无实数解,②不对;因为ma+b=(mx-3,3m+x),而(ma+b)∥a,所以(3m+x)x-3(mx-3)=0,即x2=-9,无实数解,③不对;由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,④正确,综上,正确的个数为1.【补偿训练】已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,假如c∥d,那么 ()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向【解析】选D.因为a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,-1),明显,c与d不平行,解除A、B.若k=-1,则c=-a+b=(-1,1),d=a-b=-(-1,1),即c∥d且c与d反向.3.我国古代人民早在几千年以前就已经发觉并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则= ()A.QUOTEa+QUOTEb B.QUOTEa+QUOTEbC.QUOTEa+QUOTEb D.QUOTEa+QUOTEb【解题指南】建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x,则AE=2x.利用勾股定理可得x,通过Rt△ABE的边角关系,可得E的坐标,设=m+n,通过坐标运算性质即可得出.【解析】选A.如图所示,建立平面直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x,则AE=2x.所以x2+4x2=1,解得x=QUOTE.设∠BAE=θ,则sinθ=QUOTE,cosθ=QUOTE.所以xE=QUOTEcosθ=QUOTE,yE=QUOTEsinθ=QUOTE.设=m+n,则QUOTE=m(1,0)+n(0,1).所以m=QUOTE,n=QUOTE.所以=QUOTEa+QUOTEb.4.(多选题)下列向量中,与向量c=(2,3)共线的向量有 ()A.(3,2) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选BCD.由向量平行的坐标表示,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0可知,只有选项A与已知向量不共线.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与4b-2a平行,则实数x=________【解析】a+b=(1,1)+(2,x)=(3,x+1),4b-2a因为a+b与4b-2a答案:26.已知A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ(λ∈R),且点P在第一、三象限的角平分线上,则λ=________.

【解析】因为=+λ,所以=+=++λ=+λ=(5,4)+λ(5,7)=(5+5λ,4+7λ),由题意,可知5+5λ=4+7λ,得λ=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题7.(10分)已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=QUOTE,=QUOTE,求证:∥.【证明】设E,F的坐标分别