信号与系统PPTcp信号与系统的基本概念

信号与系统主讲教师：杨玲君Email:xiaoxiao7879@126.com办公地点：3402室课程介绍●教材:

胡钋编著信号与系统.北京:中国电力出版社，2009●学时：45学时；实验：另备实验课●考核：考试+平时成绩（作业+考勤）●作业：每章一次●学分：2.5学分●推荐参考书目：

书后参考文献郑君理闵大镒管致中陈生潭张晓红（美）奥本海姆学时安排

学时Cp1信号与系统的基本概念4Cp2连续时间系统的时域分析2Cp3连续信号的频谱-傅里叶变换8Cp4连续时间系统的频域分析2Cp5连续时间系统的复频域分析2Cp6离散时间信号与系统的时域分析8Cp7离散时间信号与系统的频域分析10Cp8Z变换与离散时间系统的z域分析8共计450绪论信息时代的特征——用信息科学和计算机技术的理论和手段来解决科学、工程和经济问题0绪论什么是信号？

《信号与系统》要解决的问题信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容。信号是信息的载体，通过信号传递信息。

自然和物理信号：语音、图像、地震信号、生理信号等人工产生的信号：人类为了达到某种目的人为产生的信号。雷达信号、通讯信号、医用超声信号、机械探伤信号等。消息(message)：常常把来自外界的各种报道统称为消息。

信息(information)：通常把消息中有意义的内容称为信息。

信号(signal)：信号是反映信息的各种物理量，是系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。0001101001111100011001010101011101100101000110000绪论什么是系统？信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。

系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。

如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图像、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。什么是信号？

《信号与系统》要解决的问题0绪论信号作用于系统产生什么响应？什么是系统？什么是信号？

《信号与系统》要解决的问题系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。0绪论以通讯为例古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯近代通讯方式：电报、电话、无线通讯现代通讯方式：计算机网络通讯、视频电视传播、卫星传输、移动通讯信号与系统问题无处不在0绪论工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地震预报、人工智能、高效农业、交通监控宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指挥系统经济预测、财务统计、市场信息、股市分析电子出版、新闻传媒、影视制作远程教育、远程医疗、远程会议虚拟仪器、虚拟手术信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科学领域0绪论电力系统中信号与系统的应用举例

（1）谐波分析电弧炉大型f50250幅度电网频谱分析0绪论鼠笼断裂电机转子的鼠笼454950f滑差电流电动机频谱分析泄露(2)故障诊断——电动机鼠笼断条0绪论(3)电压信号中断检测0绪论滤波以前干扰严重滤波以后干扰去除生物医学信号处理应用举例第1章信号与系统的基本概念基本要求：1.了解信号与系统的基本概念与定义；能画出信号的波形；2.了解常用基本信号的描述方法及分类、信号的特点与性质，并会应用这些性质；3.了解信号的时域分解、变换与运算方法，并会求解；4.了解系统的概念与分类，理解LTI因果系统的定义与性质，并会应用这些性质；5.了解LTI的数学模型与传输算子及时域分析的基本方法。学习原则：物理描述与数学语言并重；信号分析与系统分析并重；时域分析与频域变换法并重；连续系统与离散系统并重；理论、系统与实验并重。1.1信号及其描述1.1.2信号的描述

单边指数信号函数表达式描述信号的常用方法（1）函数表达式f(t)（连续信号）或离散序列（离散信号）（2）波形图（3）数据表单边指数信号波形图1t0f(t)“信号”与“函数”或“序列”两词常相互通用1.2信号的分类1、按信号的时间特性分类

信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。确定性信号连续时间信号（时间变量t连续或称模拟信号）离散时间信号数字信号——信号可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或规则信号。随机信号时间离散幅值连续时间离散幅值离散抽样信号——时间离散幅值连续不能用确定时间函数表示的信号，且在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号或不确定信号。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型。随机信号1.2信号的分类Ot()tf()nfn()nfn模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。抽样信号：时间是离散的，幅值是连续的信号。数字信号：时间和幅值均为离散的信号。()tfOt三角波离散时间信号(1)(2)(3)15On1-100sinwnt0sinW11.2信号的分类

连续时间信号n

012345t0连续时间信号（可包含不连续点）离散时间信号（抽样信号）数字信号判断下列波形是连续时间还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？值域连续值域不连续t<0时，f(t)=0的信号称为有始信号1.2信号的分类2.周期信号与非周期信号

周期信号是定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。连续周期信号f(t)满足:f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…离散周期信号f(k)满足:f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。1.2信号的分类

例1判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t

（2）f2(t)=cos2t+sinπt

解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信号，其角频率和周期分别为ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2π。（2）cos2t和sinπt的周期分别为T1=πs，T2=2s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。1.2信号的分类例2判断正弦序列f(k)=sin(βk)是否为周期信号，若是，确定其周期。解：式中β称为数字角频率，单位：rad。由上式可见：仅当2π/β为整数时，正弦序列才具有周期=2π/β。当2π/β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N=m(2π/β)，m取使N为整数的最小整数。当2π/β为无理数时，正弦序列为非周期序列。1.2信号的分类周期信号非周期序列1.2信号的分类例3

判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)

（2）f2(k)=sin(2k)解：（1）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的数字角频率分别为β1=3π/4rad，β2=0.5πrad

由于2π/β1=8/3，2π/β2=4为有理数，故它们的周期分别为N1=8，N2=4，故f1(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。（2）sin(2k)的数字角频率为β1=2rad；由于2π/β1=π为无理数，故f2(k)=sin(2k)为非周期序列。1.2信号的分类结论：

①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。1.2信号的分类3.按信号能量特点分类：能量信号功率信号信号（1）信号f（t）的能量

将信号f(t)施加于1Ω电阻上，它所消耗瞬时功率为，在区间(–∞,∞)的能量和平均功率定义为（2）信号的平均功率P若信号f(t)的功率有界，即P<∞,则称为功率有限信号，简称功率信号，此时E=∞

。若信号f(t)

的能量有界，即E<∞,则称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P=0。1.2信号的分类周期信号f(t)

时限信号为能量信号f(t)

f(t)存在于有限时间内

时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能量信号;周期信号属于功率信号;非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号；有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如周期信号为功率信号1.2信号的分类4.因果信号与反因果信号

因果信号（或有始信号）：将t<0时，f(t)=0的信号称之为因果信号

t=0接入系统的信号称为因果信号反因果信号：将t≥0,f(t)=0的信号称之为反因果信号1.3典型信号（对时间的微、积分仍是同频率正弦）正弦信号是周期信号，其周期T与角频率和频率f满足下列关系式：（1）正弦信号：1.3.1常用连续信号（2）指数信号当σ>0时，信号随时间按指数规律增长当σ<0时，信号随时间按指数规律衰减当σ=0时，指数信号变成恒定不变的直流信号S=σ，此时为实指数信号1.3典型信号s=σ+jω，此时为复指数信号，利用欧拉公式复指数信号虚部的波形指数信号的重要性在于对它的微积分结果仍然是同幂的指数信号(实际不存在但可描述各种基本信号)1.3典型信号抽样信号Sa(t)

（3）抽样信号

抽样函数的性质1.3典型信号（4）

高斯信号

1.3典型信号1.3典型信号1、单位阶跃信号单位阶跃函数是对某些物理对象从一个状态瞬间突变到另一个状态的描述。（1）定义1.3.2常用单元信号1.3典型信号（2）单位阶跃信号的性质：可以方便地表示某些信号

eg:f(t)=2u(t)-3u(t-1)+u(t-2)用阶跃函数表示信号的作用区间积分

1.3典型信号2、

单位冲激信号

定义

单位冲激信号又可称为冲激函数、狄拉克函数等，记为δ(t)。单位冲激信号反映一种持续时间极短、函数值极大的信号类型。

1.3典型信号狄拉克定义法函数δ(t)为t=0处无限窄而又无限高、但面积为1的一个冲激。脉冲函数取极限定义法

宽度为τ，高度为1/τ的矩形脉冲逼近冲激信号的过程如图所示。1.3典型信号冲激函数的性质时移性单位冲激函数为偶函数1.3典型信号抽样特性

把冲激函数与连续时间函数的乘积在整个时间范围内积分，可以得到冲激时刻的连续时间信号的取值，即“抽样”。所以，冲激函数具有抽样（检测）特性。为一个在t=0处连续且处处有界的信号，则1.3典型信号乘积特性

如果x(t)在t=0处连续，且处处有界，则有

连续时间信号x(t)与单位冲激信号相乘，等于将冲激时刻t0的信号值x(t0)“筛分”出来赋给冲激函数做冲激强度1.3典型信号微积分特性冲激函数与阶跃函数互为微积分关系1.3典型信号尺度特性分析：用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明，分a>0、a<0两种情况

两边相等i1.3典型信号ii两边相等1.3典型信号例题1.3典型信号3、

冲激偶(冲激函数的微分)Ot)(td¥)1(Ot)(td¢1.3典型信号冲激偶的重要性质若x(t)在0点(或)连续，则

例题1.3典型信号冲激偶的重要性质

冲激偶信号的另一个性质是，它所包含的面积等于零，这是因为正、负两个冲激的面积相互抵消。

冲激偶信号为奇函数，即1.3典型信号4、单位斜变信号单位斜变函数与阶跃函数u(t)互为微积分关系，即：1.3典型信号5、单位矩形脉冲信号1.3典型信号6、符号信号符号函数也可以用阶跃函数来表示，即1.4连续信号的运算1.4.1

时移、反褶（折叠）、尺度

（1）时移:将信号f(t)的自变量t用t-b替换b>0,

f(t-b)为f(t)右移

b；f(t+b)为

f(t)左移b。-1b1t-1+b11+bt-1-b1-bt右移b左移b（2）折叠（反褶）f（－t）：将f(t)的自变量t用-t替换信号f（t）与f（－t）以纵轴镜像对称

1-201t1-10

t21.4连续信号的运算例：已知f（t）波形，求解：方法一、先折叠后时移－201t1-102t101右移1.4连续信号的运算方法二、先时移后折叠(注意：是对t的变换！)－201t1

0

01左移右移反褶1－201t1反褶1.4连续信号的运算（3）尺度变换（横坐标展缩）：将自变量t用at替换f（at）a为常数|a|>1表示f(t)波形在时间轴上压缩1/|a|倍|a|<1表示f(t)波形在时间轴上扩展|a|倍快速播放慢速播放ttt1.4连续信号的运算时移x(t-2)尺度x(3t-2)反褶例题：1.4连续信号的运算

例题：信号f(t)的波形如图所示。画出信号f（－2t＋4）的波形。t01234t02468

t-4-224t-4-224由f（5－2t)f(－2t)时移1.4连续信号的运算解：（1）时移以而求得－2t，即f(5-2t)左移代替，例：已知f(5-2t)的波形如图所示，试画出f(t)的波形。tt（2）反转：f(-2t)中以-t代替t，可求得f(2t),表明f(-2t)的波形由f(－2t)f(2t)反褶1.4连续信号的运算以t＝0的纵轴为中心线对褶，注意是偶数，故

01t

f(2t)1.4连续信号的运算由f(2t)f(t)比例－1012t（3）比例：以代替f(2t)中的t，所得的f(t)波形将是f(2t)波形在时间轴上扩展两倍。140130tttt101340-11.4连续信号的运算1.微分1.4.2微分和积分

1.4连续信号的运算积分运算可削弱毛刺噪声的影响2.积分t00f(t)tf(t)=1.4连续信号的运算结论：（1）信号经过微分运算后突出显示了它的变化部分，起到了锐化的作用；（2）信号经过积分运算后，使得信号突出变化部分变得平滑了，起到了模糊的作用；利用积分可以削弱信号中噪声的影响。1.4连续信号的运算1.4.3加减、乘除

重要结论：任意信号f（t）可分解为偶分量与奇分量之和1.相加：t0t0证明：1.4连续信号的运算2.相乘：tttttt1.5连续信号的合成和分解为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为不同的分量简单分量组合直流分量与交流分量偶分量与奇分量任意信号分解为脉冲分量之和实部分量与虚部分量正交函数分量1.5连续信号的合成和分解1.5.1任意信号分解为直流分量与交流分量之和一个信号的平均功率等于直流功率与交流功率之和。

信号的平均值即为信号的直流分量，去掉直流分量即得交流分量1.5.2奇偶分解

对任何实信号而言：信号的平均功率=偶分量功率+奇分量功率

1.5连续信号的合成和分解0-1121-2101-1201-1-10-11.511/20-1/2例：两个信号分解为奇、偶分量的实例。1.5连续信号的合成和分解01-1100-1/21/21/2001.5连续信号的合成和分解1．矩形窄脉冲序列此窄脉冲可表示为1.5.3脉冲分量1.5连续信号的合成和分解出现在不同时刻的不同强度的冲激函数的和。1.5连续信号的合成和分解2．连续阶跃信号之和如图所示分解任意信号，可以分解为阶跃信号之和，1.5连续信号的合成和分解1.5连续信号的分解任意时刻的阶跃为将信号近似表示为1.5连续信号的分解然后，令窄脉冲宽度，并对上式极取限，最后，得到任意信号用阶跃信号表示的积分形式为1.6系统的模型

一般来讲，系统是一个由若干互有关联的单元组成的并具有某种功能以用来达到某些特定目的的有机整体，其意义十分广泛。1.6.1系统的概念电路与系统很难区分，只是观点和处理问题的角度上的差别系统分析：重点讨论输入、输出关系或运算功能电路分析：求解电路中各支路或回路电流及各节点的电压。故系统也可看作是一个转换（或一种运算）：r（t）＝T[e(t)]此图表示系统功能的方框图，表示单输入、单输出系统。T[]

e(t)输入激励

r(t)输出响应输入输出1.6系统的模型1.6.2初始状态下面以电容、电感的电压、电流关系理解系统初始状态的概念将“0”

记为“初始”时刻的瞬间，或电路发生“换路”的瞬间，为讨论问题方便，习惯“初始”实际是一个相对时间，通常是一个非零的电源接入电路1.6系统的模型例

如图所示简单电路系统，已知激励为电流，求响应

。解由电容的电压、电流关系此式是一阶线性微分方程，解此方程可得响应为称电容为动态（记忆、储能）元件+-1.6系统的模型特别的若，代入上式成为由电容与电感的对偶关系或初始条件。以前的作用，是系统在该时刻的储能，称作系统的初始状态上式中的或是电流在时刻、不特别说明本书的“初始”时刻取1.6系统的模型阶线性微分方程的一般形式为标准化初始条件不能全部直接用于微分方程求解就是非标准化初始条件，1、连续时间系统与离散时间系统2、静态即时系统和动态系统（按照系统内是否含有记忆元件）3、集总参数系统与分布参数系统4、线性系统和非线性系统（按其特性分）5、时不变系统与时变系统（按其参数是否随t而变）6、可逆系统与不可逆系统7、因果系统和非因果系统8、稳定系统与非稳定系统1.7系统的分类本课程主要研究：集中参数的、线性非时变的连续时间和离散时间系统。以后简称线性系统。输入、输出都是离散时间信号，其数学模型是差分方程输入、输出都是连续时间信号，其数学模型是微分方程(按所处理的信号类型划分)1.7系统的分类1.7.1连续时间系统和离散时间系统激励和响应均为连续时间信号的系统是连续时间系统，也称模拟系统；激励和响应均为离散时间信号的系统是离散时间系统，也称数字系统连续时间系统:微分方程离散时间系统:差分方程混合系统1.7系统的分类1.7.2静态即时系统和动态系统（按照系统内是否含有记忆元件）系统的数学模型：一阶微分方程

由理想电路元件符号表示的系统模型i(t)LR

+e(t)-例如日光灯电路的电路模型1.7系统的分类1.7.4线性系统和非线性系统能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统。T[af(·)]=aT[f(·)]齐次性：叠加性：T[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]T[af1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)]1.7系统的分类1、动态系统是线性系统的条件完全响应为y(·)=T[{f(·)},{x(0)}]零状态响应为yzs(·)=T[{f(·)},{0}]零输入响应为yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]动态系统不仅与激励{f(·)}有关，而且与系统的初始状态{x(0)}有关。初始状态也称“内部激励”。1.7系统的分类当动态系统满足下列三个条件时为线性系统可分解性：y(·)=yzs(·)+yzi(·)=T[{f(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]零状态线性：T[{af(·)},{0}]=aT[{f(·)},{0}]T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1(·)},{0}]+T[{f2(·)},{0}]或T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(·)},{0}]+bT[{f2(·)},{0}]零输入线性：T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}]T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}]或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]1.7系统的分类例：判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2f(t)解：（1）yzs(t)=2f(t)+1，yzi(t)=3x(0)显然，y(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不满足可分解性，故为非线性（2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2x(0)y(t)=yzs(t)+yzi(t)满足可分解性；由于T[{af(t)},{0}]=|af(t)|≠ayzs(t)不满足零状态线性。故为非线性系统。（3）yzs(t)=2f(t),yzi(t)=x2(0)，显然满足可分解性；由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2≠ayzi(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。1.7系统的分类满足可分解性满足零状态线性判断下列系统是否为线性系统？解：1.7系统的分类满足零输入线性所以，该系统为线性系统。1.7系统的分类1.7.5时不变系统和时变系统即，连续系统x(t－

t0)→y(t－

t0),

则称为时不变连续系统定义：若连续时不变系统的激励移位，则响应的波形不变，且作同样的移位。数学上，将y(t)中的变量

t代之以t－

t0

若t0>0，则右移(延时)；若t0<0，则左移(提前)

☆不满足上述关系的系统，称为时变系统

物理解释：元件参数不随时间改变。1.7系统的分类)(tettTOO)(trt)(0tte-O0tTt+0tO)(0ttr-0t)(te)(0tte-)(tr)(0ttr-H例：已知一线性系统，当激励信号x(t)=u(t)时，系统的响应为y1(t)，当系统的激励为下图所示信号时，求系统的响应y

(t)。22tx(t)131所以，根据线性和时不变性可得：解：设系统对于u(t)的响应为y1(t)1.7系统的分类

线性时不变系统（LTI）系统时不变时变非线性线性

1、叠加性与齐次性（合称线性性质）线性系统判据2、时不变性（非时变性）判据：若则

1.7系统的分类3、微分特性对于线性时不变系统（LTI)具有下列特性若则根据线性与时不变性容易证明此特性。1.7系统的分类1.7.6可逆系统和不可逆系统

若系统在不同激励信号作用下产生不同的响应，则称此系统为可逆系统。对于每个可逆系统都存在一个“逆系统”，当原系统与此逆系统级联组合后，输出信号与输入信号相同。

不同的激励信号产生了相同的响应，因而它是不可逆的。1.7系统的分类

因果信号（或有始信号）：t<0时，为零，t=0接入系统的信号称为因果信号。若系统为因果系统1.7.7因果系统和非因果系统若系统的响应不先于激励