信号分析第5章小波变换

主要内容连续小波变换的基本概念小波变换的性质小波分类和常见的小波离散小波变换第7章小波分析1连续小波变换的时域定义

核函数，是窗函数的时间平移b和尺度伸缩的结果where窗函数称为母小波.

22.小波变换的频域定义

作业7-1(1)证明的因子的作用是保证不同的尺度下，函数与母小波的能量相同(2)证明下面公式3解释小波变换可以理解为用一组分析宽度不断变化的基函数对信号s(t)进行分析，这一变化正好适应了对信号分析时在不同的频率范围需要不同的分辨率这一基本要求其中的因子的作用是保证不同的尺度下，函数与母小波的能量相同参数b的作用是确定对分析信号s(t)的时间位置，即时间中心。参数a的作用是把基本小波进行伸缩。43尺度因子1)a对小波函数的时域影响52)a对分析小波的频域影响6尺度因子在小波变换中物理解释(1)当用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高频小波对信号作细致观察；(2)当用较大的a对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察；7说明：在时域是有限支撑的，则和s(t)作内积后，将保证小波变换在时域也是有限支撑的，从而实现所希望的时域定位功能。所反映的，是在b附近的性质若具有带通特性，即在频域，围绕着中心频率是有限支撑的，则和的内积，也将反映在窗口中心频率处的局部性质，从而实现所期望的频率定位功能。信号s(t)的小波变换是a和b的函数。母小波可以是实函数，也可以是复函数。

84.小波(基本小波、母小波)则称为为连续小波，或母小波。约束条件的物理意义：是必要条件而不是充分条件。约束条件再加上有限时宽特性(时域紧支撑特性)，从而严格地将的波形约束为“一小段波”。9容许条件：母小波的特点：容许条件的含义：与上面的约束条件等价(1)小波具有波动性，表明是波动的(2)小波具有时、频域紧支撑，包络衰减快;(3)小波具有带通滤波器特性,可理解为一个带通滤波器的冲激响应又是紧支撑的(4)小波和一般的窗函数一样，满足101)定义经伸缩、平移构成小波基函数。即：5.小波基2)窗口中心时窗中心频窗中心为之时窗中心为之频窗中心113)窗口宽度频窗宽度时窗宽度为之频窗宽度4)窗口面积为之频窗宽度窗口面积与a，b无关，只由小波母函数决定12时窗中心频窗宽度时窗宽度频窗中心13(5).窗口特性ii)时窗宽度和频窗宽度分别随a和1/a发生变化；ⅲ)窗口面积不变；iv)是具有恒品质因数带通滤波器频域传递函数；是具有恒品质因数带通滤波器的冲激响应v)时、频窗口具有自适应变化特性。i)时窗和频窗中心分别随a和1/a成正比例变化；14(a)小波变换的基函数和时频网格6.小波变换与短时Fourier变换的比较

f(b)tf(b)t(a)短时Fourier变换的基函数和时频网格15(a)短时Fourier变换等效滤波器带宽(b)小波变换等效滤波器带宽频域等分辨是短时Fourier变换所固有的特性多分辨是小波变换的一种固有特性167.小波变换的物理意义

与小波函数小波变换就是通过信号的不同尺度变换和时移作内积或比较，得到相应的频率分量，来对信号进行分解。内积反映了信号与的相似程度17主要内容连续小波变换的基本概念小波变换的性质小波分类和常见的小波离散小波变换181线性叠加性where2时移不变性193尺度伸缩性

当信号在时间轴上按a和b两个轴上同时作相同比例的伸缩，但是小波变换的波形不变，这是小波变换的优点之一。作伸缩时，其小波变换在204Parseval定理where该性质说明了信号时域内积与小波域内积满足关系215信号域与小波域的能量对应性

令g(t)=s(t),再利用上述性质即可得证小波变换的幅度平方在尺度—位移平面上的加权积分，等于信号在时域的总能量。小波变换的幅度平方，可以看成是信号能量时频分布的一种表示形式。Fourier变换中的Parseval定理表明，信号时域中的能量等于频域中的能量小波变换中的Parseval定理要复杂一些，它不但要有常数加权，还必须满足容许条件。226微分特性

7两个信号卷积的小波变换

表示对变量b作卷积238逆小波变换

where是容许条件。9重构方程目的：(a,b)平面上不是所有的二维函数W(a,b)对应于函数s(t)的小波变换的充分必要条件是满足下述的重构方程where重构核24主要内容连续小波变换的基本概念小波变换的性质小波分类和常见的小波离散小波变换251小波的分类经典小波正交和双正交小波261)Haar小波2.常见的经典小波11-1(a)11-12(b)11-12(c)优点：Haar小波在时域是紧支撑的，(0,1)非零，且小波仅取1和-1。Haar小波变换的计算复杂度较低；Haar小波是正交小波；Haar小波是对称的，可去除相位失真非常有效缺点：Haar小波是不连续小波272)Morlet

小波a)时域波形b）频谱28是为了确保允许条件成立

应用：复信号分解，提取相位信息等。特点：包络都是高斯函数不是正交小波，也不是双正交小波.是对称小波实信号分解293)Maar小波（墨西哥草帽小波）特点：时、频域局域性好具有二阶零点视觉信息加工，边缘检测。应用:不是正交小波，也不是双正交小波.304)DOG小波（高斯差分小波）特点：在ω=0处有二阶零点，频域局域性好。313.正交小波1)Daubechies小波的Fourier变换，在法国学者DaubechiesIngrid构造的，简称为db小波在Matlab7.0中，dbN表示N阶db小波，其取值通常为2至45。N=1的db1即Haar小波处具有N阶零点具有紧支撑特性。dbN小波函数的在db小波是非对称的，相应的滤波器组属于共轭镜像滤波器组。32在Matlab中，coifN表示N阶Coiflets小波，是紧支撑正交、双正交小波，也是接近对称的小波。具有db小波的全部特点2).对称小波对称小波是对db小波作改进后得到的，简称symN，N=2,…,45，对应的滤波器接近于具有线性相位。小波函数接近对称，3)Coiflets小波具有db小波的全部特点其尺度函数在处具有2N-1阶零点，在处具有2N阶零点

33主要内容连续小波变换的基本概念小波变换的性质小波分类和常见的小波离散小波变换34但寻找具有光滑性、对称性、局域性的离散正交基困难，于是发展出非正交的DWT理论——框架理论。CWT的冗余性不适合图像压缩、数值计算。1.引言从不可列的具有相关性的函数空间中抽取可列个函数来构造函数空间中的一个基，理想的情况下构成一个正交基。研究将参数a，b按一定的方法离散，但要保证用离散后的小波及函数对信号展开后，信息不丢失。352.尺度和位移离散化的方法方法1：满足Nyquist采样定理的离散方法WhereTs为采样间隔特例：a0=2Ts=1方法2：方法1中的Ts=0，即仅仅对尺度a离散，对平移因子不离散363.离散小波变换之正变换1)后，连续相空间非均匀分布的离散相空间。2)当时，375.小波框架，时，称为小波框架；当等价地，小波框架在频域中是指，满足的函数族。是小波函数，函数族满足时，该框架又称为紧小波框架。1)定义382)性质满足容许性条件。的对偶函数小波框架也构成一个框架。5.信号重构和逆变换，则离散小波变换的逆变换为：1)where特例：A=B=1是正交基39

若,则2)3)40where信号的离散小波展开信号的Fourier级数展开where416.重构核方程彼此相关，可由求出。是框架，不正交，有冗余度。where称为重建核42小波框架的应用，使CWT的冗余度降低，信号WT的计算量、存储量降低。小波框架仍有冗余度，插值可使CWT的冗余性与DWT的经济性之间进行折中。

小波框架可满足工程上对小波基函数光滑性、对称性、局域性的要求。小结437.二